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2012年全国高中数学联赛天津预赛试卷含详细答案


2012 年高中数学联赛天津预赛试卷
一、选择题 1.(12 天津预赛)数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 2n ,则 a3 ? a17 ? (A) 36 (B) 35 (C) 34 (D) 33

2.(12 天津预赛)若 x ? 1 ,则 x ln ln x ? (ln x) ln x 的值是 (A)正数 (B)零 (C)负


2

(D)以上皆有可能
2

3.(12 天津预赛)如果 ?ABC 中, A, B 为锐角,且 sin A ? sin B ? sin C ,则对 ?ABC 的形状描述最准确的 是 (A)直角三角形

(B)等腰三角形

(C)等腰直角三角形

(D)以上都不对

4.(12 天津预赛)设椭圆与 x 轴交于 A, B 两点,已知对于椭圆上不同于 A, B 的任意一点 P ,直线 AP 与 BP 的 斜率之积均为 ?

1 ,则椭圆的离心率为 2
(B)

(A)

1 3

2 3

(C)

1 2

(D)

1 2

5.(12 天津预赛)在正四面体 ABCD 中, M 、 N 分别是 BC 和 DA 的中点,则直线 AM 和 BN 所成角的余弦 值是 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

6.(12 天津预赛)在半径为 1 的球面上有不共面的四个点 A 、 B 、 C 、 D ,且 AB ? CD ? x , BC ? DA ? y ,

CA ? BD ? z ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 等于
(A) 2 二、填空题 (B) 4 (C) 8 (D) 16

7.(12 天津预赛)函数 y ? 1 ? cos x, x ? [?? , ? ] 的图象与 x 轴围成的区域的面积是

.

8.(12 天津预赛)已知 ABCDEF 是边长为 2 的正六边形,一条抛物线经过 A 、 B 、 C 、 D 四点,则该抛物线 的焦点到准线的距离是 . 9.(12 天津预赛)如果复数 z 满足 | z |? 1 ,且 z ? a ? bi ,其中 a 、 b 为实数,则 a ? b 的最大值为
2

.

10.(12 天津预赛)函数 y ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | ??? | x ? 10 | 的最小值是

.

11.(12 天津预赛)极限

lim [(1 ? 2
n ??

1
2

)(1 ?

1 1 )? (1 ? 2 )] ? 2 3 n

.

12. ( 12 天津预赛)如果对一切正实数 x 、 y 不等式 是 三、解答题 .

y 9 ? cos2 x ? a sin x ? 都成立,则实数 a 的取值范围 4 y

13. (12 天津预赛) 如果双曲线的两个焦点坐标分别为 F1 (?2,0) 和 F2 (2,0) , 双曲线的一条切线交 x 轴于 Q( ,0) ,

1 2

且斜率为 2 . (1)求双曲线的方程; (2)设该切线与双曲线的的切点为 P ,求证: ?F1 PQ ? ?F2 PQ .

14. (12 天津预赛) 电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字 1 或 2 .将输出的前 n 个数字之和被 3 整除的概率记为 Pn . 证明: (1) Pn ?1 ?

1 1 (1 ? Pn ) ; (2) P2012 ? . 2 3

15.( 12 天津预赛)已知三次函数 f ( x) ? 4 x 3 ? ax2 ? bx ? c (其中 a, b, c ? R )满足:当 ? 1 ? x ? 1 时,

? 1 ? f ( x) ? 1. 求 a 、 b 、 c 的所有可能取值.

参考答案: 1、C。解析:当 n ? 1 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 3 。因此, a3 ? a17 ? 34 2、B。解析:设 y ? ln x 。则 x ? e 。故原式 ? (e )
y

y ln y

? yy ? 0
故 sin A ? sin B ? sin A cos B ? sin B cos A ? sin C
2 2

3、 A。 解析: 若 A? B ? 矛盾。同理, A ? B ?

?
2

n i Ac ? o s , s n iB c o sB. ? 。 则s

A

?

2

时,也矛盾,故 A ? B ?

?
2
y y y y 1 ? ?? 。 ,lBP 的斜率为 , 故 x ?1 x ?1 x ? 1 x ?1 2

4、 D。 解析: 不妨设 A(1.0), B( ?1,0), P( x, y ) 。 则 l AP 的斜率为 故椭圆方程为 x ? 2 y ? 1 , e ?
2 2

2 2
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? , AC ? AB ? , AC ? DB ? 0 , 而 2 2

5 、 C 。 解 析 : 不 妨 设 正 四 面 体 的 棱 长 为 1. 则 AB ? AB ? 1, AB ? DB ?

???? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? 1 ???? ? ??? ? 3 AM ? ( AB ? AC ), NB ? ( AB ? DB ) ,故 AM ? NB ? ,又 AM ? NB ? ,故 AM 与 BN 所成角余弦 2 2 2 2
值为

2 3
2 2 2

6、C。解析:构造一个长方体,使得四面体 ABCD 的六条棱分别是长方体某个面的对角线。其外接球直径为长方 体的体对角线。故 x ? y ? z ? 8 7、 2? 。解析:作出四条直线 y ? 2, x ? ?? , x ? ? , y ? 0 ,则所给函数的图象落在上述四条直线所围成的长方

形内部,且关于 y 轴对称。在第一象限内的部分,函数图象关于点 ?

?? ? ,1? 成中心对称,因此,这部分函数图象 ?2 ?

与 x 轴、 y 轴所围成区域的面积等于相应长方形面积的一半。从而,整个函数图象与 x 轴围成的区域面积为前述 长方形面积的一半。即为 2? 。 8、

3 。解析:建立平面坐标系,使得 A(?2, 3),B ? ( 1, 0), C (1, 0), D (2, 。则可求得该抛物线方程为 3) 2 3 。 2 2 时, ? a ? b ?max ? 2 2

3 y ? x2 ?1 。故抛物线焦点到准线的距离为

9、 2 。解析: z ? 1 ? a2 ? b2 ? 1 ? (a ? b)2 ? 2(a2 ? b2 ) ? 2 ,故当 a ? b ?

10 、 25. 解 析 : 注 意 到 , x ?1 ? x ?10 ? ( x ?1) ? ( x ?10) ? 9 且 等 号 当 x ??1,10? 时 成 立 。 同 理 ,

x ? 2 ? x ? 9 ? 7,?, x ? 5 ? x ? 6 ? 1 , 且 等 号 分 别 当 x ??2,9?,?, x ??5,6? 时 成 立 。 因 此 ,
y ? 9 ? 7 ? ? ? 1 ? 25 ,且当 x ??5,6? 时等号成立。故所求最小值为 25.
11、
n 1 1? 1 n ?1 1 ? n k ?1 ? n k ? 1 ? 。解析: lim? ?1 ? 2 ? ? lim ? ? ? lim ? ? ? ? n?? n 2 k ? n?? ? k ?2 k ? k ?2 k 2 2 n?? k ? 2 ?

12、? ?3,3? 。解析:依题意知 cos x ? a sin x ?
2

y 9 ? 对一切正实数 x , y 成立。则不等式的左端比小于或等于右 4 y

2 端的最小值 3。令 t ? sin x 。故 ?t ? a t? 2 ( t? ? ,1) ? 。取 t ? ?1 ,得 a ? ?3 ;取 t ? 1 ,得 a ? 3 。当 a ?? ?3 ,3 ?1

?

时,易证对任意的 t ? ? ?1,1? 均有 ?t ? at ? 2 成立。因此, a ?? ?3,3? 。
2

三、13.解法一。设双曲线方程为

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 。由于其与直线 y ? 2( x ? ) ,即 y ? 2 x ? 1 相切,则联立方程组 2 2 a b

? x2 y 2 x 2 (2 x ? 1) 2 ? 2 ? 2 ?1 ? ? 1 有两个相等的实根。 只有唯一一组解。 故关于 的方程 其判别式 ? ? 0 , 化简得: x b ?a 2 2 a b ? y ? 2x ?1 ?
b2 ? 4a 2 ? 1 ? 0 。又 c ? 2 则 a 2 ? b 2 ? 4 。故 a 2 ? 1, b2 ? 3 ,双曲线方程为 x 2 ?
因此。直线 F1 P 的斜率为 k ?

y2 ? 1。可解得切点 P(2,3) 。 3

3 t ?k 1 ? tan ?F1 PQ ? ? ,其中, t ? 2 是切线 PQ 的斜率。又点 F2 与 P 的横 4 1 ? kt 2 1 1 坐标相同,则 F2 P ∥ y 轴。故 tan ?F2 PQ ? ? ? tan ?F1 PQ ? tan ?F2 PQ ? ?F1PQ ? ?F2 PQ 。 t 2

x2 y 2 2 2 解 法 2 设 双 曲 线 方 程 为 2 ? 2 ? 1 。 由 c ? 2 ? a ? b ? 4 , 设 点 P( x0 , y0 ) 。 则 过 P 的 切 线 方 程 为 a b

x0 x y0 y 1 ? 2 ? 1 ,与所给的切线方程 y ? 2( x ? ) 比较知: x0 ? 2a2 , y0 ? b2 。代入双曲线方程得:4a 2 ? b2 ? 1 , 2 a b 2
可解得 a 2 ? 1, b2 ? 3 ,双曲线方程为 x ?
2

y2 ? 1。从而,切点坐标为: ( x0 , y0 ) ? (2a2 , b2 ) ? (2,3) 。余下同解 3

法一。 14、证法一:这 n 个数字共有 2 种可能情形。设其中数字和被 3 整除的有 xn 种。则不被 3 整除的有 2n ? xn 种。
n

对于 n ? 1 各数字的情形,若其和被 3 整除,则前 n 个数字之和不被 3 整除;反之,对于前 n 个数字之和不被 3 整除的每种情形,有唯一的第 n ? 1 个数字可使前 n ? 1 个数字之和被 3 整除。因此, xn?1 ? 2n ? xn 。这表明,概

xn 1 1 1 1 1 1 2011 1 满足递推关系式 pn ?1 ? (1 ? pn ) ? pn ?1 ? ? (? )( pn ? ) ? p2012 ? ? (? ) ( p1 ? ) ? 0 。 n 2 2 3 2 3 3 2 3 1 所以 p2012 ? 。 3
率 pn ? 证法二:若输出的前 n 个数字之和被 3 整除的概率为 pn ,则不被 3 整除的概率为 1 ? pn 。要使输出的前 n ? 1 个 数字之和被 3 整除,则必须使前 n 个数字之和不被 3 整除,且此时第 n ? 1 个数字也随之确定。所以,由条件概 率的公式得 pn ?1 ?

1 (1 ? pn ) ,余下同证法一。 2
n

证法三:n 个数字共有 2 种可能情形。下面计算其和被 3 整除的种数,这等于多项式 f ( x) ? ( x ? x 2 )n 的展开式 种 x3 , x6 ,? 等项的系数之和,即 ( f (1) ? f (? ) ? f (? )) 。其中,? ? ?

1 3

1 3 ? i 为三次单位根,? 是其共轭复 2 2

数。故

1 1 n 1? 1 n? ( f (1) ? f (? ) ? f (? )) ? ? 2 ? 2( ?1) n ? 。 因 此 , 所 求 的 概 率 为 pn ? ?1 ? 2(? ) ? , 可 验 证 ? ? 3 3 3? 2 ?

1 1 (1 ? pn ) 及 p2012 ? 。 2 3 1 15、由题意,当 x ? ?1, ? 时,均有 ?1 ? f ( x) ? 1 ,故 ?1 ? 4 ? a ? b ? c ? 1 , ① 2 1 a b 1 a b ?1 ? 4 ? a ? b ? c ? 1 ,② ?1 ? ? ? ? c ? 1 ,③ ?1 ? ? ? ? c ? 1 。④ 2 4 2 2 4 2 ①+②得 ?2 ? 8 ? 2b ? 2 ? b ? ?3 ;③+④得 ?2 ? 1 ? b ? 2 ? b ? ?3 ,因此, b ? ?3 a 代入不等式①至④得 a ? c ? 0, ? c ? 0 ,从而, a ? c ? 0 4 pn ?1 ?
3 下面证明: f ( x) ? 4 x ? 3x 满足条件。事实上,若 ?1 ? x ? 1 ,则令 x ? cos t (t ? R) 。 3 故 f ( x) ? f (cos t ) ? 4cos t ? 3cos t ? cos3t ,又 ?1 ? cos 3t ? 1 ,则 ?1 ? f ( x) ? 1 。

综上, a ? 0, b ? ?3, c ? 0


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