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2013届高考数学一轮复习讲义


一轮复习讲义

函数与方程

要点梳理
1.函数的零点 (1)函数零点的定义

忆一忆知识要点

一般地,我们把使函数 y=f(x)的值为 0 的实数 =f(x)的零点. (2)几个等价关系

x 称为函数 y

方程 f(x)=0 有实数根?函数

y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函 数 y=f(x)有 零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线, f(b)<0 ,则函数 y=f(x)在区间 (a,b) 上有零点,即存在 且 f(a)· c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是 f(x)=0 的根.

要点梳理

忆一忆知识要点

2.二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 与 x 轴的交点 零点个数
(x1,0) , (x2,0) (x1,0)

Δ= 0

Δ<0

无交点

2

1

0

要点梳理
3.二分法

忆一忆知识要点

对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y= f(x), 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值 的方法叫做二分法.

[难点正本

疑点清源]

1.函数的零点不是点 函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根,也就是 函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标,所以函数的零 点是一个数,而不是一个点.在写函数零点时,所写的 一定是一个数字,而不是一个坐标. 2.零点存在性定理的条件是充分而不必要条件 若函数 y=f(x)在闭区间[a, b]上的图象是连续不间断的, 并且在区间端点的函数值符号相反, 即 f(a)· f(b)<0, 则函 数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b) 使

f(c)=0,这个 c 就是方程 f(x)=0 的根.这就是零点存在性 定理.满足这些条件一定有零点,不满足这些条件也不能说 就没有零点.如图,

f(a)· f(b)>0 , f(x) 在区间 (a , b) 上照样存在零点,而且有两 个.所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件,但并不 必要.

判断函数在给定区间上 零点的存在性
例 1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点. (1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].

第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点, 第(2)问利用 零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解. 解 (1)方法一 ∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,
f(8)=82-3×8-18=22>0, ∴f(1)· f(8)<0, 故 f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点.

方法二

令 f(x)=0,得 x2-3x-18=0,x∈[1,8].

∴(x-6)(x+3)=0,∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8], ∴f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点. (2)方法一 ∵f(1)=log23-1>log22-1=0, f(3)=log25-3<log28-3=0,∴f(1)· f(3)<0, 故 f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.
方法二 设 y=log2(x+2),y=x,在同一直 角坐标系中画出它们的图象,从图象中可以 看出当 1≤x≤3 时,两图象有一个交点, 因此 f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.

探究提高
函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理,二 是解方程,三是用图象.值得说明的是,零点存在性定理是 充分条件,而并非是必要条件.

变式训练 1

② (1)函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是________( 填
序号). ①(-2,-1); ②(-1,0); ③(0,1); ④(1,2).
解析 ∵f′(x)=2xln 2+3>0, ∴f(x)=2x+3x 在 R 上是增函数.
而 f(-2)=2 2-6<0,f(-1)=2 1-3<0,
- -

f(0)=20=1>0,f(1)=2+3=5>0,f(2)=22+6=10>0, ∴f(-1)· f(0)<0.故函数 f(x)在区间(-1,0)上有零点.

1 (2)设函数 f(x)= x-ln x (x>0),则 y=f(x)满足________(填 3 序号).
?1 ? ①在区间?e,1?,(1,e)内均有零点; ? ? ?1 ? ②在区间?e,1?,(1,e)内均无零点; ? ? ?1 ? ③在区间?e,1?内有零点,在区间(1,e)内无零点; ? ? ?1 ? ④在区间?e,1?内无零点,在区间(1,e)内有零点. ? ?

解析

1 1 x-3 f′(x)= -x= ,当 x>3 时,f′(x)>0, 3 3x

当 0<x<3 时,f′(x)<0, ∴f(x)在(0,3)上递减,在(3,+∞)上递增.

?1? ?1 ? 1 1 e 又∵f?e ?= +1>0, f(1)= >0, f(e)= -1<0, ∴在区间?e,1? 3 3 ? ? 3e ? ?

内无零点,在区间(1,e)内有零点.
答案 ④

函数零点个数的判断
例 2 若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 y=f(x)-log3|x|的零点个数是 ________.

函数零点的个数?方程解的个数?函数 y=f(x)与 y=log3|x| 的交点的个数.
解析 由题意知,f(x)是周期为 2 的偶函数.

在同一坐标系内作出函数 y=f(x)及 y=log3|x|的图象,如下:

观察图象可以发现它们有 4 个交点, 即函数 y=f(x)-log3|x|有 4 个零点.
答案 4

探究提高
判断函数零点的个数, 通常可用数形结合法, 直接求解法. 这 类题目是高考的常考题目,望同学们能够灵活处理.

变式训练 2
已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴 的交点的个数为________ . 7
∵f(x)是最小正周期为 2 的周期函数, 且 0≤x<2 时, f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1), ∴当 0≤x<2 时, f(x)=0 有两个 根,即 x1=0,x2=1. 由周期函数的性质知,当 2≤x<4 时,f(x)=0 有两个根,即 x3=2,x4=3;当 4≤x<6 时,f(x)=0 有两个根,即 x5=4, x6=5;x7=6 也是 f(x)=0 的根.
故函数 f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴交点的个数为 7.

二次函数的零点分布问题
例 3 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区 间(1,2)内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

设出二次方程对应的函数, 可画出相应的示意图, 然后用函 数性质加以限制.



(1)由条件,抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交 ? ?m<-1, 2 ? ?m∈R, ? ?? 1 ?m<-2, ? 5 ? m>- . ? 6 ?

点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图(1)所示,得 ? ?f(0)=2m+1<0, ?f(-1)=2>0, ? ?f(1)=4m+2<0, ? ?f(2)=6m+5>0. 5 1 即- <m<- . 6 2

(2)抛物线与 x 轴交点均落在区间(0,1)内,如图(2)所示 ? ?f(0)>0, ?f(1)>0, 列不等式组? ?Δ≥0, ? ?0<-m<1. 1 ? ?m>- , 2 ? ? 1 ??m>-2, ? ?m≥1+ 2或m≤1- 2, ? ?-1<m<0. 1 即- <m≤1- 2. 2

探究提高
本题重点考查方程的根的分布问题, 熟知方程的根对于二次函数 性质所具有的意义是正确解此题的关键. 用二次函数的性质对方 程的根进行限制时,条件不严谨是解答本题的易错点.

方法与技巧
1.函数零点的判定常用的方法有: (1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程 f(x)=0. 2.研究方程 f(x)=g(x)的解,实质就是研究 G(x)=f(x)-g(x) 的零点. 3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质 是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围, 当达到一定的精确度要求时,所得区间的任一点就是这 个函数零点的近似值.

失误与防范
2.对函数零点存在的判断中,必须强调: (1)f(x)在[a,b]上连续; (2)f(a)· f(b)<0; (3)在(a,b)内存在零点. 这是零点存在的一个充分条件,但不必要.

知识网络
函数的概念

列表法 定义 表示 定义域 三要素 对应关系 值域 单调性 对称性 解析法 图象法 观察法、判别式法、分离常数法、 单调性法、最值法、重要不等式、 三角法、图象法、线性规划等

1.求单调区间:定义法、导数法、用已知函数的单调性. 2.复合函数单调性:同增异减. 轴对称:f (a-x)=f(a+x); 中心对称: f (a-x)+f(a+x)=2b 1.先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)=f(x)还是-f(x). 2.奇函数图象关于原点对称,若x=0有意义,则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称,反之也成立. f (x+T)=f (x);周期为T的奇函数有: f (T)=f (T/2)= f (0)=0.

函数的

函 数

基本性质

奇偶性

周期性 函数常见的 几种变换 基本初等 函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 常见函数模型

平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.

正(反)比例函数;一次(二次)函数;幂、指数、对数函数
单调性:同增异减; 赋值法 函数零点、二分法、一元二次方程根的分布 奇偶性:内偶则偶,内奇同外

幂、指、对函数模型;分段函数;对勾函数模型

要点梳理
1. 用二分法求函数 f(x) 零点近似值的步骤

f (a ) ? f (b ) ? 0 第一步: 确定区间[a, b],验证______________, 给定精确度ε ; 第二步: 求区间(a, b)的中点x1;
f ( x1 ) : 第三步,计算_______ f ( x1 ) ? 0 ,则x1就是函数的零点; ①若_________ f (a ) ? f ( x1 ) ? 0 则令b=x1 (此时零点x0∈(a, x1)); ②若_____________, ③若______________, f ( x1 ) ? f (b) ? 0 则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)); 第四步: 判断是否达到精确度 ε :即若|a-b|<ε,则 得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.

2.二分法的解题程序

选初始区间 取区间中点



中点函 数值为零


定新区间 区间长度 小于精确度



是 结束

方程

用二分法求

函数

方程的近似解

数学 源于生活

1.寻找解所在的区间

数学 用于生活

2.不断二分解所在的区间
3.根据精确度得出近似解

二分法
逼近 思 想

算法思想
数形结合
转化 思 想

题型一

判断的零点性质应用

? 2 x ? 2, x ? [1, ?? ) 例1.设函数 f ( x ) ? ? 2 ,则函数 f ( x ) ? 1 4 ? x ? 2 x , x ? ( ??,1) 9, 2? 5 2 . 的零点是 8

【解题回顾】 求函数的零点就是求相应的 方程的根 , 一般可以借助求根公式或因式分解 等办法,求出方程的根,从而得到函数的零点.

方程 2 ? x y 的解有_____ 3 个.
x 2

x 【解题回顾】当判断方程 f (x) = g (x)的实根个数 时,我们可转化为判断函数y = f (x) 与函数 y = g (x) 的图像的交点的个数.

o

方程|x|(x-1)-k=0有三个不相等的实根, 则
( ? 1 , 0) k的取值范围是 4 .

【解题回顾】本题研究方程 根的个数问题,此类问题首选 的方法是图象法,即构造函 数利用函数图象解题,

(07山东)若函数y=x2+mx+m+3 有两个不同的零点,则的取值范围是 m ? ?2, 或 m ? 6 . ________________ 若函数 f ( x ) ? 2mx ? 4 在 [-2,1]上存在零点, (??, ?2] [1, ??) 则实数m的取值范围是_________________.

f (?2) ? f (1) ? (4 ? 4m )(4 ? 2m) ≤ 0


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