当前位置:首页 >> 理学 >>

数学模型实验2


数学建模实验 二.微分方程实验
1. 微分方程稳定性分析
绘出下列自治系统相应的轨线, 并标出随 t 增加的运动方向, 确定平衡点, 并按稳定的、 渐近稳定、或不稳定的进行分类:

? dx ? dx ? dx ? dx ? dt ? x, ? dt ? ? x, ? dt ? y, ? ? ? x, (1) ? (2) ? (3) ? (4) ? dt dy dy dy dy ? ? y; ? ? 2 y; ? ? ?2 x; ? ? ?2 y; ? dt ? dt ? dt ? dt
(1) 选取平衡点,由 f ( x) ? x ? 0, f ( y) ? y ? 0, 可知为(0,0)











?1 0? A?? ?, ?0 1?











?1 ? ?2 ? 1,



p ? ?(?1 ? ?2 ) ? ?2 ? 0, q ? ?1.?2 ? 1 ? 0, 对照稳定性情况表,平衡点是不稳定的。

(2)

根 据 ( 1 ) 题 所 求 方 法 , 取 平 衡 点 ( 0,0 ), 易 得 特 征 值

?1 ? ?1, ?2 ? 2, p ? ?1 ? 0, q ? ?2 ? 0, 对照稳定性情况表,可知平衡点是不稳定的。

(3)

取平衡点 (0,0) , 易得特征值 ?1

? 1.4142 i, ?2 ? ?1.4142 i, p ? 0, q ? 1.4142? 0, 对

照稳定性情况表,可知平衡点是不稳定的。

(4)

取平衡点(1,0) ,易得特征值 ?1

? ?1, ?2 ? ?2, p ? 3 ? 0, q ? 22 ? 0, 对照稳定性情

况表,可知平衡点是稳定的。

2. 种群增长模型
一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落。设病菌的数目为 N ,单位成员的增 长率为 r1 ,则由 Malthus 生长率有
1

dN ? r1 N . 但是,处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受 dt

到损伤,它们死亡的数量与 N 2 成比例,其比例系数为 r2 。求 N 满足的微分方程,不用求 解,图示其解族,方程是否有平衡接,如果有,是否为稳定? 解:

dN 由题可得,N 满足的微分方程为: f ( N ) ? ? r1 N ? r2 N 2 , dt
求取平衡点,令 f ( N ) ? 0 ,可得平衡点为(0, r2 / r1 ) ,
2 2

1



1 1 ? d 2N d 2N 1 2 2 ,令 ? 0, 可求得 N ? r22 / 4r12 , ? ( r ? r N ).( r N ? r N ) 1 2 1 2 2 2 dt 2 dt

令 N ? 0, N ? r2 / r1 , N ? r2 / 4r1 把 第 一 象 限 划 分 为 三 部 分 , 且 分 别 有
2 2 2 2

dN d 2N dN d 2N dN d 2N ? 0, 2 ? 0; ? 0, 2 ? 0; ? 0, 2 ? 0. dt dt dt dt dt dt
2 2 则微分方程的解族图形如下所示,其中, N ? 0 是不稳定的, N ? r2 / r1 是稳定的。

3、单种群开发模型
考虑单种群开发方程:

dx x ?( r 1- )x-Ex (E < r ) dt N r 2

* 用数学表达式证明:在稳定状态下,最优捕捞率 E ?

解:由本问题的目标出发,渔场中鱼量达到稳定的平衡状态时的情形,不必知道 每一时刻的鱼量变化情况, 故不需要解出方程,只需要讨论方程的平衡点并分析 其稳定性。 平衡点满足
F ( x) ? dx x ?( r 1- )x-Ex ? 0 dt N

(1)

的点称为方程的平衡点。解得的两个平衡点为:
x0 ? N (1 ? E ) , x1 ? 0 r

容易算出两个解 E ? r 和 r ? E 称平衡点是稳定的是指:对方程(1)的任一个解 x ? x(t ) ,恒有
lim x(t ) ? x *
t ??

(2)

判断平衡点 x* 是否稳定,可根据一阶近似方程:
dx ? F ( x )? F 'x( * x? ) (x dt *)

(3)

判断。该方程的一般解为:

x(t ) ? C ? eF ( x*)t ? x *
于是有下述结论: 若 F ' (x*)<0 ,则 x* 是稳定平衡点;

若 F ' (x*)>0 ,则 x* 不是稳定平衡点。 应用上述近似判别法,所以有 当 E ? r 时, F ' (x0 )<0,F ' (x1 )>0 ? x0 是稳定平衡点, x1 不是; 当 E ? r 时, F ' (x0 )>0,F ' (x1 )<0 ? x0 不是稳定平衡点, x1 是; 结果分析: 当捕捞适度(即:E ? r )时,可使渔场产量稳定在 x0 ? N (1 ?
E ), 从 r

而获得持续产量 Ex0 ,而当捕捞过度(即: E ? r )时,渔场产量将减至 x1 ? 0 , 破坏性捕捞,从而是不可持续的。 进一步讨论:如何控制捕捞强度 E 使得持续产量 Ex0 最大:
h( x0 ) ? Ex0 ? N (1 ? E )E r

dh 2E r ? N (1 ? ) ? 0 ? Em ? dx r 2

结论:最优捕捞率为 E * ?

r 。 2

4、Gompertz 模型

dx N ? rx ln ,其中 r 为固有增长率, N 为 dt x 最大种群数量。 若单位时间捕捞量为 h ? Ex . 讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,

设渔场鱼量增长服从 Gompertz 模型:

* 求最大持续产量 hm 及获得最大产量的捕捞强度 Em 和渔场鱼量水平 x0 。

解: x ?t ? 变化规律的数学模型为
dx?t ? N ? rx ln ? Ex dt x N F ( x)?rx ln ? Ex x N ? Ex ? 0 x

记 (1) 令 F ?x ? ? 0 ,得 rx ln
x0 ? Ne
? E r

, x1 ? 0 .
N ? r ? E , F ' ?x0 ? ? ?r ? 0, F ' ?x1 ? ? ? . x

则有平衡点为 x0, x1 .又 F ' ?x? ? r ln

推出平衡点 xo 是稳定的,而平衡点 x1 不稳定.
y

rx ln

N x

y ? Ex

rN

e

y ? f ?x ?
0

N

e

x0

x

(2)最大持续产量的数学模型为:
?max h ? Ex ? N ? s.t.  rx ln ? Ex ? 0, x ? 0. ? x ?

由前面的结果可得

h ? E N er
? dh EN ? r dh ? Ne r ? e ,令 ? 0. dE r dE E E

?

E

得到最大产量的捕捞强度 E m ? r , 从而得到最大持续产量 hm ? rN / e ,

* 此时渔场鱼量水平 x0 ?

N 。 e

5.有限资源竞争模型
微分方程

? dx1 ? x1[?a1 ? c1 (1 ? b1 x1 ? b2 x2 )] ? ? dt ? ? dx2 ? x [?a ? c (1 ? b x ? b x )] 2 2 2 1 1 2 2 ? ? dt
是两个物种为了共同的有限资源而竞争的模型,假设 c1 ? a1 , c2 ? a2 。试用微分方 程稳定性理论分析: (1)如果
a1 a2 a a ? ,则 x1 (t ) ? 0(t ? ?); (2)如果 1 ? 2 则 c1 c2 c1 c2

x2 (t ) ? 0(t ? ?); (3)用图形分析方法来说明上述两种情况
解: (1) 构建方程组

? f ( x1 ) ? x1[?a1 ? c1 (1 ? b1 x1 ? b2 x2 )] ,令 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0, ? ? f ( x2 ) ? x2 [?a2 ? c2 (1 ? b1 x1 ? b2 x2 )]
易得平衡点 p0 (0,0), p1 (0, 对于 p0 ,系数矩阵

c2 ? a 2 c ? a1 ), p2 ( 1 ,0) b2 c2 b1c1

?c ? a ? b c x ? b c x A?? 1 1 1 1 1 2 1 2 ? b1c2 x2 ?

0 ? ? ?c1` ? a1 , ?? ? c2 ? a2 ? b1c2 x1 ? b1c2 x2 ? ? 0 c2 ? a 2 ? ?

? b2 c2 x1

p ? ?(c1 ? a1 ? c2 ? a2 ) ,已知 c1 ? a1 , c2 ? a2 ,所以 p ? 0 ,该点不稳定。
对于 p1 ,系数矩阵

(c ? a ) c ? ? c ?a ? 2 2 1 0 ? ? b2 ?2 x1 ?c1 ? a1 ? b1c1 x1 ? b2 c1 x2 ? ?1 1 c2 A?? ?? ?, ? (b2 ? b1 )(c1 ? a1 ) ? ? b1c2 x2 c2 ? a2 ? b1c2 x1 ? h1c2 x2 ? ? b1 (c2 ? a2 ) ? ? ? b2 b2 ? ?
p ? c1 ? a1 ? (c2 ? a2 )c1 (b2 ? b1 )(c1 ? a1 ) (c ? a2 )c1 (b2 ? b1 )(c1 ? a1 ) ? , q ? (c1 ? a1 ? 2 ).( ), c2 b2 c2 b2

由题可知,该点是稳定的。

即 t ? ?时, ( x1 (t ), x2 (t )) ? (0, 对于 p2 ,系数矩阵

c2 ? a 2 ) ,说明物种 1 最终会灭亡。 b2 c2

?c ? a ? b c x ? b c x A?? 1 1 1 1 1 2 1 2 ? b1c 2 x 2 ?

b (c ? a ) ? ? ? (c1 ? a1 ) ? 2 1 1 ? ? ? b2 ? 2 x1 ? b1 ? ? ? ( c ? a ) c c 2 ? a 2 ? b1c 2 x1 ? h1c 2 x 2 ? 1 1 2 ? ? ? 0 c2 ? a2 ? ? c1 ? ? ?
(c1 ? a1 )c2 (c ? a )c , q ? ?(c1 ? a1 ).(c2 ? a2 ? 1 1 2 ), c1 c2

p ? ?(c1 ? a1 ) ? c2 ? a2 ?

由题可知,该点是稳定的。 即 t ? ?时, ( x1 (t ), x2 (t )) ? (

c1 ? a1 ,0) ,物种 2 最终要灭亡。 b1c1

方程组 ? 区域。 (1) 当

? f ( x1 ) ? 0 为线性方程组, 在平面上匹配两条直线 l1 , l2 将第一象限分为三个 f ( x ) ? 0 ? 2

a1 a2 c ? a2 时,随着时间的增加,物种 1 将会灭亡,物种 2 将达到稳定值 2 。 ? c1 c2 b2 c2

(2)当 亡。

a1 a2 c ? a1 时,随着时间的增加,物种 1 最终能达到稳定值 1 ,物种 2 最终要灭 ? c1 c2 b1c1

6.蝴蝶效应与混沌解
考虑 Lorenz 模型

? x1' (t ) ? ? ? x1 (t ) ? x2 (t ) x3 (t ) ? x2 ' (t ) ? ?? x2 (t ) ? ? x3 (t ) ? ? x ' (t ) ? ? x (t ) x (t ) ? ? x (t ) ? x (t ) 1 2 2 3 ? 3
其中 ? ? 10, ? ? 28, ? ? 8 / 3 ,且初值为 x1 (0) ? x2 (0) ? 0, x3 (0) ? ? , ? 为一个小常数, 假设 ? ? 10?10 ,且 0 ? t ? 100 。 (1)用函数 ode45 求解,并画出 x2 ? x1 , x2 ? x3 , x3 ? x1 的平面图; (2)适当地调整参数 ? , ? , ? 值和初始值 x1 (0), x2 (0), x3 (0) ,重复(1)的工作,看 有什么现象发生。
解:

1 .建立自定义函数,建立“Lorenz.m”的 M 文件.程序如下: function dy = Lorenz(~,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=10*(-y(1)+y(2)); dy(2)=28*y(1)-y(2)-y(1)*y(3); dy(3)=y(1)*y(2)-8*y(3)/3; end 2.建立“Lzdis.m”的 M 文件,用来求解和绘图。程序如下: [t,y]=ode45('Lorenz',[0,30],[12,2,9]); figure(1) plot(t,y(:,1)) figure(2)

plot(t,y(:,2)) figure(3) plot(t,y(:,3)) figure(4) plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) 3. 运行得到如下的结果:
y(1) 即 x1 关于 t 的变化关系图如下图:
20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20

0

5

10

15

20

25

30

y (2) 即 x2 关于 t 的变化关系图如下图:

25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25

0

5

10

15

20

25

30

y (3) 即 x3 关于 t 的变化关系图如下图:

45 40 35 30 25 20 15 10 5

0

5

10

15

20

25

30

x1 , x2 , x3 的空间关系图如下图:

50 40 30 20 10 0 40 20 0 -20 -40 -20 -10 10 0 20

4.验证“蝴蝶效应” 洛伦兹方程的解对初始值十分敏感,现对 x2 的初始值稍加修改,将 2 改为 2.01 和 1.99,让后求解 x3 的数值解。建立“lzsensi.m”的 M 文件,程序如下: clf hold

[t,u]=ode45('Lorenz',[0 15],[12,2,9]); plot(t,u(:,3),'Color','r'); [t,v]=ode45('Lorenz',[0 15],[12,2.01,9]); plot(t,v(:,3),'Color','b'); [t,w]=ode45('Lorenz',[0 15],[12,1.99,9]); plot(t,w(:,3),'Color','k'); 运行得到不同初始条件下的 x3 关于 t 的图形:

45 40 35 30 25 20 15 10 5

0

5

10

15

黑色线表示初值条件为[12,1.99,9]时的 x3 ? t 图形 绿色线表示初值条件为[12,2,9]时的 x3 ? t 图形 红色线表示初值条件为[12,2.01,9]时的 x3 ? t 图形 容易看出:随着时间的推移,三条曲线的吻合程度越来越差,差距越来越大,变 化也越来越不明显,成为混沌状态。

2.3 加分实验(餐厅废物的堆肥优化问题)
一家环保餐厅用微生物将剩余的食物变成肥料。 餐厅每天将剩余的食物制成 桨状物并与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料,加入真菌菌种后放入容器内。真菌 消化这此混合原料,变成肥料,由于原料充足,肥料需求旺盛,餐厅希望增加肥

料产量。 由于无力购置新设备, 餐厅希望用增加真菌活力的办法来加速肥料生产. 试通过分析以前肥料生产的记录(如表 2.1 所示),建立反映肥料生成机理的数学 模型,提出改善肥料生产的建议。

解:首先,进行模型假设: 1 将容器看作封闭的,不考虑质量的损耗。 2 以北方的温度和湿度为标准。 3 真菌的数量相同,初始活力相同。 4 容器内生化反应过程中的温度不受人为因素控制,但受外界环境的影响。 餐厅没有温度控制方面的投资。 5 反映开始前,真菌和发酵物分别储藏,不发生反应。 6 容器内的真菌分布均匀,且处于发酵的最佳状态。 7 在一定时间内,温度和湿度取平均值。 建立数学模型: 首先确立食物浆和蔬菜下脚的比例, 并以比例为横坐标, 肥料生成时间为纵坐标, 建立坐标系,做出图像。
编号 1 2 3 4 5 (食物浆/蔬菜下脚)比例 2.77419 1.41772 3.38095 2.47561 2.82143 碎纸 0 0 0 0 0 肥料生成天数 28 27 27 26 33

6 7 8 9 10 11 12

1.98113 8.06667 3.43750 1.86364 0.95000 1.50980 1.36842

0 0 0 9 6 7 6

36 35 47 49 49 49 49

食物浆与蔬菜下脚比例和肥料生成天数关系如下图:
60 50 40 30 20 10 0 0.537 1.053 0.662 0.731 0.354 0.505 0.124 0.291 0.36 0.705 0.296 0.404 天数

由图可以看出七八月份的产出明显要短,生成速率明显要高,增加碎纸的容 器反而分解速率更低。从图中可以看出编号为 4 的当食物浆与蔬菜下脚比例为 2.5 左右且无碎纸,时间为 7 月 27 日到 8 月 22 日时,产出时间最短,生成速率 最高,说明此时真菌的活性最大。比较编号为 5—8 组和 9—12 组可以看出,添 加碎纸的组产出时间明显增长,说明碎纸片对真菌的活力起减缓作用,因此,在 食物浆与蔬菜下脚比例为 2.5 左右且无碎纸,投料时间为七月下旬时,真菌活性 最大,所需时间最短,速度最快。 然后变换图像,使其横坐标按顺序排列:

60 50 40 30 20 10 0 0.124 0.291 0.296 0.354 0.36 0.404 0.505 0.537 0.662 0.705 0.731 1.053 天数

可以看出,在不考虑温度和湿度的情况下,当比例为 2.47561 时,产出速率 最快。 通过查找资料,找到北方的平均温度和相对湿度,并作出了图像:
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均温度(摄氏度) -0.4 0 3.4 8.4 13.4 18 21.5 23.5 21.3 16 9.1 2.7 相对湿度 百分率% 63 65 70 73 77 87 94 89 73 64 64 63

做出图像:

100 80 60 40 20 0 -20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 温度 相对湿度

与我们通常的理解相近,当处于北方夏季时,温度要高(相对湿度也高) , 用于分解食物的酶活性也高,即此时菌种的活力相对较高。 事实上,如果做出平均气温和湿度的曲线,于上面的曲线比较,也就找出了 具有一般性的最佳生成机制。 综上分析, 要想使增加肥料的产量, 必须使菌种在合理的温度和湿度条件下, 合理的搭配投料比。由我们的模型知道,当温度在 21.5~23.5 ,相对湿度在 73%~94%时,投料比为 0.40394 时肥料的生成速率最快。


赞助商链接
相关文章:
实验二方程模型及其求解算法
实验二方程模型及其求解算法_数学_自然科学_专业资料。MATLAB 开课学院、实验室:课程 数学实验 名称 指导 教师 实验时间实验项目 名成称绩 : 2016 年 3 月 20...
数学模型实验报告2_图文
数学模型实验报告2 - 31 31 左上方框里填写学号后两位,学习委员按此顺号(报告展开排序)交给老师 数学模型实验报告 专业 姓名 实验时间 实验名称 信息与计算科学 ...
数学模型实验2
数学模型实验2_理学_高等教育_教育专区。数学建模实验 二.微分方程实验 1. 微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线, 并标出随 t 增加的运动方向, 确定...
数学建模实验二_图文
数学建模实验二_数学_自然科学_专业资料。基本实验 1.微分方程稳定性分析绘出...E* ? dx r 2 所以,最优捕捞率为 E * ? 。 r 2 5.Compertz 模型设...
数学模型实验报告
数学模型实验报告_理学_高等教育_教育专区。实院(系)数学与统计学院 班级 专业...2 i ?1 n (3)数据插值与曲线拟合的不同点:若要求所求曲线(面)通过所给...
数学模型实验报告2
1.某实验室对一根长 10 米的钢轨进行热源的温度在 60 秒内 传播测试。x:...(2) 用样条插值求出在这 60 秒内每隔 20 秒, 钢轨每 隔 1 米处的温度...
实验05讲评、参考答案_数学规划模型二(2学时)
实验05讲评、参考答案_数学规划模型二(2学时)_理学_高等教育_教育专区。实验 05 讲评、参考答案 讲未按时交的同学 评 数学:01 边清水,10 郭思阳,27 鲁瑞,...
数学模型实验2
数学模型实验2 隐藏>> 桂林电子科技大学 数学与计算科学学院实验报告实验室: 院(系) 数学与计算科学学院 课程 名称 数学模型实验 A 实验日期:2013 年 4 月 3...
《数学实验》实验报告_2
数学实验实验报告_2 - 《数学实验实验报告 ( 2012 年 4 月 8 日) 班级:数学系 0902 班一、实验问题 学号 :2009051057 姓名:马骁 1.(指派问题) 考...
数学建模实验答案__数学规划模型二
数学建模实验答案__数学规划模型二_数学_自然科学_专业资料。实验 05 数学规划模型㈡(2 学时)(第 4 章 数学规划模型) 1.(求解)汽车厂生产计划(LP,整数规划 ...
更多相关标签: