当前位置:首页 >> 数学 >>

数列.03新型数列2(B级).学生版


新 型 数 列 综 合(1)

高考要求
考查数列的综合应用,考查学生推理论证能力、抽象概括能力以及探究问题能力等综合能力.通常 在选填最后一题和压轴题处考查.

知识框架
定义性质型数列 矩阵数列 绝对差数列 变换数列 新定义型数列 0-1型数列 周期数列

有界数列

其它数列



知识要点
有界数列:对于数列 {an } ,如果存在着正数 M ,使得对于一切 a n 都满足不等式 an ? M ,则称数列 {an } 是有 界的;如果这样的正数 M 不存在,就说数列 {an } 是无界的. 数列的极限:设 {an } 为一数列,如果存在常数 a ,对于任意给定的正数 ? (不论它多少小) ,总存 在正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 an ? a ? ? 都成立,那么就称常数 a 是数列 {an } 的极限.记为

an ? a . an ? a(n ? ?) 或 lim n??
lim an ? a ? ?? ? 0, ? 正整数 N ,当 n ? N 时,有 an ? a ? ? . n??

MSDC 模块化分级讲义体系

高三数学.数列(B 级)新型数列综合(1).学生版

Page 1 of 13

周期数列:类比周期函数的概念,我们可定义:对于数列 {an } ,如果存在一个常数 T (T ? N ? ) ,使得对 任意的正整数 n ? n0 恒有 an?T ? an 成立,则称数列 {an } 是从第 n0 项起的周期为 T 的周期数 列.若 n0 ? 1 ,则称数列 {an } 为纯周期数列,若 n0 ? 2 ,则称数列 {an } 为混周期数列, T 的最 小值称为最小正周期,简称周期.

周期数列性质: (1)如果 T 是数列 {an } 的周期,则对于任意的 k ? N ? , kT 也是数列 {an } 的周期. (2)若数列 {an } 满足 an ? an?1 ? an?2 ( n ? N ? ,且 n ? 2 ) ,则 6 是数列的一个周期. (3)若数列 {an } 满足 an ?
an ?1 (n ? N *, 且n ? 2) ,则 6 是数列的一个周期. an ? 2

(4)已知数列 {an } 满足 a n ?t ? a n ( n, t ? N ? ,且 t 为常数), S n 分别为 {an } 的前 n 项的和, 若 n ? qt ? r ( 0 ? r ? t , r ? N ? ),则 an ? ar , S n ? qSt ? S r . (5)若数列 {an } 满足 an ? an?k ? s (n ? k , n ? N ? ) ,则数列 {an } 是周期数列;若数列 {an } 满 足 an ? an?1 ? ? ? an?k ? s (n ? k , n ? N ? ) , 则 数 列 {an } 是 周 期 数 列 . 若 数 列 {an } 满 足

an ? an?1 ? ?? an?k ? s (n ? k , n ? N ? , s ? 0) ,则数列 {an } 是周期数列.
矩阵数列: 1.矩阵定义:由 m ? n 个数排成的 m 行 n 列的表

? a11 ?a ? 21 ?? ? ?a m1
2.特殊形式矩阵:

a12 a 22 ? am2

? a1n ? ? a2n ? ? ? ?? ? ? a mn ?

称为 m 行 n 列矩阵,简称 m ? n 矩阵.

(1) n 阶方阵:在矩阵 A ? (aij ) m?n 中,当 m ? n 时, A 称为 n 阶方阵 (2)行矩阵:只有一行的矩阵 A ? ?a1 列矩阵:只有一列的矩阵

a2 ? an ? 叫做行矩阵

? b1 ? ?b ? B?? 2? ??? ? ? ?bm ?

叫做列矩阵

(3)零矩阵:元素都是零的矩阵称作零矩阵
MSDC 模块化分级讲义体系 高三数学.数列(B 级)新型数列综合(1).学生版 Page 2 of 13

3.相等矩阵:对应位置上的元素相等的矩阵称作零矩阵 4.常用特殊矩阵:

??1 0 ?0 ? 2 (1)对角矩阵: ? ?? ? ? ?0 0
(2)数量矩阵:

? 0? ? 0? ? ? ?? ? ? ?n ?

0 ?? ?0 ? ? ?? ? ? ?0 0

? 0? ? 0? ? ? ?? ? ? ??

?1 0 ? 0? ?0 1 ? 0? ? (3)单位矩阵: E ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0 0 ? 1?
(4)三角矩阵:

?a11 ?0 A?? ?? ? ?0
称作上三角矩阵

? a1n ? a 22 ? a 2 n ? ? ? ? ?? ? 0 ? a mn ? a12

? a11 ?a A ? ? 21 ?? ? ?a m1
称作下三角矩阵.

0 a 22 ? am2

0 ? ? 0 ? ? ? ?? ? ? a mn ? ?

5.矩阵的乘法 设 两 个 矩 阵 A ? (aij ) m?s , B ? (bij ) s?n , 则 矩 阵 A 与 矩 阵 B 的 乘 积 记 为 C ? AB , 规 定

C ? (cij ) m?n ,其中 cij ? ai1b1 j ? ai 2 b2 j ? ? ? ais bsj ? ? aik bkj (i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,?, n.)
k ?1

s

a12 ? ? b11 b12 ? ?a 一般地,对于矩阵 ? 11 ?,? ? ,规定乘法法则如下: ? a21 a22 ? ?b21 b22 ? ? a11 a12 ? ? b11 b12 ? ? a11 ? b11 ? a12 ? b21 a11 ? b12 ? a12 ? b22 ? ?a ?? ??? ? ? 21 a22 ? ?b21 b22 ? ? a21 ? b11 ? a22 ? b21 a21 ? b12 ? a22 ? b22 ?

MSDC 模块化分级讲义体系

高三数学.数列(B 级)新型数列综合(1).学生版

Page 3 of 13

6.矩阵的转置

? a11 ?a 21 设A?? ?? ? ?a m1

a12 a 22 ? am2

? a1n ? ? a2n ? ? ? ?? ? ? a mn ?

则矩阵

? a11 ?a ? 12 ?? ? ?a1n

a 21 ? a m1 ? a 22 ? a m 2 ? ? 称为 A 的转置矩阵 ? ? ?? ? a 2 n ? a mn ?

例题精讲
一、 绝对差数列

【例1】 (北京 2011 理科) 若数列 An :a1 ,a2 , …,an (n ? 2) 满足 | ak ?1 ? ak |? 1( k ? 1 , 2, …,n ? 1 ) , 则称 An 为 E 数列.记 S ( An ) ? a1 ? a2 ?

? an .

(Ⅰ)写出一个满足 a1 ? a5 ? 0 ,且 S ( A5 ) ? 0 的 E 数列 A5 ; (Ⅱ)若 a1 ? 12 , n ? 2000 ,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an ? 2011 ; (Ⅲ) 对任意给定的整数 n(n ? 2) , 是否存在首项为 0 的 E 数列 An , 使得 S ( An ) ? 0 ?如果存在, 写出一个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由.

【例2】 (北京 2006 理科)在数列 an 中,若 a1 , a2 是正整数,且 an ? an?1 ? an?2 , n ? 3,4,5,…,则 称 an 为“绝对差数列”.

(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项) ; (Ⅱ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

MSDC 模块化分级讲义体系

高三数学.数列(B 级)新型数列综合(1).学生版

Page 4 of 13

【例3】 (西城 2011 一模理) 定义 ? (a1 , a2 ,?, an ) ? | a1 ? a2 | ? | a2 ? a3 | ?

? | an?1 ? an | 为有限项数列

{an } 的波动强度.
(Ⅰ)当 an ? (?1) n 时,求 ? (a1 , a2 ,

, a100 ) ;

(Ⅱ)若数列 a, b, c, d 满足 (a ? b)(b ? c) ? 0 ,求证: ? (a, b, c, d ) ? ? (a, c, b, d ) ; (Ⅲ)设 {an } 各项均不相等,且交换数列 {an } 中任何相邻两项的位置,都会使数列的波动强度 增加,求证:数列 {an } 一定是递增数列或递减数列.

MSDC 模块化分级讲义体系

高三数学.数列(B 级)新型数列综合(1).学生版

Page 5 of 13

【例4】 求具有下述性质的最小正整数 n : 存在一个 n ? 1 项的数列 a0 , a1 , ..., an , 满足 a0 ? 0, an ? 2008, 且

ai ? ai ?1 ? i 2 , i ? 1, 2, ..., n.

二、

0-1 型数列

【例5】 (北京 2010 理科)已知集 Sn ? {X | X ? ( x1, x2 ,…,xn ), x1 ?{0,1}, i ? 1, 2,…, n}(n ? 2) 对于 A ? (a1 , a2 ,…an ,) , B ? (b1 , b2 ,…bn ,) ? Sn ,定义 A 与 B 的差为

A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,…| an ? b n |); A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ? ? | a1 ? b1 |
i ?1

(Ⅰ)证明: ?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d ( B, C) 三个数中至少有一个是偶数 ( Ⅲ ) 设 P ? Sn , P 中有 m(m ? 2) 个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d (P).证明:

d ( P) ≤

mn . 2(m ? 1)

MSDC 模块化分级讲义体系

高三数学.数列(B 级)新型数列综合(1).学生版

Page 6 of 13

【例6】 (丰台 2011 一模理)已知 Sn ? {A A ? (a1, a2 , a3 ,

, an ) , ai ? 0 或 1, i ? 1, 2,

, n} (n ? 2) ,

对于 U ,V ? Sn , d (U ,V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数. (Ⅰ)令 U ? (0,0,0,0,0) ,存在 m 个 V ? S5 ,使得 d (U ,V ) ? 2 ,写出 m 的值; (Ⅱ)令 W ? (0, 0, 0,
n个 0

, 0) ,若 U ,V ? Sn ,求证: d (U ,W ) ? d (V ,W ) ? d (U ,V ) ;

(Ⅲ)令 U ? (a1, a2 , a3 ,

, an ) ,若 V ? Sn ,求所有 d (U ,V ) 之和.

【例7】 (海淀 2010 期末) 给定项数为 m (m ? N * , m ? 3) 的数列 {an } , 其中 ai ?{0,1} (i ? 1, 2,

, m) .若存在

一个正整数 k (2 ? k ? m ? 1) ,若数列 {an } 中存在连续的 k 项和该数列中另一个连续的 k 项恰好按 次序对应相等,则称数列 {an } 是“k 阶可重复数列”,例如数列 {an } 0,1,1,0,1,1,0. 因为 a1 , a2 , a3 , a4 与
a4 , a5 , a6 , a7 按次序对应相等,所以数列 {an } 是“4 阶可重复数列”.

(Ⅰ)分别判断下列数列 ① {bn }: 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0. ② {cn }:1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1.

是否是“5 阶可重复数列”?如果是,请写出重复的这 5 项; (Ⅱ)若数为 m 的数列 {an } 一定是 “3 阶可重复数列”,则 m 的最小值是多少?说明理由; (III)假设数列 {an } 不是“5 阶可重复数列”,若在其最后一项 am 后再添加一项 0 或 1,均可使新 数列是“5 阶可重复数列”,且 a4 ? 1 ,求数列 {an } 的最后一项 am 的值.

MSDC 模块化分级讲义体系

高三数学.数列(B 级)新型数列综合(1).学生版

Page 7 of 13

三、

变换数列

【例8】 (北京 2008 理科)对于每项均是正整数的数列 A:a1,a2, ,an ,定义变换 T1 ,T1 将数列 A 变 换 成 数 列 T1 ( A):n,a1 ?1 ,a2 ?1 , ,an ?1 . 对 于 每 项 均 是 非 负 整 数 的 数 列

B:b1,b2, ,bm ,定义变换 T2 , T2 将数列 B 各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得
到数列 T2 ( B) ;又定义 S (B) ? 2(b1 ? 2b2 ?
2 ? mbm ) ? b12 ? b2 ? 2 .设 A0 是每项均为正整 ? bm

数的有穷数列,令 Ak ?1 ? T2 (T1 ( Ak ))(k ? 0, 1, 2, ) . (Ⅰ)如果数列 A0 为 5,3,2,写出数列 A1,A2 ; (Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列 A ,证明 S (T1 ( A)) ? S ( A) ; (Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0 ,存在正整数 K ,当 k ≥ K 时,

S ( Ak ?1 ) ? S ( Ak ) .

MSDC 模块化分级讲义体系

高三数学.数列(B 级)新型数列综合(1).学生版

Page 8 of 13

【例9】 (海淀 2011 二模理)对于数列 A:a1,a2, ,an ,若满足 ai ??0,1 ? (i ? 1,2,3, ???, n) ,则称数列

A 为“0-1 数列”.定义变换 T , T 将“0-1 数列” A 中原有的每个 1 都变成 0,1,原有的每个 0 都变

):0 , 1 , 1 ,0 ,0 , 1 . 成 1, 0. 例如 A :1,0,1, 则T (A

2,3, 设 A0 是“0-1 数列”, 令 Ak ? T ( Ak ?1 ) , k ? 1,

.

(Ⅰ) 若数列 A2 : 1, 0, 0,1, 0,1,1, 0,1, 0, 0,1. 求数列 A 1, A0 ; (Ⅱ) 若数列 A0 共有 10 项,则数列 A2 中连续两项相等的数对至少有多少对?请说明理由; (Ⅲ)若 A0 为 0,1,记数列 Ak 中连续两项都是 0 的数对个数为 lk , k ? 1, 2,3, ??? .求 lk 关于 k 的表 达式.

MSDC 模块化分级讲义体系

高三数学.数列(B 级)新型数列综合(1).学生版

Page 9 of 13

【例10】(海淀 2010 期中) 已知有穷数列 A : a1 , a2 ,

( n ? 2 ).若数列 A 中各项都是集合 {x | ?1 ? x ? 1} , an ,

的元素,则称该数列为 Γ 数列.对于 Γ 数列 A ,定义如下操作过程 T :从 A 中任取两项 ai , a j ,将

ai ? a j 1? a i a j

的值添在 A 的最后, 然后删除 ai , a j ,这样得到一个 n ? 1 项的新数 列 A 1 (约定:一个数也视 ,如此经过 k 次

作数列). 若 A 1 还是 Γ 数列,可继续实施操作过程 T ,得到的新数列记作 A2 , 操作后得到的新数列记作 Ak . (Ⅰ)设 A : 0,

1 1 , . 请写出 A1 的所有可能的结果; 2 3 5 7 1 6 1 5 1 5 1 1 1 1 1 4 6 2 3 4 5 6

(Ⅱ)求证:对于一个 n 项的 Γ 数列 A 操作 T 总可以进行 n ? 1 次;

? , ? , ? ,, , ,,, . 求 A9 的可能结果,并说明理由. (Ⅲ)设 A : ? ,

【例11】 把正整数数列 1, 2, 3, ... 中含有数字 9 的项都删除掉,剩下的项按原次序组成一个数列,记作
a1 , a2 , ..., an , ... 证明:
1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 80. a1 a2 a3 an

MSDC 模块化分级讲义体系

高三数学.数列(B 级)新型数列综合(1).学生版

Page 10 of 13

四、

矩阵数列

【例12】 (东城 2011 一模理)对于 n ? N* (n ? 2) ,定义一个如下数阵:

? a11 ? ?a Ann ? ? 21 ? ? ?a ? n1

a12 a 22 ? an2

? a1n ? ? ? a2n ? ? ?? ? ? a nn ? ?

其中对任意的 1 ? i ? n ,1 ? j ? n ,当 i 能整除 j 时, aij ? 1 ;当 i 不能整除 j 时, aij ? 0 .设

t ( j ) ? ? aij ? a1 j ? a 2 j ? ? ? a nj .
i ?1

n

(Ⅰ)当 n ? 6 时,试写出数阵 A66 并计算

? t ( j) ;
j ?1

6

(Ⅱ)若 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,求证:

? t ( j ) ? ?[ i ] ;
j ?1
i ?1

n

n

n

(Ⅲ)若 f (n) ?

n 1 1 n t ( j ) , g (n) ? ? dx ,求证: g (n) ?1 ? f (n) ? g (n) ? 1 . ? 1 x n j ?1

MSDC 模块化分级讲义体系

高三数学.数列(B 级)新型数列综合(1).学生版

Page 11 of 13

【例13】 ( 朝 阳 2011 一 模 理 科 ) 有 n 个 首 项 都 是 1 的 等 差 数 列 , 设 第 m 个 数 列 的 第 k 项 为

m , k ? 1 , 2 , 3 , ,, n n ≥ 3 ) amk ( , a , a , , a ,公差为 d m ,并且 a 成等差数列. 1 n 2 n 3 n n n

? p d ? p d (Ⅰ)证明 d , p1 , p 2 是 m 的多项式) ,并求 p1 ? p2 的值; ≤ m ≤ n m 11 2 2 (3 1 ,d 3 (Ⅱ)当 d 时,将数列 { d m } 分组如下: 1? 2? ( d ) , ( d ,,) d d , ( d ,,,,) d d d d ,(每组数的个数构成等差数列). 1 2 3 4 5 6 7 8 9
c )( c 0 ),求数列 {2 m dm} 的前 n 项和 S n . 设前 m 组中所有数之和为 ( m m?
4 c

(Ⅲ)设 N 是不超过 20 的正整数,当 n ? N 时,对于(Ⅱ)中的 S n ,求使得不等式

1 (Sn ?6) ? dn 成立的所有 N 的值. 50

MSDC 模块化分级讲义体系

高三数学.数列(B 级)新型数列综合(1).学生版

Page 12 of 13

课后检测
【习题1】 (河北 2008 预赛)在数列 {an } 中, a1 , a2 是给定的非零整数, an? 2 ? an?1 ? an .

(1)令 a1 ? 2, a2 ? ?1, 求 a2008 ; (2)证明:从 {an } 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.

【习题2】 ①

(丰台 2010 一模)设集合 W 由满足下列两个条件的数列 {an } 构成:

an ? an? 2 ? an?1 ; 2

②存在实数 M ,使 an ≤ M . ( n 为正整数) ⑴在只有 5 项的有限数列 {an } , {bn } 中,其中 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3, a4 ? 4 , a5 ? 5 ;
b1 ? 1 , b2 ? 4 , b3 ? 5 , b4 ? 4 , b5 ? 1 ;试判断数列 {an } , {bn } 是否为集合 W 的元素;

⑵设 {cn } 是各项为正的等比数列, Sn 是其前 n 项和, c3 ? 证 明数列 {Sn } ?W ;并写出 M 的取值范围;

1 7 , S3 ? , 4 4

⑶设数列 {d n } ?W , 且对满足条件的 M 的最小值 M 0 ,都有 dn ? M n n ? N* . 求证:数列 {dn } 单调递增.

?

?

MSDC 模块化分级讲义体系

高三数学.数列(B 级)新型数列综合(1).学生版

Page 13 of 13


相关文章:
数列.03新型数列2(B级).学生版
数列.03新型数列2(B级).学生版 隐藏>> 新型数列综合(1) 高考要求考查数列的综合应用,考查学生推理论证能力、抽象概括能力以及探究问题能力等综合能力.通常 在选...
数列.04新型数列2(B级).学生版
MSDC 模块化分级讲义体系 高三数学.数列(B 级)新型数列综合(2).学生版 Page 1 of 16 周期数列:类比周期函数的概念,我们可定义:对于数列 {a n } ,如果存在...
数列.02数列的综合.(B级)学生版
1/2 相关文档推荐 数列.03新型数列2(B级).学... 13页 1财富值 数列.04...MSDC 模块化分级讲义体系 高中数学.数列.数列的综合.(B 级).学生版 Page 2 ...
数列2(学生)
数列.03新型数列2(B级).学... 13页 1财富值 第二章 数列(学生) 4页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此...
数列.01数列的通项与求和(B级).学生版.
模块化分级讲义体系 高中数学.01 数列的通项与求和(B 级).学生版 Page 1 of 11 知识内容一.求数列通项的方法 1. 由等差,等比定义,写出通项公式 2. 利用...
数学:第2章《数列》练习(新人教B版必修5)
数学:第2章《数列》练习(新人教B版必修5)_数学_高中教育_教育专区。数学:第2章《数列》练习(新人教B版必修5)专题研究:数列的求和·例题解析【例 1】 求下列...
数学:2.1.1《数列》学案(新人教B版必修5)
人教B版数学必修5《数列》教案+学案+同步练习新人教B版数学必修5《数列》教案+学案+同步练习隐藏>> 学案(1)数列目标 1. 理解数列及其有关概念 ; 2.了解数列...
新人教B版必修五2.1.1《数列》word教案
人教B版必修五2.1.1《数列》word教案_数学_高中教育_教育专区。§2.1 数列的概念 一、知识要点 1、数列的定义:按照一定 排列的一列数叫数列.数列中的 都...
人教B版必修五2.1数列第一课时
人教B版必修五2.1数列第一课时_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2. 1. 1 新授课 数列第一课时授课时间:9 月日 1. 通过自学理解数列的概念、表示、分类、...
更多相关标签:
新型03式自动步枪 | 大学新型学生宿舍 | 小学生作文 新型玻璃 | 小学生实用新型 | 新型学生观 | 我老婆是学生会长03 | 对学生会长的忠告03 | 哈尔滨三中03届学生 |