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5. 导数及其应用


第讲导数及其应用
【课前小测】
1.(2015· 陕西)设 f(x)=x-sinx,则 f(x)( A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数 2.(2014· 课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是( A.(2,+∞)

C.(1,+∞) ) B.(-∞,-2) D.(-∞,-1) )

3.(2014· 辽宁)当 x∈[-2,1]时,不等式 ax3-x2+4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( ) 9 B.[-6,- ] 8 D.[-4,-3]

A.[-5,-3] C.[-6,-2]

4.(2013· 安徽)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1,x2.若 f(x1)=x1<x2,则关于 x 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的不同实根个数为( A.3B.4C.5D.6 )

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【考点 1】导数的几何意义
1.函数 f(x)在 x0 处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线 f(x)在点 P 处的 切线的斜率 k=f′(x0),相应的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的不同. 例1 (1)(2015· 课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),

则 a=____________. (2)(2015· 泸州市质量诊断)设函数 f(x)=ax3+3x,其图象在点(1,f(1))处的切线 l 与直线 x- 6y-7=0 垂直,则直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积为( A.1B.3C.9D.12 )

5 练 1 在平面直角坐标系 xOy 中,设 A 是曲线 C1:y=ax3+1(a>0)与曲线 C2:x2+y2= 的一 2 个公共点,若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直,则实数 a 的值是________.

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【考点 2】利用导数研究函数的单调性
1.f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数 f(x)=x3 在(-∞,+∞)上单调递增, 但 f′(x)≥0. 2.f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有 f′(x)=0 时,则 f(x)为常函数,函数不具有单调性. 例2 3x2+ax (2015· 重庆)设函数 f(x)= (a∈R). ex

(1)若 f(x)在 x=0 处取得极值, 确定 a 的值, 并求此时曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程; (2)若 f(x)在[3,+∞)上为减函数,求 a 的取值范围.

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练2

1 (1)函数 f(x)= x2-lnx 的单调递减区间为( 2 B.(0,1] D.(0,+∞)

)

A.(-1,1] C.[1,+∞)

1 1 2 (2) 若函数 f(x) =- x3 + x2 + 2ax 在 [ ,+∞) 上存在单调递增区间,则 a 的取值范围是 3 2 3 ________.

【考点 3】利用导数求函数的极值、最值
1.若在 x0 附近左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则 f(x0)为函数 f(x)的极大值;若在 x0 附近左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则 f(x0)为函数 f(x)的极小值. 2.设函数 y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则 f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值 且在极值点或端点处取得. 例3 x2 (2015· 北京改编)设函数 f(x)= -klnx,k>0. 2

(1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)当 x∈[1, e]时,求 f(x)的最小值.

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练 3 已知函数 f(x)=lnx+ax-a2x2(a≥0). (1)若 x=1 是函数 y=f(x)的极值点,求 a 的值; (2)若 f(x)<0 在定义域内恒成立,求实数 a 的取值范围.

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【巩固练习】
1.已知曲线 y=lnx 的切线过原点,则此切线的斜率为( A.e 1 C. e B.-e 1 D.- e ) )

a 2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a 在 x=1 处取得极大值 10,则 的值为( b 2 A.- 3 2 C.-2 或- 3 B.-2 2 D.2 或- 3

3.已知函数 f(x)=x2-ax+3 在(0,1)上为减函数,函数 g(x)=x2-alnx 在(1,2)上为增函数,则 a 的值等于________. 1 4. 已知函数 f(x)=x- , g(x)=x2-2ax+4, 若任意 x1∈[0,1], 存在 x2∈[1,2], 使 f(x1)≥g(x2), x+1 则实数 a 的取值范围是__________.

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【课后作业】
1.若函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象可能为 ( )

lnx-2x 2.(2015· 云南第一次检测)函数 f(x)= 的图象在点(1,-2)处的切线方程为( x A.2x-y-4=0 C.x-y-3=0 2 3.设函数 f(x)= +lnx,则( x 1 A.x= 为 f(x)的极大值点 2 1 B.x= 为 f(x)的极小值点 2 C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 1 4. (2015· 长春调研)已知函数 f(x)= x3+ax+4, 则“a>0”是“f(x)在 R 上单调递增”的( 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1-x 1 5.已知 a≤ +lnx 对任意 x∈[ ,2]恒成立,则 a 的最大值为( x 2 A.0 C.2 B .1 D.3 ) ) B.2x+y=0 D.x+y+1=0

)

)

b 6.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2,-5),且该曲线在 x 点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是______________________.

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7.已知函数 f(x)的定义域为 R,f′(x)为 f(x)的导数,函数 f′(x)的图象如图所示,且 f(-2) =f(3)=1,则不等式 f(x2-6)>1 的解集为_______________________________________.

8.已知函数 f(x)=4lnx+ax2-6x+b(a,b 为常数),且 x=2 为 f(x)的一个极值点,则 a 的值 为________. 4 9.(2015· 重庆)已知函数 f(x)=ax3+x2(a∈R)在 x=- 处取得极值. 3 (1)确定 a 的值; (2)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性.

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x2 10.已知函数 f(x)= -lnx,x∈[1,3]. 8 (1)求 f(x)的最大值与最小值; (2)若 f(x)<4-at 对任意的 x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求实数 a 的取值范围.

11.函数 f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数 t 的最小值是( A.20 C.3 ) B.18 D.0

12.已知函数 f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围为________.

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13.已知函数 f(x)=a(x2+1)+lnx. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若对任意 a∈(-4,-2)及 x∈[1,3],恒有 ma-f(x)>a2 成立,求实数 m 的取值范围.

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