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河北省唐山一中2013-2014学年高二下学期第一次月考 数学理


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唐山一中 2013—2014 学年度第二学期月考考试

高二年级数学试卷(理科)
说明: 1.考试时间 120 分钟,满分 150 分。2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢 笔或圆珠笔答在答题纸上。3.Ⅱ卷卷头和答

题卡均填涂本次考试的考号,不要误填学号, 答题卡占后5位。

卷Ⅰ(选择题

共 60 分)

一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1.分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的( ) A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.必要条件或充分条件 2.求曲线 y ? x2 与 y ? x 所围成图形的面积,其中正确的是( A. S ? C. S ? )

? (x
0

1

2

? x)dx

B. S ? D. S ? ②: y ? x ) C.③ )

? (y ?
0 1 0

1

y )dy
2

?

1

0

( y 2 ? y)dy

? ( x ? x )dx
2

3. 对于以下四个函数: ①: y ? x

③: y ? x

3

④: y ?

1 x

在区间 [1, 2] 上函数的平均变化率最大的是( A.①
2

B.②
2

D. ④

4. 已 知 z1 ? m ? 3m ? m i, z 2 ? 4 ? (5m ? 6)i , 其 中 m 为 实 数 , i 为 虚 数 单 位 , 若

z1 ? z 2 ? 0 ,则 m 的值为(

A. 4 B . ?1 C.6 D .0 5.设函数 f(x)的图象如图,则函数 y=f′(x)的图象可能是下图中的( )

6. 曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到

直 )0 C. 3 5 D.0

线

2 x ? y ? ? 的最短距离是( 3
A. 5 B. 2 5

n n 7. 用数学归纳法证明,“当n为正奇数时, x ? y 能被 x ? y 整除”时,第2步归纳假设应写

成(


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A.假设 n ? 2k ? 1(k ? N ? ) 时正确,再推证 n ? 2k ? 3 时正确 B.假设 n ? 2k ? 1(k ? N ? ) 时正确,再推证 n ? 2k ? 1 时正确 C.假设 n ? k (k ? 1) 时正确,再推证 n ? k ? 2 时正确 D.假设 n ? k (k ? 1) 时正确,再推证 n ? k ? 2 时正确

8. 设 0 ? a ? b, 且f ( x) ? A. f (a ) ? f (

1? 1? x ,则下列大小关系式成立的是( x
B . f(

).

a?b ) ? f ( ab ) 2 a?b ) ? f (a) C . f ( ab ) ? f ( 2
3

a?b ) ? f (b) ? f ( ab ) 2 a?b ) ? f ( ab ) D . f (b) ? f ( 2

9. 在函数 y ? x ? 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于 是 A.3 B.2 ( C.1 )

? 的点中,坐标为整数的点的个数 4
D.0 )

10.函数 f ( x) ? cos3 x ? sin 2 x ? cos x, 在 [0, 2? ) 上的最大值为( A.

4 27

B.

8 27

C.

16 27

D.

32 27

11.平面几何中,边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值 题,棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( A. ) D.

3 a ,类比上述命 2

2 a 3

B.

6 a 3

C.

5 a 4

6 a 4

12.已知 f1 ( x) ? sin x ? cos x , f n?1 ( x)是f n ( x) 的导函数,即

f 2 ( x) ? f1' ( x), f 3 ( x) ? f 2' ( x),..., f n?1 ( x) ? f n' ( x) , n ? N * ,则 f 2014 ( x) ? (
A. sin x ? cos x B. sin x ? cos x C. ? sin x ? cos x

)

D. ? sin x ? cos x

卷Ⅱ(非选择题
2

共 90 分)

二.填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 的递减区间是__________ 14. 若 f ( x) ? ax ? x 恰有三个单调区间,则 a 的取值范围为_____ __
3

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15. 已知函数 f(x)的自变量取值区间为 A ,若其值域也为 A ,则称区间 A 为 f ( x) 的保值区 间.若 g ( x) ? x ? m ? ln x 的保值区间是[2,+∞),则 m 的值为________. 16.将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图所示的 0—1 三角数表.从上往下数, 第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,…,第 n 次全行的 数都为 1 的是第______行;第 61 行中 1 的个数是______.

三.解答题 17. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? ax ? d 的图象过点 P(0,2),且在点
3 2

M (?1, f (?1)) 处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间.
3 2 18、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值.

(1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程.

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19.如图,设点 P 从原点沿曲线 y ? x 2 向点 A(2,4)移动,记直线 OP、曲线 y ? x 2 及直 线 x ? 2 所围成的面积分别记为 S1 , S 2 ,若 S1 ? S 2 ,求点 P 的坐

标.

20.设函数 f ? x ? ? 2ax ?

a ? ln x x

(1) 当 a ? ? 时, 若在 ? ,2? 存在 x0 ,使得不等式 f ?x0 ? ? c ? 0 成立,求 c 的最小值. 3 4 (2) 若 f ?x ? 在 ?0,??? 上是单调函数,求 a 的取值范围。 (参考数据 e ? 7.389 , e ? 20.08)
2 3

1

?1 ? ? ?

21.已知 f ( x) ? x ln x, g( x) ? ?x ? ax ? 3.
2

(1)求函数 f ( x ) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2)对一切 x ? (0, ??),2 f ( x)≥g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; 22.已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x(a ? R) . (1) 讨论函数 f ?x ? 的单调性;
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(2) 讨论函数 f ?x ? 的零点个数问题 (3) 当 x ? y ? e ? 1 时,证明不等式 e x ln( 1 ? y) ? e y ln(1 ? x) .

高二年纪数学试卷(理科答案)
1-5 BDCBD 6-10 ABDDD 11-12 BC 13. (0, ) 17.

1 2

14.a<0

15.ln2

16. 2 n ? 1;32

解 :( 1 ) 由 f ( x) 的 图 象 经 过

P ( 0 , 2 ), 知 d=2 , 所 以

f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? 2, f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c. 由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是
6x ? y ? 7 ? 0



? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6.
?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, ?? 即? 解得b ? c ? ?3. 故 所 求 的 解 析 式 是 ?? 1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0,
f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2.
( 2 )

f ?( x) ? 3x 2 ? 6x ? 3.


令3x 2 ? 6x ? 3 ? 0,即x 2 ? 2x ? 1 ? 0.



得 当

x1 ? 1 ? 2, x2 ? 1 ? 2.

x ? 1 ? 2, 或x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0;

1 ? 2 ? x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0. 故 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2在(??,1 ? 2 ) 内是增函数,

在 (1 ? 2,1 ? 2 ) 内是减函数,在 (1 ? 2 ,??) 内是增函数.
18. 解: (1) f ' ( x) ? 3ax ? 2bx ? 3 ,依题意,
2

?3a ? 2b ? 3 ? 0, f ' (1) ? f ' (?1) ? 0 ,即 ? 解得 a ? 1, b ? 0 ?3a ? 2b ? 3 ? 0.
∴ f ' ( x) ? x ? 3x ,∴ f ' ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1)
3 2

┅┅ (3 分)

令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1 若 x ? (??,?1) ? (1,??) ,则 f ' ( x) ? 0

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故 f ( x) 在 (??,?1)和(1,??) 上是增函数;

, 1) ,则 f ' ( x) ? 0 若 x ? (?1
故 f ( x) 在 (?1,1) 上是减函数; 所以 f (?1) ? 2 是极大值, f (1) ? ?2 是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ (2)曲线方程为 y ? x 3 ? 3x ,点 A(0,16) 不在曲线上。 设切点为 M ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? x0 ? 3x0 由 f ' ( x0 ) ? 3( x0 ? 1) 知,切线方程为
2 3

(6 分)

y ? y0 ? 3( x0 ? 1)(x ? x0 )
3

2

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
2

(9 分)

又点 A(0,16) 在切线上,有 16 ? ( x0 ? 3x0 ) ? 3( x0 ? 1)(0 ? x0 ) 化简得 x0 ? ?8 ,解得 x0 ? ?2 所以切点为 M (?2,?2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 ┅┅┅┅┅┅ (12 分) 19. ( ,
3

4 16 ) 3 9

1 [ , 2]存在xo , 使得不等式 f ( xo ) ? c ? 0成立,只需c ? [ f ( x)]min , 20. (1)在 4

2 x 2 ? 3x ? 1 2 1 1 (2 x ? 1)( x ? 1) f '( x) ? ? x ? 2 ? ? ? ?? 2 3 3x x 3x 2 3x 由 ,
1 1 1 1 ?当x ? [ , ]时,f '( x) ? 0, 故 f ( x)在[ , ]是单调递减 4 2 4 2 ; 1 1 x ? [ ,1]时,f '( x) ? 0,故 f ( x)在[ ,1]是单调递增 2 2 当 ;

当x ?[1, 2]时,f '( x) ? 0,故 f ( x)在[1, 2]是单调递减 ;
1 1 ? f ( )是f ( x)在[ , 2]上的极小值 2 4 .

……………………5 分

3 1 3 1 1 1 1 7 f ( ) ? ? 1n ? ? 1n2 f (2) ? ? ? 1n2 f ( ) ? f (2) ? ? 1n4 ? 1ne 2 ? 1n4, 3 2 3 6 2 而 2 , ,且 2

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3 2 又 e ? 16 ? 0,?1ne ? 1n4 ? 0

?[ f ( x)]min ? f (2) ,

? c ? ? f ( x)?min ? ?

7 ? ln 2 6

7 7 ? c的取值范围为[? ? 1n2, ??), 所以c的最小值为 ? ? 1n 2. 6 6 ……………8 分
(2) ① 当a ? 0时,f ( x) ? 1mx.则f ( x)在(0, ??)上单调递增 ; ②当 a ? 0 时,

x ? 0,?2ax2 ? x ? a ? 0 ,

? f '( x) ? 0,则f ( x)在(0,+?)上单调递增;
③ 当a ? 0时,设g ( x) ? 2ax ? x ? a, 只需? ? 0 ,
2

a??
从面得

2 , 此时f ( x)在(0 ? ?)上单调递减 4 ; 2 ] [0,+?) 4 .

a的取值范围是(? ?, ?
综上得, 21.

…………………12 分

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1 ax-1 22. (1)解 f′(x)=a- = (x>0). x x 当 a≤0 时,ax-1<0,从而 f′(x)<0, 函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减; 1 当 a>0 时,若 0<x< ,则 ax-1<0,从而 f′(x)<0, a 1 若 x> ,则 ax-1>0,从而 f′(x)>0, a 1? ?1 ? 函数在? ?0,a?上单调递减,在?a,+∞?上单调递增. (2)

0 ? a ? 1时2个零点;a ? 1时没有零点; a ? 1或者a ? 0时一个零点。
+ +

ex 1 ey 1 (3)证明 不等式 exln(1+y)>eyln(1+x)? > . ln(x+1) ln(y+1) ex 构造函数 h(x)= , ln x 1 1 exln x- ex ex?ln x- ? x x? ? 则 h′(x)= = , 2 2 ln x ln x 可知函数在(e,+∞)上 h′(x)>0, 即函数 h(x)在(e,+∞)上单调递增,由于 x>y>e-1, ex 1 ey 1 所以 x+1>y+1>e,所以 > , ln(x+1) ln(y+1)
+ +

所以 exln(1+y)>eyln(1+x).

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