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北师大版高二数学第二学期期末试题4


训练试题 4 参考公式: ( 1) :

P (K2 ? k)

k
2

0.2 0.1 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 5 5 0 5 25 10 05 01 1.3 2.0 2.7 3.8 5.0 6.6 7.8 10. 23 72 06 41 24 35 79 828

n(ad ? bc) 2 , 其中 (2) :K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

n ? a?b?c?d


为 :

样本容量。 (

3
i

?? b

?x y
i ?1 n i

n

? nx y = ? nx
2

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( yi ? y )
i

?x
i ?1

2

i

? (x
i ?1

? ? ? y ? bx ,a

? x)2
;

P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974

(4):

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设袋中有 8 个红球,2 个白球,若从袋中任取 4 个球,则其中恰

有 3 个 红 球 的 概 率 为
1




C C C C CC CC B C D 4 4 4 4 C10 C10 C10 C10 2. 抛 掷 3 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 , A={ 既 有 正 面 向 上 又 有 反 面 向 上 },B={ 至 多 有 一 个 反 面 向 上 } , 则 A 与 B 关 系 是 ( ) A . 互斥事件 B.对立事件 C. 相互独立事件 D .不 相互独立事件 3. 下列命题中,其中假命题是 ( )

A.

1 8

3 4

3 8

1 4

1 8

3 4

3 8

1 2

A. 对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 k 来说,k 越小, “X 与 Y 有关系” 可信程度越大 2 2 B.用相关指数 R 来刻画回归的效果时,R 的值越大,说明模型 拟合的效果越好 C. 两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近 1 D. 残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小 4. 六件不同的奖品送给 5 个人, 每人至少一件,不同的分法种数是 ( ) A C5 B 5 C A6 .A5 D C6 A5 5、 在每一试验中事件 A 发生的概率均为 p , 则在 n 次试验中 A 恰好发
4

2

6

5

1

2

5

2

(

)
k
k

C、1- ?1 ? p ? 6. 若

A、 1- p

B、 ?1 ? p ? p
k

n ?k
k

k n ?k D、 Cn ?1 ? p? p

( x ? 1)8 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? ....? a6 ( x ? 1) 6 ? a7 ( x ? 1) 7 ? a8 ( x ? 1)8

则 a6 ? ( ) A 56 B .112 C .28 D - 56 7. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这 个数为“伞数” .现从 2,3,4,5,6,9 这六个数字中任取 3 个数, 组 成 无 重 复 数 字 的 三 位 数 , 其 中 “ 伞 数 ” 有 ( ) (A)120 个 (B)80 个 (C)40 个 ( D) 20 个
3

8. 若 随 机 变 量

X

的 概 率 分 布 密 度 函 数 是 则

f ( x) ?
( A ) 5

1 2 2?
B

e

?

( x ?1) 2 8

, x ? (??,??)

E (2 X ? 1)

的值是

9

C

3

D

2

9. 若 随 机 变 量 ( ) A . 12
5

3 1 B ( 8 , ) D ( X) 的 值 为 X ~ , 则 5 2
C.
24 25

B.

6 5

D.

12 25

10. 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动,质点每次移动一 个单位,移动的方向为向上或向右。并且向上,向右移动的概率 都是 1 ,质点 P 移动六次后位于点(4,2)的概率是
2

(

)

1 6 2 1 6 4 1 4 4 2 1 6 C ( ) C ( ) ( ) C C 6 A. 2 B 6 2 C D 6 6 (2) 2 11.将数字 1,1,2,2,3,3 填入右边表格,要求每行的数字互不相同, 每列的数字也互不相同,则不同的排列方法共有 ( ) (A)12 种(B)18 种(C)24 种(D)36 种

12.如图,四边形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形,现有 4 种不同颜色将它染色,使相邻三角形均不同色,求使△AOB 与 △COD 同色且△BOC 与△AOD 也同色的概率( ) A 1 B 1 C1 D1
5

6

7

2

4

二、填空题:(每小题 4 分,共 16 分.其中第 15 小题每空各 2 分)

,20 ) 且 13.在一次数学考试中,某班学生的分数服从 X~ N (110 知满分为 150 分,这个班的学生共 56 人,求这个班在这次数学考试 中 130 分以上的人数大约是 14.袋中装有 3 个红球和 2 个白球,如果不放回依次抽取两次,记
A={第一次抽到红球} B={第二次抽到红球} 求 p( B A) = 15.连结正三棱柱的顶点,可以组成 个四面体, 可以连成 对异面直线.

2

16.把圆周 4 等分,A 是其中一个分点,动点 P 在四个 分点上按逆时针方向前进,掷一个各面分别写有数字 1,2,3,4 且质地均匀的正四面体,P 从点 A 出发按照正 四面体底面上所掷的点数前进(数字为 n 就前进 n 步) , 转一周之前继续投掷,转一周或超过一周即停止投掷。 则点 P 恰好返回 A 点的概率是 三、解答题: .17.(本小题满分 12 分) 1 2n n 3 已知 ( x ? 3 ) 展开式中偶数项二项式系数的和比 (a ? b) 2 x 展开式的各项系数和大 112。 (1) 求 n; ( 2) 在(1)的条件下,求 (a ? b)
5

2n

展开式中系数最大的项;

3 (3)求 ( x ?

1 23 x

) 2 n 展开式中的所有的有理项。

18. (本小题满分 12 分) 5 个人站成一排,求在下列情况下的不同排法种数。 (1) 甲不在排头,乙不在排尾; (2) 甲乙两人中间至少有一人; (3) 甲、乙两人必须排在一起,丙、丁两人不能排在一起; (4) 甲、乙两人不能排在一起,丙、丁两人不能排在一起。

19. (本小题满分 12 分) 某校高一年段理科有 8 个班,在一次数学考试中成绩情况 分析如 下: 班级 1 2 3 4 5 6 7 8 8 大 于 6 6 7 3 5 3 3 7 ?xi yi ? 171 ? i ?1 145 分 8 人数 ?xi2 ? 204 ? i ?1 不大于 3 3 3 4 4 4 4 3 145 分 9 9 8 2 0 2 2 8 人数 (1) 求 145 分以上成绩 y 对班级序号 x 的回归直线方程。 (精确到 0.0001) (2) 能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 7 班与 8 班的
6

友情提示:

成绩是否优秀(大于 145 分)与班级有关系。

20. (本小题满分 12 分) 袋中有 3 只红球,2 只白球,1 只黑球。 (1)若从袋中有放回的抽取 3 次,每次抽取一只,求恰有两次 取到红球的概率。 (2)若从袋中有放回的抽取 3 次,每次抽取一只,求抽全三种 颜色球的概率。 (3)若从袋中不放回的抽取 3 次,每次抽取一只。设取到 1 只红 球得 2 分, 取到 1 只白球得 1 分, 取到 1 只黑球得 0 分, 试求得分 ? 的数学期望。 (4)若从袋中不放回的抽取,每次抽取一只。当取到红球时停止 抽取,否则继续抽取,求抽取次数

? 的分布列和数学期望。

21. (本小题满分 12 分) 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处, 小球将自由下落. 小球在下落的过程中, 将 3 次遇到黑色障碍物, 最后落入 A 袋或 B 袋中. 已知小球每次遇到黑色障碍物时, 向左、 右两边下落的概率都是 1 .
2

(1)求小球落入

袋中的概率 P ( A) ;

(2)在容器入口处依次放入 4 个小球,记 落入 A 袋中的小球个数,试求 ?

?为

?3

的概率和 ? 的数学期望 E? . (3)如果规定在容器入口处放入 1 个小球,若小 球落入 A 袋奖 10 元,若小球落入 B 袋罚 4 元,
7

试求所得奖金数? 的分布列和数学期望,并回答 你是否参加这个游戏?

22 本题有(Ⅰ),(Ⅱ)两个选答题,请考生任选 1 题作答。 (Ⅰ) (本小题满分 14 分) 已知二阶矩阵 A 属于特征值-1 的 一个特征向量为
?1? ? ? ? ? ?1? ? ?

? ? 1? ? ? ? ?, ? 3? ? ?

属于特征值 7 的 一个特征向量为 ① 求矩阵 A;
? ②若方程满足 AX= ? ? 7 ? ? ? ,求 ?14?

X

(Ⅱ) (本小题满分 14 分) ①已知 | 2 x ? 3 | ≤1 的解集为 [m, n] 1)求 m ? n 的值; 2)若 x ? a ? m, 求证: x ? a ? 1. 1 1 1 ②已知 x, y , z 为正实数,且 x ? y ? z ? 1 ,求 x ? 4 y ? 9 z 的 最小值及取
8

得最小值时

x, y, z 的值。

9

高二数学(理)参考答案 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) DCADDB CCDBAC 二、填空题:(每小题 4 分,共 16 分.其中第 15 小题每空各 2 分) 13. 9 ; 14 , 1 ; 15, 12 和 36;16, P ? 125 。
2 256

三、解答题: 17 解: (1) 2 2n?1 ? 2 n ? 112 ;
(2 n ? 16)(2 n ? 14) ? 0

2 2n ? 2 ? 2 n ? 224 ? 0

n=4 (2 )
?n ? 4

……………3 分
? (a ? b) 2n ? (a ? b)8

从而 (a ? b)8 展开式中系数最大的项是: 6分 (3)设 有理项为第 r+1 项,则
Tr ?1 ? C x
r 8 8? r 3 ? 1 1 .(? ) r x 3 ? (? ) r C8r x 2 2 r 8? 2 r 3

T5 ? C84 a 4 (?b) 4 ? 70a 4b 4

……

? 8 ? 2r ?z ? 令 8 ? 2r ? k ?? 3 3 ? ?0 ? r ? 8, r ? z

3 ?r ? 4 ? k 2

…… 9

分 即 r ? 1,4,7 所以第 2 项,第 5 项,第 8 项为有理项,它们 分别是: 1 1 35 1 C8 (? ) x 2 ? ?4 x 2 ; C84 ( ? ) 4 x 0 ? ; C87 (? 1 ) 7 x ?2 ? ? 1 x ?2 ……12 分
? r ? z ? k应为偶数

? k ? 2,0, -2

2

2

8

2

16

19 解 (1)

x ? 4.5 y =5
8 i ?1 8

?
i ?1

8

xi y i ? 171; ? xi2 ? 204

b?

?
i ?1

xi y i ? 8 x ? y x ? 8x
2 i 2

?
i ?1

8

?

171? 8 ? 4.5 ? 5 9 ?? ? ?0.2143……3 2 42 204 ? 8 ? 4.5



10

(或 5.9644) 回 归 直 线 方 程 为 : ∴ -0.2143x+5.9643 ………………6 分 (2)
k2 ? 90(3 ? 38 ? 42 ? 7) 2 ? 1.8 45? 45? 80 ? 10

a ? y ? b x ? 5 ? (?0.2143 ) ? 4.5 ? 5.9643

? y ? bx ? a

=

因为 1.8<6.635 所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能认为 7 班与 8 班 的 成 绩 是 否 优 秀 ( 高 于 145 分 ) 与 班 级 有 关 系。 … ……………………………12 分 20 解: (1)抽 1 次得到红球的概率为 1 ,得白球的概率为 1 , 得黑球
2 3

的概率为

1 . 6
2 2 8

所以恰 2 次为红色球的概率为 P1 ? C32 ( 1 ) 2 1 ? 3 ( 2 ) 抽 全 三 种 颜 色 球 的 概 率 …………4 分

…………2 分
1 1 1 1 3 P2 ? ( ? ? ) ? A3 ? 2 3 6 6

( 3) ?

? 6,5,4,3,2
;
C 2C 1 6 p(? ? 5) ? 3 3 2 ? 20 C6
1 1 2 C32 C1 ? C3 C2 6 ? ; p(? ? 4) ? 3 20 C6

C3 1 p(? ? 6) ? 3 ? 3 C6 20

;

1 1 1 2 1 C3 C2 C1 C2 C1 6 1 p(? ? 3) ? ? p ( ? ? 2 ) ? ? ; 3 3 20 20 C6 C6

E? ? 6 ?
(4)

1 6 6 6 1 ? 5? ? 4? ? 3? ? 2? ?4 20 20 20 20 20

……8 分

? =1,2,3,4

P(? ? 1) ?

3 , P(? ? 2) ? 3 ? 3 ? 3 ; P(? ? 3) ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 6 6 5 10 6 5 4 20 3 2 1 3 1 P (? ? 4) ? ? ? ? ? 6 5 4 3 20

11

? 的分布列是:
?

1
1 2

2

3

4[来 源 :学 科网]
1 20

6 3 20 20 1 6 3 1 7 E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3? ? 4? ? 2 20 20 20 4

P

……………12 分

1 3 ? (?4) ? ? 2.5 ? 3 ? ?0.5 4 4 因为 E? ? ?0.5 ? 0 ,所以不参加这个游戏。 E? ? 10 ?

12

22(Ⅰ)解: ①设 则

?a b ? ? ? A= ? ?, ?c d ? ? ?

…………1 分

? a b ? ? ? 1? ? ? 1? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ? ? =- ? ? = ? ? ?c d ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ?

?a b ? ? ? ? ? ?c d ? ? ?

?1? ?1? ? ? ? ? ? ? =7 ? ? ?1? ?1? ? ? ? ?

……………3 分

?? ?? ? ? ? ?a ? ?c ?a ? 5 ?b ? 2 ?5 2? ? ? ? ?? A= ? ? ? ?c ? 6 ?6 1? ? ? ? ?d ? 1

a c ? ?

? 3 b ? 1 ? 3d ? ?3 b ? 7 d ? 7

………………7 分

(Ⅱ)解:① 1)由 不等式 | 2 x ? 3 |? 1 可化为 ?1 ? 2 x ? 3 ? 1 得 1 ? x ? 2 ………2 分 ∴ m=1,n=2, m+n=3 ……………4 分 2)若 x ? a ? 1, x ? x ? a ? a ? x ? a ? a ? a ?1 ………………7 分 ②解:由柯西不等式得
13

x ? 4 y ? 9 z ? [( x )2 ? (2 y ) 2 ? (3 z ) 2 ] ? [( ?( x?

1 2 1 1 ) ? ( )2 ? ( )2 ] x y z

1 1 1 2 ?2 y? ?3 z ? ) ? 36 x y z

… …………11 分 当且仅当 x ? 2 y ? 3z 时等号成立,此时 x ? 6, y ? 3, z ? 2 所以当 x ? 6, y ? 3, z ? 2 时, x ? 4 y ? 9z 取得最小值 36 分



… ……… 14

14


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