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均值不等式教案




题:1.3 均值不等式

教学目标:
(一)知识目标: 学会推导并掌握均值不等式,理解这个均值不等式的几何意义,并掌握定理中取等 号的条件. (二)能力目标: 通过对均值不等式的推导过程,提高学生探究问题,分析与解决问题的能力。 (三)情感目标: (1)通过探索均值不等式的证明过程,培养探索、研究精神。 (2)通过对均值不等

式成立的条件的分析,养成严谨的科学态,并形成勇于提出问 题、分析问题的习惯。

教学重点:不等式的证明过程。 教学难点:理解“当且仅当 a=b 时取等号”的数学内涵。 教学方法:
(一)教法:引导发现、数形结合、讲练结合。 (二)学法:先让学生观察常见的图形,通过面积的直观比较抽象出基本不等式,从 生活中实际问题还原出数学本质,可积极调动地学生的学习热情.定理的证明要留给 学生充分的思考空间,让他们自主探究,通过类比得到答案.

教学准备(教具) :直角板、圆规、小黑板或者投影仪(多媒体教室) 教学过程:
(一)情景引入: 同学们, 这是北京召开的第 24 届国际数学家大 会的会标(如图) ,大家想一想,你能通过这个简单 的风车造型中得到一些相等和不等关系吗? 提问 1:该图中有 4 个全等的直角三角形.设直 角三角形的长为 a 、 b ,那么正方形的边长为多少? 面积为多少呢? (图 1) 生答: 2ab . 提问 3:好,根据观察 4 个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得
2 2 到一个不等式, a ? b ? 2ab .什么时候这两部分面积相等呢?
2 2 2 2 生答: a ? b , a ? b .

提问 2:那 4 个直角三角形的面积和呢?

生答: 当直角三角形变成等腰直角三角形, 即 a ? b 时, 正方形 EFGH 变成一个点,
-0-

2 2 这时有 a ? b ? 2ab 。 2 2 从上面我们能得到不等式 a ? b ? 2ab ,对这种形式不等式。我们还有一个定理,

这就是我们今天要研究的问题----均值不等式。 (二)新课讲授 (1)(板书)均值不等式:
a?b ? ab 如果 a ? 0 , b ? 0 ,那么 2

当且仅当 a=b 时,式中等号成立。 引导学生利用不等式的性质推导.
要证:
a?b ? ab (a ? 0,b ? 0) ?????????① 2

即证: a ? b ? 要证②,只要证: a ? b ? 要证③,只要证: (

???????????②

? 0 ????③
) 2 ? 0 ??④

点评,强调取等条件; 对任意两个正实数 a 平均数。 2不等式的几何解释:
a?b 令正数 a,b 为两条线段的长,用几何作图的方法,作出长度为 2 和 ab
a?b b, 2 叫做ab的算术平均数, ab 叫做ab的几何

的两条线段,然后比较这两条线段的长 具体作图如下 (1)作线段 AB=a+b,使 AD=a,DB=b, (2)以 AB 为直径作半圆 O; (3)过 D 点作 CD⊥AB 于 D,交半圆于点 C a?b (4)连接 AC,BC,CA,则 CD ? AB ? CO 2

如下图

C
a+b 2 ab

A

a O
(图 2)
-1-

D

b

B

当 a≠b 时,OC>CD,即 当 a=b 时,OC=CD,即

a?b ? ab 2

a?b ? ab 2

从上面我们能看到当其中a+b为定值时, ab 有最大值。 大家想知道 ab 为定值时a+b有什么情况吗?先让我们看下面的例子。 例:一个矩形的面积为 100m2,问这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最 短?最短周长是多少? 分析:矩形的长与宽的乘积是一个常数,求长与宽的和的 2 倍的最小值; 解:设矩形的长、宽分别为 x(m),y(m),依题意有 xy=100(m2), 因为 x>0,y>0,所以, 因此,即 2(x+y)≥40 当且仅当 x=y 时,式中等号成立, 此时 x=y=10。 答:当这个矩形的长与宽都是 10m 时,它的周长最短,最短周长是 40m 规律:两个正数的积为常数时,它们的和有最小值; 两个正数的和为常数时,它们的积有最大值。 想必大家对不等式已经有了足够的认识。现在我们来看下面的练习: 练习:已知矩形的周长是 36m,问这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的面积最 大?最大面积是多少? 分析:矩形的长与宽的和的 2 倍是一个常数,求长与宽的乘积的最大值。 解:设矩形的长、宽分别为 x(m),y(m), 依题意有 2(x+y)=36,即 x+y=18 因为 x>0,y>0,所以 及
xy ? 9

x? y ? xy 2

xy ≤

x? y 2

将这个正值不等式的两边平方,得 xy≤81 当且仅当 x=y 时,式中等号成立, 此时 x=y=9, 答:当这个矩形的长与宽都是 9m 时,它的面积最大,最大值是 81m2



结: (教师引导学生小结本节课所学的知识要点)
知识:均值定理及其成立的条件,及其均值定理的应用
-2-

方法:一正,二定,三相等。 思想:类比和数形结合的思想。



业:
基础题:课本 第 77 页 A 组 1. 提高题:课本 第 77 页 A 组 3.4 研究题:设正数 a、b,试尽可能多的给出含有 a 和 b 的两个元素的不等式.

-3-


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