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职高数学一轮复习立体几何


立体几何
第1讲 空间几何体的三视图和直观图

1.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图 K13-1 -1,则该几何体的俯视图为( )

图 K13-1-1 2.(2010 年广东惠州调研)用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体,其正视图、侧 视图都是如图 K13-1-2 所示的图形,则这个几

何体的最大体积与最小体积的差是( )

图 K13-1-2 A.6 B.7 C.8 D.9 3.如图 K13-1-3 的正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm,它是水平放置的一个平面 图形的直观图,则原图形的周长为( )

图 K13-1-3 A.6 cm B.8 cm C.(2+4 2) cm D.(2+2 3) cm 4.(2010 年广东惠州调研)如图 K13-1-4,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边 长为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为( )

图 K13-1-4 3 A. π B.2π C.3π D.4π 2 5.如图 K13-1-5,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 BD1 的中点,则△PAC 在该

正方体各个面上的射影可能是(

)

A.①④ B.②③ C.②④ D.①②

图 K13-1-5 图 K13-1-6 6.如图 K13-1-6,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都是 2,E,F 分别是 AB,A1C1 的中点,则 EF 的长是( ) A.2 B. 3 C. 5 D. 7 7.(2010 年福建)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 K13-1-7,则其侧面 积等于( ) A. 3 B.2 C.2 3 D.6

图 K13-1-7

图 K13-1-8

8.如图 K13-1-8,直三棱柱的主视图面积为 2a2,则左视图的面积为____________. 9.如图 K13-1-9,图(1)是正方体木块,把它截去一块,可能得到的几何体有(2),(3), (4),(5)的木块.

图 K13-1-9 (1)我们知道,正方体木块有 8 个顶点,12 条棱,6 个面,请你将图(2),(3),(4),(5) 的木块的顶点数、棱数、面数填入下表: 图号 顶点数 棱数 面数 (1) 8 12 6 (2) (3) (4) (5) (2)观察你填出的表格,归纳出上述各种木块的顶点数 V、棱数 E、面数 F 之间的关系; (3)看图(6)中正方体的切法,请验证你所得的数量关系是否正确?

10.(2010 年广东揭阳调研)如图 K13-1-10(1)为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方 形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD=AD=2EC=2. (1)如图 K13-1-10(2)所示的方框内已给出了该几何体的俯视图, 请在方框内画出该几 何体的正(主)视图和侧(左)视图; (2)求四棱锥 B-CEPD 的体积; (3)求证:BE∥平面 PDA.

(1) 图 K13-1-10

(2)

第2讲

空间几何体的表面积和体积

1.正三棱锥的底面边长为 6,高为 3,则这个三棱锥的全面积为( ) 9 3 A.9 3 B.18 3 C.9( 3+ 6) D. 2 2.(2011 年湖南)设图 K13-2-1 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(

)

图 K13-2-1 9 9 A. π+12 B. π+18 C.9π+42 D.36π+18 2 2 3.(2011 年辽宁)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3,它的三视图中 的俯视图如图 K13-2-2 所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是( )

图 K13-2-2 A.4 B.2 3 C.2 D. 3 4.如图 K13-2-3 是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视 图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是( )

图 K13-2-3 3 1 3 3 π B. π C. π D. π 3 2 3 6 5.圆锥母线长为 1,侧面展开图的圆心角为 240° ,则圆锥的体积为( ) 2 2π 8π 4 5π 10π A. B. C. D. 81 81 81 81 6.(2011 年福建)三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的 正三角形,则三棱锥 P-ABC 的体积等于__________. 4 A.

7.(2011 年天津)一个几何体的三视图如图 K13-2-4 所示(单位:m),则该几何体的体 积为________ m3.

图 K13-2-4

8.如图 K13-2-5,已知球 O 面上四点 A,B,C,D,DA⊥平面 ABC,AB⊥BC,DA = AB = BC = 3 , 则 球 O 点 体 积 等 于 ________________________________________________.

图 K13-2-5 9.如图 K13-2-6,△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四 3 边形,DC⊥平面 ABC,AB=2,已知 AE 与平面 ABC 所成的角为 θ,且 tanθ= . 2 (1)证明:平面 ACD⊥平面 ADE; (2)记 AC=x,V(x)表示三棱锥 A-CBE 的体积,求 V(x)的表达式.

图 K13-2-6

10.(2010 年广东广州调研)如图 K13-2-7,正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所 在平面相交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AE=3,AB=6. (1)求证:AB⊥平面 ADE; (2)求凸多面体 ABCDE 的体积.

图 K13-2-7

第3讲

点、直线、平面之间的位置关系

1.(2010 年山东)在空间中,下列命题正确的是( ) A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 2.已知 m,n 为异面直线,m?平面 α,n?平面 β,α∩β=l,则 l( ) A.与 m,n 都相交 B.与 m,n 中至少一条相交 C.与 m,n 都不相交 D.至多与 m,n 中的一条相交 3.设 A,B,C,D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( ) A.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B.若 AC 与 BD 异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC D.若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC 4.(2011 年浙江)若直线 l 不平行于平面 α,且 l?α,则( ) A.α 内存在直线与 l 异面 B.α 内存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 5.AB,CD 是夹在两平行平面 α,β 之间的异面线段,A,C 在平面 α 内,B,D 在平面 β,若 M,N 分别为 AB,CD 的中点,则有( ) 1 1 A.MN= (AC+BD) B.MN> (AC+BD) 2 2 1 1 C.MN< (AC+BD) D.MN≤ (AC+BD) 2 2 6.如图 K13-3-1,ABCD-A1B1C1D1 是长方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则下列结论错误的是( )

图 K13-3-1 A.A,M,O 三点共线 B.A,M,O,A1 四点共面 C.A,O,C,M 四点共面 D.B,B1,O,M 四点共面 7.如图 K13-3-2 是正方体的平面展开图,在这个正方体中,

图 K13-3-2 ①BM 与 ED 平行; ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60° 角;

④DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 8.(2011 年全国)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为__________. 9.如图 K13-3-3,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AA1 的中点. 求证:(1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点.

图 K13-3-3 10.如图 K13-3-4 是一个正方体的表面展开图的示意图,MN 和 PQ 是两条面的对角 线,请在正方体中将 MN 和 PQ 画出来,并就这个正方体解答下列问题. (1)求 MN 和 PQ 所成角的大小; (2)求四面体 M-NPQ 的体积与正方体的体积之比.

图 K13-3-4

第4讲

直线、平面平行的判定与性质

1.已知直线 l,m,n 及平面 α,下列命题中的假命题是( ) A.若 l∥m,m∥n,则 l∥n B.若 l⊥α,n∥α,则 l⊥n C.若 l⊥m,m∥n,则 l⊥n D.若 l∥α,n∥α,则 l∥n 2.(2010 年广东惠州调研)已知 m、n 是两条直线,α、β 是两个平面,给出下列命题: ①若 n⊥α,n⊥β,则 α∥β;②若平面 α 上有不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α∥β; ③若 n、m 为异面直线,n?α,n∥β,m?β,m∥α,则 α∥β.其中正确命题的个数是( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 3.已知平面 α 外不共线的三点 A,B,C 到 α 的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面 ABC 必平行于 α B.平面 ABC 必与 α 相交 C.平面 ABC 必不垂直于 α D.存在△ABC 的一条中位线平行于 α 或在 α 内 4.如图 K13-4-1,已知 l 是过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点的平面 AB1D1 与下底 面 ABCD 所在平面的交线,下列结论错误的是( )

图 K13-4-1 A.D1B1∥l B.BD∥平面 AD1B1 C.l∥平面 A1D1B1 D.l⊥B1C1 5.已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C.若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n 6.设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β; ②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行; ③设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直; ④直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号________(写出所有真命题的序号). 7.(2010 年湖北)用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题,正确的 有( ) ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c; ③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b. A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 8.如图 K13-4-2 的甲,在透明塑料制成的长方体 ABCD-A1B1C1D1 容器内灌进一些 水,固定容器底面一边 BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法:

①水的部分始终呈棱柱状; ②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行; ④当容器倾斜如图乙时,EF· BF 是定值. 其中正确说法的序号是________.

图 K13-4-2

9.如图 K13-4-3,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M,N 分别是 AB, PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)若 MN=BC=4,PA=4 3,求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小.

图 K13-4-3

10.(2011 年山东)如图 K13-4-4,在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,D1D⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60° . (1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:CC1∥平面 A1BD.

图 K13-4-4

第5讲

直线、平面垂直的判定与性质

1.对于直线 m,n 和平面 α,β,α⊥β 的一个充分条件是( ) A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n?α C.m∥n,n⊥β,m?α D.m∥n,n⊥α,m⊥β 2.如图 K13-5-1,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是(

)

图 K13-5-1 A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60° 3.设直线 m 与平面 α 相交但不垂直,则下列说法中正确的是( ) A.在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B.过直线 m 有且只有一个平面与平面 α 垂直 C.与直线 m 垂直的直线不可能与平面 α 平行 D.与直线 m 平行的平面不可能与平面 α 垂直 4.设 a,b,c 是空间三条直线,α,β 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立 的是( ) A.当 c⊥α 时,若 c⊥β,则 α∥β B.当 b?α 时,若 b⊥β,则 α⊥β C.当 b?α,且 c 是 a 在 α 内的射影时,若 b⊥c,则 a⊥b D.当 b?α,且 c?α 时,若 c∥α,则 b∥c 5.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的 中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.m,n 是空间两条不同直线,α,β 是两个不同平面,下面有四个命题: ①m⊥α,n∥β,α∥β?m⊥n; ②m⊥n,α∥β,m∥α?n∥β; ③m⊥n,α∥β,m∥α?n⊥β; ④m⊥α,m∥n,α∥β?n⊥β. 其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号). 7.已知 α,β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 外的两条不同直线,给出以下四 个论断: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中 3 个为条件,余下 1 个为结论,写出你认为正确的一个命题 ____________________. 8.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A 到平面 B1C 的距离为________,A 到 平面 BB1D1D 的距离为________,AA1 到平面 BB1D1D 的距离为________.

9.(2011 年广东肇庆测试)图 K13-5-2 为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD ⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD=2EC, (1)求证:BE∥平面 PDA; (2)若 N 为线段 PB 的中点,求证:EN⊥平面 PDB.

图 K13-5-2

10.如图 K13-5-3,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (1)求证:平面 AEC⊥平面 PDB; (2)当 PD= 2AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

图 K13-5-3


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