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高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第1篇 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条


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第2讲
[考纲] 1.理解命题的概念.

命题及其关系、充分条件与必要条件

2.了解“若 p,则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命 题的相互关系. 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.

知 识 梳 理
1.四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系. 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 p?q,则 p 是 q 的充分 条件,q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件 p 是 q 的充要条件 p 是 q 的既不充分也不必要条件 p p?q 且 q p p

q 且 q?p p?q q且q p

辨 析 感 悟
1.对四种命题的认识 π π (1)命题“α=4,则 tan α=1”的否命 是“若 α=4,则 tan α≠1”.( )

(2)若原命题“若 p,则 q”为真,则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中

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宜宾市优学堂培训学校 真命题的个数为 1 或 2.( ) (3)命题“若 x2-3x+2>0,则 x>2 或 x<1”的逆否命题是“若 1≤x≤2,则 x2 -3x+2≤0”.( ) 2.对充分条件、必要条件的理解 (4)给定两个命题 p,q.若 p 是 q 的充分不必要条件,则 ? p 是 ? q 的必要不充分 条件.( ) (5)“(2x-1)x=0”的充分不必要条件是“x=0”.( ) 1 (6)在△ABC 中,“A=60° ”是“cos A=2”的充分不必要条件.( ) (7)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ π =2”的充分必要条件.( )

[感悟· 提升] 1.一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念.否命题同时否定原命题

的条件和结论,命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变),如(1). 2. 三个防范 一是分清命题中的条件和结论, 并搞清楚其中的关键词, 如“≠”

与“=”,“>”与“≤”,“且”与“或”,“是”与“不是”,“都不是” 与“至少一个是”,“都是”与“不都是”等互为否定,如(3); 二是弄清先后顺序:“A 的充分不必要条件是 B”是指 B?A,且 A 而“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A?B 且 B 三是注意题中的大前提,如(6). B,如(5);

A,如(6)、(7);

考点一

命题及其相互关系

【例 1】已知:命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”, 则下列结论正确的是( ).
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宜宾市优学堂培训学校 A.否命题是“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数,则 m>1”,是真 命题 B.逆命题是“若 m≤1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数”,是假命 题 C.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数”,是真 命题 D.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上不是增函数”, 是真命题

规律方法 (1)在判断四种命题的关系时,首先要分清命题的条件与结论,当确定 了原命题时,要能根据四种命题的关系写出其他三种命题. (2)当一个命题有大前提时,若要写出其他三种命题,大前提需保持不变. (3)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;说明一个命题是假命题,只需举 出反例. (4)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假 ”这一性质, 当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. 【训练 1】(2013· 长春二模)命题“若 a2+b2=0,则 a=0 且 b=0”的逆否命题是 ( ).

A.若 a2+b2≠0,则 a≠0 且 b≠0 B.若 a2+b2≠0,则 a≠0 或 b≠0 C.若 a=0 且 b=0,则 a2+b2≠0 D.若 a≠0 或 b≠0,则 a2+b2≠0 考点二 充分条件、必要条件的判断

【例 2】(1) “a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的 ( ). B.必要不充分条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件
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宜宾市优学堂培训学校 (2)如果 a=(1,k),b=(k,4),那么“a∥b”是“k=-2”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 ).

D.既不充分也不必要条件

规律方法 判断 p 是 q 的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件 p 能否推得 条件 q;二是由条件 q 能否推得条件 p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命 题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆 否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题. 【训练 2】 “φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 ).

D.既不充分也不必要条件

考点三

充分条件、必要条件的探求

【例 3】(1)若集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-2<x<a},则“A∩B≠?”的充 要条件是( ).

A.a>-2 B.a≤-2 C.a>-1 D.a≥-1 ?log2x,x>0, (2)函数 f(x)=? x 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ?2 -a,x≤0 1 A.a≤0 或 a>1 B.0<a<2 1 C.2<a<1 D.a<0 ).

规律方法 有关探求充要条件的选择题,破题关键是:首先,判断是选项“推” 题干,还是题干“推”选项;其次,利用以小推大的技巧,即可得结论. 【训练 3】“直线 x-y-k=0 与圆(x-1)2+y2=2 有两个不同的交点”的一个充 分不必要条件可以是( ).

A.-1<k<3 B.-1≤k≤3 C.0<k<3 D.k<-1 或 k>3
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1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必须保留大前提,也就是大 前提不动;对于由多个并列条件组成的命题,在写其它三种命题时,应把其中一 个(或几个)作为大前提. 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与定理是有区别的;命 题有真假之分,而定理都是真的. 3.命题的充要关系的判断方法 (1)定义法:直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假. (2)等价法:利用 A?B 与綈 B?綈 A,B?A 与綈 A?綈 B,A?B 与綈 B?綈 A 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断: 若 A?B, 则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要 条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件.

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等价转化思想在充要条件关系中的应用 x-1? ? ?≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且 ? p 是 ? q 的 【典例】已知 p:?1- 3 ? ? 必要而不充分条件,求实数 m 的取值范围.

[反思感悟] 本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复 杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取 值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解 此类问题的关键. 【自主体验】 1.给定两个命题 p,q.若 ? p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是綈 q 的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ).

2. 已知命题 p: x2+2x-3>0; 命题 q: x>a, 且 ? q 的一个充分不必要条件是 ? p, 则 a 的取值范围是( ). A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[-1,+∞) D.(-∞,-3]

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宜宾市优学堂培训学校 基础巩固题组 一、选择题 1.命题“若 p,则 q”的逆命题是( A.若 q,则 p B.若 ? p,则 ? q ). C.若 ? q,则 ? p D.若 p,则 ? q ).

2. 已知 a, b, c∈R, 命题“若 a+b+c=3, 则 a2+b2+c2≥3”的否命题是( A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3 a 3.设 a∈R,则“a=2”是“直线 y=-ax+2 与 y=4x-1 垂直”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 ).

D.既不充分也不必要条件 ).

4.命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是( A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 1 5.不等式 x-x >0 成立的一个充分不必要条件是( A.-1<x<0 或 x>1 C.x>-1 二、填空题 B.x<-1 或 0<x<1 D.x>1 ).

1 6. “m<4”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的________条件. 7.下列四个说法: ①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真; ②命题“设 a,b∈R,若 a+b≠6,则 a≠3 或 b≠3”是一个假命题; 1 1 ③“x>2”是“ < ”的充分不必要条件; x 2 ④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真.

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宜宾市优学堂培训学校 其中说法不正确的序号是________. 8.已知 a,b,c 都是实数,则在命题“若 a>b,则 ac2>bc2”与它的逆命题、 否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是________. 三、解答题 9.判断命题“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”的逆否命题的真假.

10.已知 p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1-a2≤0(a>0).若 p 是 q 的充分不必 要条件,求实数 a 的取值范围.

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一、选择题 1.命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 2.已知 x∈R,则 x≥1 是|x+1|+|x-1|=2|x|的( A.充分不必要条件 C.充要条件 二、填空题 B.必要不充分条件 ). ).

D.既不充分也不必要条件

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宜宾市优学堂培训学校 3.设 n∈N*,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根的充要条件是 n=________. 三、解答题 4.设命题 p:|4x-3|≤1;命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 ? p 是 ? q 的必 要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

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