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函数三要素.c


函数的概念
1. 函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一 确定的数 f (x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作:y = f (x),x∈A. 其中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫

做函数值, 函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域. 显然,值域是集合 B 的子集. 函数三要素:定义域、值域、对应法则。当且仅当三者完全相等两个函数才相等。 (a)函数定义的理解. 由函数的定义可知,一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决 定的,所以,如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等. (b) 区间的概念 (1)不等式 a≤x≤b,用闭区间[a,b]表示; (2)不等式 a<x<b,用开区间(a, b)表示; (3)不等式 a≤x<b (或 a<x≤b)用半开半闭区间[a,b](或(a,b])表示; (4)x≥a,x>a,x≤b,x<b 分别表示为[a,+∞),(a, +∞),(–∞, b],(–∞, b). 2.函数的表示方法 1.解析式:把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来,得到的式子叫做解析式. 2.列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3.图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 3.典型例题: 1. 函数 y = f (x)表示( ) A.y 等于 f 与 x 的乘积 C.y 是 x 的函数

B.f (x)一定是解析式 D.对于不同的 x,y 值也不同

2.下列各图中,可表示函数 y =f(x)的图象的只可能是
y y y y

o

x

o

x

o

x

o

x

A

B

C

D

3. 下列四种说法中,不正确的是( ) A.函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应 B.函数的定义域和值域一定是无限集合 C.定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了 1 / 10

D.若函数的定义域只含有一个元素,则值域也只含有一个元素 4. 已知 f (x) = x2 + 4x + 5,则 f (2) = __ ,f (–1) = __ .

函数定义域的求法
一、含分式的函数 在求含分式的函数的定义域时,要注意两点: (1)分式的分母一定不能为 0; (2)绝对不能先化简后求函数定义域。

例1

求函数 f(x)=

x2 ?1 的定义域. x ?1

二、含偶次根式的函数 注意(1)求含偶次根式的函数的定义域时,注意偶次根式的被开方数不小于 0,通过求不等式来求其定义域; (2)在研究函数时,常常 用到区间的概念,它是数学中常用的术语和符号,注意区间的开闭情况. 例1 求函数 y=

ax ? 3 (a 为不等于 0 的常数)的定义域.

三、复合型函数 注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的,则它的定义域是各基本函数定义域的交集,通过列不等式组来实现.
0 (x ? 3) 的定义域. 3x ? 2 + 3 2x ? 3

例 1 求函数 y= 练习

1、求下列函数的定义域。⑴y=

1 | x | ?x

⑵y=

2 x ? 10 x?3
1 1? | x |
1 x?2? 1 x?2
x 2 ? 3x ? 4 x ?1 ? 2

(3)y=

(4)y=

(5)

f ( x) ?

四、抽象函数 (一) 、已知 其解法是:若 的定义域,求 的定义域为 的定义域, ,则 中 ,从中解得 的取值范围即为 的定义域。

例 1. 设函数

的定义域为

,则

(1)函数

的定义域为________。

(2)函数

的定义域为__________。

2 / 10

练习 1 已知 f(x)的定义域为[1,3],求 f(x-1)的定义域. 2 已知函数 f ( x ) 的定义域为(0,1) ,则函数 f (

1 x ? 1) 的定义域是________。 2
? 4), y ? f ( x2 16 ) , y ? f (2 x ), y ? f (? ) ,其定义域 4 x

3 设函数 y ? f ( x ) 的定义域为 A ? [4,?? ) ,给出下列函数: y ? f ( 2 x 仍是 A 的有( A. 1 个 4. (江西卷 3)若函数 A. [0,1] ) B. 2 个 C. 3 个

D. 4 个

y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x ) ?
C.

f (2 x ) 的定义域是 B x ?1
D. (0,1)

B. [0,1)

[0,1) (1,4]

(二) 、已知 其解法是:若

的定义域,求 的定义域为

的定义域。 ,则由 确定 的范围即为 的定义域。

例 2. 已知函数 练习 1 已知函数 f ( 2 x

的定义域为

,则

的定义域为________。

? 4) 的定义域为(0,1) ,则函数 f ( x ) 的定义域是________。

2 已知 f(2x-1)的定义域为[-1,1],求 f ( x ) 的定义域

(三) 、已知 其解法是:可先由

的定义域,求 定义域求得

的定义域。 的定义域,再由 的定义域求得 的定义域。

例 3. 函数

定义域是

,则

的定义域是( )

A. 练习

B.

C.

D.

1 函数 f(2x-1)的定义域为[1,3],求函数 f(x2+1)的定义域.

2 已知 f(2x-1)定义域为[0,1],求 f(3x)的定义域

3 / 10

g ( x )?D ?解 ? ? ??
注 f(x)定义域

?? ???? ?? f[g(x)]的定义域为 D 根据 x?D1求g ( x )的范围

1

(四) 、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,再求交集。

例 4. 已知函数

的定义域是

,求

的定义域。

练习

1.若函数 y ? f ( x) 的定义域为[?1,1],求函数 y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域。
五、对于实际问题中函数的定义域 例 5 用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图) ,若矩形底边长为 2x,求此此框架围成图形的面积 y 关于 x 的函数关系式.

1 4

1 4

定义域的求法 1.函数 y ? 1 ? x ? lg x 的定义域为


.

3x 2 2、函数 f ( x) ? ? lg(3 x ?1) 的定义域为 _ 1? x
3.函数 y ? 1 ? x ? lg x 的定义域为

2? x 4 函数 f(x)= x ? 1 的定义集是



1 ? log 3 ? x ? 1? 的定义域为_____ x ?1 1 ? log 3 ? x ? 1? 的定义域为_____ 6.函数 f ( x) ? x ?1

5 函数 f ( x) ?

___. ____.

2? x 7 函数 f(x)= x ? 1 的定义集是
9、函数 f ( x) ?

。 .

3x 2 ? lg(3 x ?1) 的定义域为 _ 1? x
2

y ? log 1 ( ? x 2 ? x)
10.函数 的单调增区间是

________
4 / 10

11 函数 f(x)=

1 ? log 3 x

的定义域为



求函数值域的方法:
(1)直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y=f(x)的取值范围; 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

2 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }; 4a 2 当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) } 4a

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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(2)配方法:如果 y=f(x)是二次函数或是可以化为二次函数的函数,则可以用配方法求值域. 例:求下列函数的值域: (1)y=x -4x+5;
2

(2)y=x -4x+5,x∈[1,4];

2

(3) y=x +2x+4, x∈[0,+∞ )

2

(3)基本不等式法:利用平均不等式求值域转化成型如: y ? x ? 例:求下列函数的值域: (1)y= x ?

k (k ? 0) ,用公式来求值域; x
9 ,(0<x≤2 ) ; x

1 ,(x>0) ; x

(2)y=4 x ?

1 ,(x≠0) ; x

(3)y= x ?

(4)y=x(6-x);

(5)y=

12 x ( x ? 4) , x2 ? 4

(4)不等式性质法 例:求下列函数的值域:

6 (1)y= 2 ; x ?2

2 x 2 ? 4 x ? 10 (2)y= 2 ; x ? 2x ? 2

(3)y=

6 2sin x ? 1

5 / 10

(4)y=10- 16 ? x2 ;

(5)逆求法(反求法) :通过反解,用 y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式,得出 y 的取值范围;常 用来解,型如: y ?

ax ? b , x ? (m, n) 或将求函数的值域转化为求它的反函数的值域. cx ? d

例:求下列函数的值域:

2 sin x (1)y= ; 3 ? sin x

x2 (2)y= 2 ; x ?2

(6)换元法(代数换元法) :通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; 例: (1) y ? x ? 4 1 ? x ; (2) y ? x ? 1 ? x 2

1.(1)已知 f (x) = 2x + 3,求 f (1),f (a),f (m + n),f [f (x)].

2. (1)已知函数
? x ? 1, ( x ? 0) ? ( x ? 0) , f (x) = ?? , ?0, ( x ? 0) ?

则 f {f [f (–1)]} =

.

(2)在函数
? x ? 2, ( x ? ?1) ? ( ?1 ? x ? 2) 中,若 f (x) = 3,则 x 的值是( f (x) = ? x 2 , ? 2 x, ( x ? 2) ?



A.1 C.± 3

B.1 或 D. 3

3 2

6 / 10

求解析式的方法
1、整体代换(配凑法) 2、换元法( 注意新元的取值范围) 3、待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等) 4、构造方程组(如自变量互为倒数、已知 f(x)为奇函数且 g(x)为偶函数等) 5、赋值法

例题解析: 题型一、代入法求解析式 例 1 已知 f ( x) ? 3x2 ? 5x ? 7 ,求 f (2 x ? 1) 的解析式.

? x2 , x ? 0 练习:1、已知 f ( x) ? 2 x ? 1 , g ( x) ? ? ,求 f [ g ( x)] 和 g[ f ( x)] 的解析式。 ??1, x ? 0

题型二、换元法 例 3、已知 f (1 ? x ) ? 1 ? x 2 , ,求 f ( x) 的解析式
2

1? x

1? x

练 1、已知 f (1 ? sin x) ? sin x ? cos2 x ,求 f(x)的解析式

题型三、配方法求函数解析式 例 2、已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f(x)及 f(x+1)的解析式。

1 1 练、已知 f ( x ? ) ? x 3 ? 3 ,求 f(x)的解析式 x x
7 / 10

题型四、待定系数法 例 4、已知 f ( x) ? 3x ?1, g ( x)为一次函数,f [ g ( x)] ? 2 x ? 3 ,求 g ( x) 的解析式

练 1、已知 f ( x) 为一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) 的解析式。

2、已知二次函数 g ( x) 满足 g (1) ? 1 , g (?1) ? 5 ,图像过原点,求 g ( x) ;

3、已知二次函数 h( x) 与 x 轴的两交点为 (?2, 0) , (3, 0) ,且 h(0) ? ?3 ,求 h( x) ;

题型五、抽象函数的解析式的求解. 1 例、若函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x) 的解析式。 x

练 1、已知 af (4x ? 3) ? bf (3 ? 4x) ? 2 x(a2 ? b2 ) ,求 f ( x) 的解析式。

?1? 2、 已知 2 f(x) ? f ? ? = 3x ,求函数 f(x)的解析式 ? x?

赋值法求解析式
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例 10.设对任意数 x,y 均有 f ? x ? y ? ? 2 f ? y ? ? x2 ? 2xy ? y2 ? 3x ? 3y 求 f(x)的解析式.

变式 1. 已知对一切 x,y∈R, f ? x ? y ? ? f ? x ? ? ? 2x ? y ?1? y 都成立,且 f(0)=1, 求 f(x)的解析式.

练习:

1、已知 f ( x) ? 9 x ? 1, g ( x) ? x2 ,求满足 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 的 x 的值。

2、已知二次函数 F ( x) ,其图像的顶点是 (?1, 2) ,且经过原点,求 F ( x)

3、已知 f ( x) 为二次函数,若 f (0) ? 0 且 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ,求函数 f ( x) 的解析式。

4、设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (? 2 ? x ), 且图象在 y 轴上的截距为 1, 被 x 轴截得的线段长为

2 2 ,求函数的解析式

2 5.若 f ( x ? 1) ? 2 x ? 1,求 f ( x)

6.若一次函数 f ( x) 满足 f [ f ( x)] ? 1 ? 2 x ,求 f ( x)

7.

已知 f (x) = x2 + 1,则 f (3x + 2) =



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