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杭州二中2013学年第一学期高三年级第二次月考数学试卷(文科)


杭州二中 2013 学年第一学期高三年级第二次月考数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.卷面共 150 分,考试时间 120 分钟. 第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.

b 为向量,则“ a × b > 0 ”是“ a, b 的夹角是锐角”的( 1. 设 a、
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要

r r

)条件

D.既不充分也不必要 )

2.在 DABC 中, a = 3 2, b = 2 3, cos C = A.3 3 B.2 3 C.4 3

1 ,则 DABC 的面积为( 3
D. 3 )

3.已知函数 f ( x ) = log 1 x - 1 ,则下列结论正确的是(
2

A. f (- ) < f (0) < f (3) C. f (3) < f (- ) < f (0)

1 2

B. f (0) < f (- ) < f (3) D. f (3) < f (0) < f (- )

1 2

1 2

1 2

4.设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 = -2013 , A. -2011 B. -2015 C.2011

S2013 S2011 = 2 ,则 a2 = ( 2013 2011
D.2015



p 2 个单位,得到函数 y = 1 - 2 sin x 的图象,则 f ( x ) 是( 4 A. 2 cos x B. 2 sin x C. sin x D. cos x 4 p 6.若 sin(a - b ) sin b - cos(a - b ) cos b = ,且 a 为第二象限角,则 tan( + a ) = ( ) 5 4 1 1 A、 7 B、 C、 -7 D、 7 7
5.将函数 y = f ?( x ) sin x 的图象向左平移 7. 若数列 {an } , {bn } 的通项公式分别是 an = ( -1) 立,则实数 a 的取值范围是( A. ê -1, ÷ )
n + 2012

)

a, bn = 2 +

( -1)n + 2013 , 且 an < bn 对任意 n ? N * 恒成 n é ?

é ?

1? 2?
2

B. ê -2, ÷

é ?

1? 2?

C. ê -2, ÷

é ?

3? 2?

D. ê -1, ÷ )

3? 2?

8.设函数 f ( x ) = x - 23 x + 60, g ( x) = f ( x )+ | f ( x ) | ,则 g (1) + g ( 2 ) + L + g ( 20 ) = ( A.0
3

B.38

C. 56

D.112 )

9.设函数 f ( x ) = x - 4 x + a ( 0 < a < 2 ) 有三个零点 x1 , x2 , x3 ,且 x1 < x2 < x3 则下列结论正确的是( A. x1 > -1 B. x2 < 0 C. 0 < x2 < 1 D. x3 > 2

10.已知 f ( x ) = log a ( x + 1), g ( x ) = 2 log a (2 x + t )( a > 1) ,若 x ? [0,1), t ? [4,6) 时, F (x ) = g ( x ) - f ( x ) 有
1

最小值 4 ,则 a 的最小值为(



A.1

B. 2

C.1 或 2

D. 2 或 4

第 II 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

p 4 + q ) = , 则 cos 2q 的值是 . 2 5 r r r r r r 0 12.平面向量 a与b 的夹角为 60 , a = (2,0), a + 2b = 2 3, 则 b =
11.已知 cos(
2

. .

13. 数列 {an } 中, a1 = 1 , "n ? 2, n ? N * , a1 × a2 × a3 × L × an = n ,则 a3 + a5 = 14. 函数 f ( x ) = sin w x + 3 cos w x ( x ? R ), 又f (a ) = -2, f ( b ) = 0, 且 a -b 的 最小 值等 于 值为 .
3

p , 则正数 w 的 2

15.已知函数 f ( x ) = x + x 的切线过点 (1, 2) ,则其切线方程为

.

16.设实数 x1 、 x2 、 L 、 xn 中的最大值为 max { x1,x2, L,xn } ,最小值 min { x1,x2, L,xn } ,设

DABC 的三边长分别为 a、b、c ,且 a ? b ? c ,设 DABC 的倾斜度为

ìa b c ü ìa b c ü t = max í , , ? × min í , , ? ,若 △ ABC 为等 腰三 角 形 ,则 t= . ?b c a ? ?b c a ? u r ur r u r u r ur ur u r r ur r ur r 17.已知向量 a、、 b g 满足 a = 1 , a - b = b , (a - g ) × ( b - g ) = 0 .若对每一确定的 b , g 的最
大值和最小值分别是 m、n ,则对任意 b , m - n 的最小值是 三.解答题(本大题有 5 小题,共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 已知集合 A= x x - 3x + 2 ? 0 ,集合 B= y y = x - 2 x + a ,集合 C= x x - ax - 4 ? 0 .命题
2 2 2

ur

.

{

}

{

}

{

}

p : A I B ? ? ,命题 q : A ? C
(Ⅰ)若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若命题 p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围. 19. (本题满分 14 分)

3 1 sin 2 x - cos 2 x - , x ? R . 2 2 p 5p (Ⅰ)当 x ? [- , ] 时,求函数 f ( x) 的最小值和最大值; 12 12 (Ⅱ)设△ABC 的对边分别为 a, b, c ,若 c = 3 , f (C ) = 0 , sin B = 2sin A ,求 a, b 的值.
已知函数 f ( x) = 20.(本题满分 14 分) 已知 DOAB 中, OA = a, OB = b, OA = 2, OB = 3 ,C 在边 AB 上且 OC 平分 ?AOB (Ⅰ)用 a, b 表示向量 OC ;
2

uuu r

r uuu r

r uuu r

uuu r

r r

uuur

(Ⅱ)若 OC =

uuur

6 ,求 ?AOB 的大小. 5
中 , 点 P (an , an +1 ), n ? N * 在 直 线 y = 2 x + k 上 , 数 列

21.(本小题满分 15 分) 在 数 列

{an }

{bn }

满 足 条 件 :

b1 = 2, bn = an +1 - an (n ? N * ).
(Ⅰ)求证: 数列 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)若 cn = bn log 2

1 , sn = c1 + c2 + L + cn , 求 2n +1 - sn > 60n + 2 成立的正整数 n 的最小值. bn
x (0 < x < 2) . 2- x

22.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) = 1 + ln

使得函数 y = f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数 y = f ( x) 的 (Ⅰ)是否存在点 M ( a, b ) , 图像上?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由; (Ⅱ)定义 S n = f ?

?1? ?2? ? 2n - 1 ? * ÷ + f ? ÷ +L+ f ? ÷ ,其中 n ? N ,求 S 2013 ; èn? èn? è n ?
a

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,令 S n + 1 = 2an ,若不等式 2 n × ( an ) m > 1 对 "n ? N * 且 n ? 2 恒成立,求实数 m 的取 值范围.

3

第二次月考数学试卷(文科)答案:BCCAB
11. -

BCDCB 14. 1 17.

7 25

12. 1

13. a3 + a5 = 9 + 25 = 61 4 16 16 16. 1

15. 4 x - y - 2 = 0,7 x - 4 y + 1 = 0 18. 解:

1 2

Q y = x 2 - 2 x + a = ( x - 1)2 + a - 1 ? a - 1,\ B = { y y ? a - 1} C = x x 2 - ax - 4 ? 0

, A = x x - 3x + 2 ? 0 = x 1 ? x ? 2 ,
2

{

} {

}

(Ⅰ)由命题 p 是假命题,可得 A I B =? ,即得 a - 1 > 2,\ a > 3 . (Ⅱ)Q p ? q 为真命题,\ p、q 都为真命题, 即 A I B ? ?, 且A?C

{

}

ì a -1 ? 2 ? \ 有 í 1 - a - 4 ? 0 ,解得 0 ? a ? 3 . ? 4 - 2a - 4 ? 0 ?

3 1 3 1 - cos 2 x 1 p sin 2 x - cos 2 x - = sin 2 x - = sin(2 x - ) - 1 2 2 2 2 2 6 p p 2p p 5p 由 x ? [- , ] ,\ 2 x - ? [ - , ] 6 3 3 12 12 p \ x = - , f ( x) 的最小值为 -1 - 3 , x = p , f ( x ) 的最大值是 0.-------7 分 12 2 3 p (Ⅱ)由 f (C ) = 0 即得 f (C ) = sin(2C - ) - 1 = 0 ,而又 C ? (0, p ) , 6 p p 11p p p p 则 2C - ? ( - , ),\ 2C - = ,\ C = ,则由 6 6 6 6 2 3
19. 解: (Ⅰ) f ( x) =

b = 2a b = 2a ì ì 即í 解得 a = 1, b = 2 . í 2 2 2 2 2 ? c = a + b - 2ab cos C ?3 = a + b - ab uuur 3 r 2 r 2p 20. (1) OC = a + b ; (2) ?AOB = 5 5 3 an +1 = 2an + k ,\ bn = 2an + k - an = an + k
21.解: (Ⅰ)依题意

----------14 分

\ bn +1 = an +1 + k = 2an + k + k = 2(an + k ) = 2bn b 又Q b1 = 2, 而 n +1 = 2 ,\ 数列 {bn } 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. bn
n -1

即得 bn = 2g2

= 2n ,为数列 {bn } 的通项公式. -------6 分 1 1 = 2 n × log 2 n = - n × 2n. bn 2

(Ⅱ)由 cn = bn log 2

\-2 sn = 1 ? 22 + 2 ? 23 + 3 ? 24 + L + ( n - 1) ? 2n + n ? 2n +1
上两式相减得

- sn = -( c1 + c2 + L + cn ) = 1 ? 2 + 2 ? 22 + 3 ? 23 + L + n ? 2n

sn = 2 + 2 + 2 + L + 2 - n ? 2
2 3 n

n +1

2(1 - 2n ) = - n ? 2n +1 1- 2
4

= 2n +1 - n ? 2n +1 - 2 n +1 n +1 n +1 由 2 - sn > 60n + 2 ,即得 n × 2 > 60n,\ 2 > 60 , ? 25 = 32 < 60 ,当 n ? 5 时, 2n +1 ? 26 = 64 > 60. n +1 故使 2 - sn > 60n + 2 成立的正整数的最小值为 5. -------14 分
又当 n ? 4 时, 2 22.解:(1)假设存在点 M ( a, b ) ,使得函数 y = f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数
n +1

y = f ( x) 的图像上,则函数 y = f ( x) 图像的对称中心为 M ( a, b) .
由 f ( x ) + f (2a - x ) = 2b ,得 1 + ln 即 2 - 2b + ln

x 2a - x + 1 + ln = 2b , 2- x 2 - 2a + x

ì2 - 2b = 0, ì a = 1, - x 2 + 2ax 解得 í = 0 对 "x ? (0, 2) 恒成立,所以 í 2 - x + 2ax + 4 - 4a ?4 - 4a = 0, ?b = 1.

所以存在点 M (1,1) (Ⅱ)由(1)得 f ( x ) + f (2 - x ) = 2(0 < x < 2) .

i i i ,则 f ( ) + f (2 - ) = 2 (i = 1, 2, ×××, 2n - 1) . n n n 1 2 2 1 因为 S n = f ( ) + f ( ) + ××× + f (2 - ) + f (2 - ) ①, n n n n 1 2 2 1 所以 S n = f (2 - ) + f (2 - ) + ××× + f ( ) + f ( ) ②, n n n n
令x= 由①+②得 2 S n = 2(2n - 1) ,所以 S n = 2n - 1( n ? N* ) . 所以 S 2013 = 2 ? 2013 - 1 = 4025 .-------10 分

Sn + 1 = n( n ? N* ) . 2 n m a 因为当 n ? N* 且 n ? 2 时, 2 n × ( an ) m > 1 ? 2 n × n m > 1 ? . >ln n ln 2
(Ⅲ)由(2)得 S n = 2n - 1( n ? N* ) ,所以 an = 所以当 n ? N* 且 n ? 2 时,不等式

m n m ? n ? 恒成立 ? ? . >÷ >ln 2 ln n ln 2 è ln n ?min

设 g ( x) =

ln x - 1 x . ( x > 0) ,则 g ?( x) = ln x (ln x) 2

当 0 < x < e 时, g ?( x ) < 0 , g ( x ) 在 (0, e) 上单调递减; 当 x > e 时, g ?( x ) > 0 , g ( x ) 在 (e, +? ) 上单调递增. 因为 g (2) - g (3) =

2 3 ln 9 - ln 8 = > 0 ,所以 g (2) > g (3) , ln 2 ln 3 ln 2 × ln 3

所以当 n ? N* 且 n ? 2 时, [ g ( n) ]min = g (3) =

3 . ln 3
5

由 [ g ( n) ]min > -

m 3 m 3ln 2 3ln 2 ,得 ,解得 m > .实数 m 的取值范围是 ( >, +?) .-------15 分 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 ln 3

6


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