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高三年级数学选修课精英班讲义---数列(二)


高三年级数学综合选修精英班讲义(数列)
一、选择题 1. 已知数列 ?an ? 对任意的 p,q ?N* 满足 a p?q ? a p ? aq ,且 a2 ? ?6 ,那么 a10 等于 A. ?165 B. ?33 C. ?30 D. ?21 2 2.设等差数列的首项及公差均为 负整数,项数不少于 3,且各项的和为 97 ,则这样的数列共有 A.2 个 B.3 个

C.4 个 D.5 个 3.在等比数列{an}中,a1>0, a2a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25 ,则 a3+a5 的值是 A.5 B.-5 C.±5 D.0

4.若数列{an}的通项公式为 an ? 5( ) 则 x+y 等于 A.3 B.4

2 5

2 n?2

2 ? 4( ) n ?1 , (n∈N*) n}的最大项为第 x 项,最小项为第 y 项, ,{a 5
C.5 D.6

5.在等差数列{an}与等比数列{b1}中,已知 an>0,bn>0, (n∈N*) ,且 a1010 ? b1010 , a2010 ? b2010 ,则 A. a2008 ? b2008 B. a2008 ? b2008 C. a2008 ? b2008 D. a2008 ? b2008

6.已知方程 ( x2 ? 2 x ? m)( x2 ? 2x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 A.1 B.

3 4

C.

1 2

1 的等差数列,则|m-n|= 4 3 D. 8

7.等差数列{an}的前 n 项的和为 30,前 2m 项的和为 100,则它的前 3m 项和为 A.130 B.170 C.210 D.260 8.在一个数列中,若每一项与它的后一项的积都为同一个常数(有限数列的最后一项除外) ,则称该数列 为等积数列,其中的常数称为公积,若数列{an}是等积数列,且 a10=2,公积为 6,则 a1 ? a5 ? a9 ??a2005 = A.2 二、填空题
502

B.2

501

C.3

502

D.3

501

9.在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n∈N*) ,则 S100=

_______ 。 __。

10.已知 f(x)=[x],若 an ? f ( ) ,n∈N*,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 S30= 11.若数列{an}满足

n 3

1 1 1 ? ? d (n∈N*,d 为常数) ,则称数列{an}为“调和数列”,已知数列 { } 为 an ?1 an xn
, x3 ? x18 的最大值等于 ___。 .

“调和数列”,且 x1 ? x2 ? ? ? x20 ? 200 ,则 x1 ? x20 = 12.在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,则 Sn 的最大值为

1 1 1 13.试在无穷等比数列 , , ? 中找出一个无穷等比的系数列(由原数列中部分项按原来次序排列的数 2 4 8 1 列) ,使它所有项的和为 ,则此系数列的通项公式为 __。 7
1

14.设{ an }为公比 q>1 的等比数列,若 a2004 和 a2005 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,
2

则 a2006 ? a2007 ? ______________. 15.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为

_______ .

16.用 n 个不同的实数 a1 , a2 ,?, an 可得到 n! 个不同的排列,每个排列为一行写成一个 n! 行的数阵。对第

i 行 ai1 , ai 2 ,?, ain ,记 bi ? ?ai1 ? 2ai 2 ? 3ai 3 ? ?(?1) n nain , i ? 1,2,3,?, n! 。例如:用 1,2,3 可得数
阵如图,由于此数阵中每一列各数之和都是 12,∴ b1 ? b2 ? ? ? b6 ? ?12 ? 2 ?12 ? 3 ?12 ? ?24 ,那么, 在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中, b1 ? b2 ? ? ? b120 =______________。 三、解答题 17.数列 ?an ? 满足a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos (Ⅰ)求 a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
2

n? n? )an ? sin 2 , n ? 1, 2,3,?. 2 2

1 a2 n?1 S , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn . 证明:当 n ? 6时, n ? 2 ? . n a2 n

18.对于数列 {an } ,规定数列 {?an } 为数更 {an } 的一阶差分数列,其中 ?an ? an?1 ? an(n∈N*) ,一般地, 规定 {? k an } 为 {an } 的 k 阶差分数列,其中 ?k an ? ?k ?1an?1 ? ?k ?1an ,且 k ? N , k ? 2 。
*

5 2 13 n ? n (n∈N*) ,试证明 {?an } 是等差数列。 2 2 a a (2) 若数列 {an } 和首项 a1=-13, 且满足 ?2an ? ?an?1 ? an ? ?22n(n∈N*) 求数列 { n ?1 ? n } 及 {an } , n ?1 2 2n
(1)已知数列 {an } 的通项公式 an ? 的通项公式; (3)在(2)的条件下,判断 an 是否存在最小值,若存在求出其最小值,若不存在,说明理由。

19. 已知数列 ?xn ? ?yn ? 满足 x1 ? x2 ? 1, y1 ? y 2 ? 2 , 并且 , . n ? 2,3,4,?)

xn?1 x y y ? ? n , n?1 ? ? n ( ? 为非零参数, xn xn?1 y n y n?1

2

(1)若 x1 , x3 , x5 成等比数列,求参数 ? 的值; (2)当 ? ? 0 时,证明:

xn?1 xn ? n ? N * ;当 ? ? 1 时,证明: y n?1 y n

?

?

x ? yn x1 ? y1 x2 ? y 2 ? ? ??? n ? n? N* . x 2 ? y 2 x3 ? y 3 xn?1 ? y n?1 ? ? 1

?

?

20. 已知 {an } 是等差数列,{bn } 是公比为 q 的等比数列,a1 ? b1 , a2 ? b2 ? a1 ,记 Sn 为数列 {bn } 的前 n 项 和. (1)若 bk ? am (m, k 是大于 2 的正整数 ) ,求证: Sk ?1 ? (m ?1)a1 ; (2)若 b3 ? ai (i 是某一正整数 ) ,求证: q 是整数,且数列 {bn } 中每一项都是数列 {an } 中的项; (3)是否存在这样的正数 q ,使等比数列 {bn } 中有三项成等差数列?若存在,写出一个 q 的值,并加 以说明;若不存在,请说明理由;

21. 对于每项均是正整数的数列 A:a1,a2, ,an ,定义变换 T1 , T1 将数列 A 变换成数列 T1 ( A): ?

n,a1 ?1 a2 ?1 ?,an ?1 .对于每项均是非负整数的数列 B:b1,b2, ,bm ,定义变换 T2 , T2 将数 , , ?
列 B 各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列 T2 ( B) ; 又 定 义 S (B ) ? 2(1 ? 2 2 ? ?? mbm ? b2 ? b 22? ?? bm2 . 设 A0 是 每 项 均 为 正 整 数 的 有 穷 数 列 , 令 b b ) 1

Ak ?1 ? T2 (T1 ( Ak ))(k ? 0,2, ) . 1,?
(Ⅰ)如果数列 A0 为 5,3,2,写出数列 A1,A2 ; (Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列 A ,证明 S (T1 ( A)) ? S ( A) ; (Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0 ,存在正整数 K ,当 k ≥ K 时,

S ( Ak ?1 ) ? S (Ak ).

3


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