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2014高考真题 函数y=Asin(wx+¢)的图象及三角函数模型的简单应用


一、选择题 1.(2014·浙江高考文科·T4)为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图象,可以将 函数 y ? 2 cos3x 的图像( )

? A.向右平移 12 个单位 ? C.向左平移 12 个单位

? B.向右平移 4 个单位 ? D.向左平移 4 个单位

【解题提示】 由函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象平移与变换解决.
y ? sin 3x ? cos 3x ? 2 cos(3x ? ) 4 ,故只需将 y ? 2 cos3x 的图 【解析】选 A.因为

?

? 象向右平移 12 个单位即可.
2.(2014·浙江高考理科·T4)为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图像,可以将 函数 y ? 2 sin 3x 的图像( )

? A.向右平移 4 个单位
? C.向右平移 12 个单位

? B.向左平移 4 个单位
? D.向左平移 12 个单位

【解题指南】由函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象平移与变换解决.
y ? sin 3 x ? cos 3 x ? 2 sin(3 x ? ) 4 ,故只需将 y ? 2 sin 3x 的 【解析】选 D.因为

?

? 图象向左平移 12 个单位即可.
3.( 2014 ·安徽高考文科·T 7 )若将函数 f ( x) = sin 2 x + cos 2 x 的图像向右平 移 ? 个单位,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的最小正值是( A. )

? 8

B.

? 4

C.

3? 8

D.

3? 4

【解题提示】平移后得到的函数是余弦函数。
p 【解析】 选 C, 将函数 f ( x) = sin 2 x + cos 2 x = 2 sin(2 x + ) 的图像向右平移 ? 个 4 p p 单位,所得函数为 f ( x) = 2 sin[2( x - j ) + ] = 2 sin[2 x + ( - 2j )] ,其图像关 4 4 p p 于 y 轴对称,则 f ( x) = 2 cos 2x ,所以 - 2j = +kp ,所以 ? 的最小正值是 4 2 3p . 8

4.( 2014 ·四川高考理科·T 3 )为了得到函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象,只需 把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点( A.向左平行移动
1 个长度单位 2


1 个长度单位 2

B. 向右平行移动

C.向左平行移动 1 个长度单位

D. 向右平行移动 1 个长度单位

1 ? y ? sin[2( x ? ) ? 1] ? sin(2 x ? 1) . 【解题提示】 y ? sin 2 x ???????? 2

1 向左平行移动 个长度单位 2

【解析】选 A. 将 y ? sin 2 x 的图象上所有的点向左平行移动
1 到函数 y ? sin[2( x ? ) ? 1] ? sin(2 x ? 1) . 故选 A. 2

1 个长度单位得 2

5.( 2014 ·四川高考文科·T 3 )为了得到函数 y ? sin( x ? 1) 的图象,只需把 函数 y ? sin x 的图象上所有的点( A.向左平行移动 1 个单位长度 C.向左平行移动 ? 个单位长度 ) B .向右平行移动 1 个单位长度 D .向右平行移动 ? 个单位长度

向左平行移动1个长度单位 【解题提示】 y ? sin x ???????? ? y ? sin( x ? 1) .

【解析】选 A. 只需把 y ? sin x 的图象上所有的点向左平行移动 1 个单位长 度,便得到函数 y ? sin( x ? 1) 的图象,选 A. 二、填空题 6. (2014·上海高考文科·T12)
方程 sin x ? 3 cos x ? 1在区间? 0, 2? ? 上的所有解的和等于 ______ .

【解题提示】

首先将左边函数化为Asin(?x+? )的形式,再根据三角函数的图像特点可求.
【解析】

? ? 1 ? 5? ? 令f(x)=sinx+ 3 cos x ? 2sin( x ? ) ? 1, 所以sin( x ? ) ? , 即x ? ? 或2? + 3 3 2 3 6 6 ? 11? 7? 解得x= 或 ,所以所有解的和为 . 2 6 3 7? 答案: . 3
? ?? ? 7.( 2014 ·重庆高考文科·T 13 )将函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? ? ? 0, ? ? ? ? ? 2 2? ?
图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移
?? ? 单位长度得到 y ? sin x 的图象,则 f ? ? ? ?6?

? 个 6

.

?? ? 【解题提示】先根据三角函数图象变换求出 ? , ? 的值,然后求出实数 f ? ? ?6?

的值 . 【解析】函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半, 纵坐标不变,则函数变为 y ? sin(2? x ? ? ) ,再向右平移

? 个单位长度得到 6

? ? ?? ? ? ? ? 的函数为 y ? sin ?2? ? x ? ? ? ? ? ? sin ? 2? x ? ? ? ? ? ? sin x 6? 3 ? ? ? ? ?
?2? ? 1 ? ? ? 所以 ? ? 又因为 ? ? 0, ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z ? ? 3
1 ? ?? ?1 可求得 ? ? , ? ? ,所以 f ( x ) ? sin? x ? ? 2 6 6? ?2

? 2 ?? ? ?1 ? ? ? 所以 f ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? . 4 2 ?6? ?2 6 6?
答案:
2 2

三、解答题

8. (2014·湖北高考文科·T13)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h) 的变化近似满足函数关系: f(t)=10- 3 cos
π π t-sin t,t∈[0,24). 12 12

(1)求实验室这一天上午 8 时的温度. (2)求实验室这一天的最大温差. 【解题指南】 (1)将 f(t)=10- 3 cos 然后代入 x=8 求值. (2)由(1)可求得这一天的温度最大值和最小值,进而求得最大温差. 【解析】(1)f(8)=10- 3 cos( =10- 3 cos
2π 2π -sin 3 3 1 2
3 =10. 2

π π t-sin t 化为 y=Asin(ω x+φ )+b 的形式, 12 12

π π ? 8)-sin( ? 8) 12 12

=10- 3 × ( ? ) -

故实验室上午 8 时的温度为 10℃. (2)因为 f(t)= 10 ? 2(
3 π 1 π cos t ? sin t ) 2 12 2 12

=10-2sin ( 又 0≤t<24, 所以 ≤
π 3

π π t ? ). 12 3

π π 7π π π t+ < ,-1≤sin ( t ? ) ≤1. 12 3 3 12 3 π π t ? ) =1; 12 3 π π t ? ) =-1. 12 3

当 t=2 时,sin (

当 t=14 时,sin (

于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12℃,最低温度为 8℃,最大温差为 4℃. 9. (2014· 湖北高考理科·T17) 某实验室一天的温度(单位:o C )随时间 (单 位;h)的变化近似满足函数关系: f (t) ? 10 ? 3 cos (1) 求实验室这一天的最大温差; (2) 若要求实验室温度不高于 11 o C ,则在哪段时间实验室需要降温?

?
12

t ? sin

?
12

t , t ? [0, 24).

【解题指南】 (Ⅰ)将 f (t ) ? 10 ? 3cos

π π t ? sin t 化为 y=Asin(ω x+φ )+b 的形式, 12 12

可求得只一天的温度最大值和最小值,进而求得最大温差。 ( Ⅱ ) 由 题 意 可 得 , 当 f ( t ) > 11 时 , 需 要 降 温 , 由 f ( t ) > 11 , 求

? ? 1 7? ? ? 1 1 ? ( t ? )< ? , ? t? < 得 sin 即 12 3 2 6 1 2 3 6
【解析】 (Ⅰ)因为 f (t) ? 10 ? 2( 又 0 ? t ? 24

,解 得 t 的 范 围 ,可 得 结 论 .

3 ? 1 ? ? ? cos t ? sin t) ? 10 ? 2sin( t ? ) 2 12 2 12 12 3

? ? ? ? 当 t ? 2 时, sin( t ? ) ? 1 ;当 t ? 14 时, sin( t ? ) ? ?1 。 12 3 12 3
于是 f (t) 在[0,24)上取得最大值 12 o C ,取得最小值 8 o C . 故实验室这一天最高温度为 12 o C ,最低温度为 8 o C ,最大温差为 4 o C 。 (Ⅱ)依题意,当 f (t) ? 11时实验室需要降温

? ? ? ? 由(1)得 f (t) ? 10 ? 2sin( t ? ) ,故有 10 ? 2sin( t ? ) ? 11 12 3 12 3 ? ? 1 即 sin( t ? ) ? ? 。 12 3 2 7? ? ? 11? ? t? ? 又 0 ? t ? 24 ,因此 ,即 10 ? t ? 18 。 6 12 3 6
在 10 时至 18 时实验室需要降温。 10.(2014·福建高考文科·T18) . (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) .
(1)求 f (

5? ) 的值; 4

(2)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间. 【解题指南】 (1)直接将
5? 带入到解析式求值. (2)利用三角恒等变换将函数 4

f ? x ? 解析式化简,再利用正弦型函数的性质求解.
【解析】18.解法一: (1) f (
? ?2 cos 5? 5? 5? 5? ) ? 2 cos (sin ? cos ) 4 4 4 4

?
4

(? sin

?

? cos ) ? 2 4 4

?

? (2)因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 . 4 2? ?? . 所以 T ? 2 ? ? ? 由 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? , k ? Z , 2 4 2 3? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 得 k? ? 8 8 3? ? , k? ? ], k ? Z . 所以 f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? 8 8
解法二:

? 因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 5? 11? ? ? 1 ? 2 sin ? 1 ? 2 (1) f ( ) ? 2 sin 4 4 4 2? ?? (2) T ? 2 ? ? ? 由 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? , k ? Z , 2 4 2 3? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 得 k? ? 8 8 3? ? , k? ? ], k ? Z . 所以 f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? 8 8
11.(2014·福建高考理科·T16) . (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? .

1 2

(1)若 0 ? ? ?

?
2

,且 sin ? ?

2 ,求 f (? ) 的值; 2

(2)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间. 【解题指南】⑴先由平方关系式求出 cos? ;⑵运用降幂公式,辅助角公式进行 化简,再研究性质. 【解析】解法一: (1)∵ 0 ? ? ?
? 2 2 , sin ? ? ,∴ cos ? ? ,………………3 分 2 2 2

∴ f (? ) ?

2 2 2 1 1 ( ? ) ? ? ;……………………………………5 分 2 2 2 2 2

(2)∵ f ( x ) ? sin x cos x ? cos 2 x ?

1 1 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? 2 2 2 2

1 1 2 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ,……………………………9 分 2 2 2 4

2? ? ? ? ?? ? ? ? ,由 2k ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? ,得 k ? ? ? x ? k? ? , k ? Z , ? 2 4 2 ? ? ?? ? ∴ f ( x ) 的单调递增区间为 [k ? ? , k ? ? ] , k ? Z .…………………………13 分 ? ? 1 1 1 ? cos 2 x 1 ? 解法二: f ( x ) ? sin x cos x ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? 2 2 2 2

∴T ?

1 1 2 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ,…………………………………4 分 2 2 2 4

(1)∵ 0 ? ? ?

? ? 2 , sin ? ? ,∴ ? ? ,………………………………………6 分 2 4 2

∴ f (? ) ? (2) T ?

2 ? 2 ?? 1 sin(2? ? ) ? sin ? ;……………………………9 分 2 4 2 4 2

2? ? ? ? ?? ? ? ? ,由 2k ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? ,得 k ? ? ? x ? k? ? , k ? Z , ? 2 4 2 ? ? ?? ? ∴ f ( x ) 的单调递增区间为 [k ? ? , k ? ? ] , k ? Z .……………………13 分 ? ?


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