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高流中学高三数学二轮复习教学案一体化:函数的性质及应用(2)


高流中学高三数学二轮复习教学案一体化

专题 1 函数的性质及应用(2)2009-2-22
高考趋势 1.函数历来是高中数学最重要的内容,不仅适合单独命题,而且可以综合运用于其它内容.函数是中 学数学的最重要内容,它既是工具,又是方法和思想.在江苏高考文理共用卷中,函数小题(不含三 角函数)占较大的比重,其中江苏 08 年为 3 题,07 年为 4

题. 2.函数的图像往往融合于其他问题中,而此时函数的图像有助于找出解决问题的方向、粗略估计函数 的一些性质。另外,函数的图像本事也是解决问题的一种方法。这些高考时常出现。图像的变换则是 认识函数之间关系的一个载体,这在高考中也常出现。通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性 质。在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。在上述性质中,知 道信息越多,则解决问题越容易。 考点展示 1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它 醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点?用 S1、S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下图与故事情节相吻合的是 B

6. 函数 f ( x ) ? ? 样题剖析 例1.

1 2

x ? x 定义域为 ?m, n ? ,值域为 ?2 m , 2 n ? , m ? n ,则 m ? n ?
2

-2

已知 R 上的奇函数 f ( x ) 在 [ 0 , ?? ) 上是单调递增函数,且 f ( 3) ? 2 ,若函数 f ( x ) 的图像向右
g ( x) ? 2 g ( x) ? 2 ?0

平移 1 个单位后得到函数 g ( x ) 的图像,试解不等式:

( ?? , ? 2 ) ? ( 4 , ?? )

变式:若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在 (?? , 0 ] 上是减函数,且 f(2)?0,则使得 f(x)<0 的 x 的取 值范围是 (-2,2) A 2. 函数 y ? .
2 2
2

B

C

D
y? 1 x?2

例2.

已知函数 f ( x ) ? ax ? 2 4 ? 2 b ? b x , g ( x ) ? ? 1 ? ( x ? a ) , 其中 a , b ? R

1 x

的图像向左平移 2 个单位所得到的函数图像的解析式是
2

(1) 当 b=0 时,若 f ( x ) 在 [ 2 , ?? ) 上单调递增,求 a 的取值范围; a ? 1 (2) 求满足下列条件的所有实数对 ( a , b ) :当 a 为整数时,存在 x 0 ,使得 f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的最大值,
g ( x 0 ) 是 g ( x ) 的最小值。

3. 函数 f ( x ) 的图像与函数 y ? ? ( x ? 1) ? 2 的图像关于 x 轴对称,则函数 f ( x ) 的解析式是
( x ? 1) ? 2
2

(a ?
2

4 ? 2b ? b

2

?

5 ? ( b ? 1) , 0 ? a ?
2

2

5。 (-1,-1)(-1,3) ,

4. 方程 2

?x

? x ? 3 的实数解的个数为
2

2 变 式 : 07 湖 北 文 ) 设 二 次 函 数 f ( x ) ? x ? ax ? a , 方 程 f ( x ) ? x ? 0 的 两 根 x1 和 x 2 满 足 (
2

5. 函数 y ? f (1 ? x ) 的图像与 y ? f (1 ? x ) 的图像关于

x=0

对称
0 ? x1 ? x 2 ? 1 .

函数图象对称问题是函数部分的 一个重要问题,大致有两类:一类是同一个函数图象自身的对称性;一类是两 个不同函数之间的对称性。 定理 1 若函数 y=f(x) 对定义域中任意 x 均有 f(a+x)=f(b-x),则函数 y=f(x)的图象关于直线 x ? 定理 2 函数 y ? f ( a ? ? x ) 与函数 y ? f ( a ? ? x ) 的图象关于直线 x ? 特殊地,函数 y=f(a+x)与函数 y=f(b-x)的图象关于直线 x ?

(I)求实数 a 的取值范围;
a?b 2
对称。

(II)试比较 f (0) f (1) ? f (0) 与

1 16
2

的大小.并说明理由.

b?a 2?

对称

法 1: (Ⅰ)令 g ( x ) ? f ( x ) ? x ? x ? ( a ? 1) x ? a ,

b?a 2

对称。

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? ? ? 0, ? 1? a ?0 ? ? 1, ? ? 则由题意可得 ? 2 ? g (1) ? 0, ? ? g (0) ? 0, ?

? a ? 0, ? ? 0 ? a ? 3?2 2 . ? ? 1 ? a ? 1, ? ? a ? 3 ? 2 2, 或 a ? 3 ? 2 2,

(II)依题意可设 g ( x ) ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ,则由 0 ? x1 ? x 2 ? 1 ,得
f (0) f (1) ? f (0) ? g (0) g (1) ? x1 x 2 (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? [ x1 (1 ? x1 )][ x 2 (1 ? x 2 )]
1 1 ? x ? 1 ? x1 ? ? x 2 ? 1 ? x 2 ? ?? 1 ,故 f (0) f (1) ? f (0) ? . ? ? ? ? 16 2 2 16 ? ? ? ?
2 2

3 故所求实数 a 的取值范围是 (0, ? 2 2 ) .

(II) f (0) ? f (1) ? f (0) ? g (0) g (1) ? 2 a ,令 h ( a ) ? 2 a .
2 2

? 当 a ? 0 时, h ( a ) 单调增加, ? 当 0 ? a ? 3 ? 2 2 时, 0 ? h ( a ) ? h (3 ? 2 2 ) ? 2(3 ? 2 2 ) ? 2(17 ? 12 2 )
2

1 1 1 ? 2? ? ,即 f (0) ? f (1) ? f (0) ? . 16 17 ? 12 2 16

法 2: (I)同解法 1. (II)? f (0) f (1) ? f (0) ? g (0) g (1) ? 2 a ,由(I)知 0 ? a ? 3 ? 2 2 ,
2

[点评] 本小题主要考查二次函数、 二次方程的基本性质及二次不等式的解法, 考查推理和运算能力. 总结提炼 对于解决函数的题目如果能画出示意图,则对解决问题起到很大的帮助。作图要注意图象整体,局部, 细节. 细节。结合函数的定义域,奇偶性,值域,渐近线单调性,周期性,特定区间,极值最值点, 坐标轴的交点,边界点。带有参数的函数问题要注意不动点。对于两个图像问题要关注交点个数,图 形的相对位置。 1. 对于图像的变换,应能从两个方面认识:其一,是用一些“口诀” ,如“左加、右减”等:其二是 要会用求轨迹的方法去认识。 2. 函数问题结合图像,或画出草图,或头脑中有一个草图,对解题都有帮助。 自我测试 1.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 0 . 2.函数 f(x)=
x x ?1

的最大值为

1 2



∴ 4 2 a ? 1 ? 12 2 ? 17 ? 0 .又 4 2 a ? 1 ? 0, 于是
2a ?
2 2

1 16

? 1

1 16

(32 a ? 1) ?
2

1 16

4 3.若函数 f ( x ) ? ( x ? a )(bx ? 2 a ) (常数 a, b ? R )是偶函数,且它的值域为 ? ?? ,? ,则该

(4 2 a ? 1)(4 2 a ? 1) ? 0 , 1 16

函数的解析式 f ( x ) ? 4 ? 2 x 2
. 4.(07 年江苏)设函数 f ( x ) 定义在实数集上,它的图像关于直线 x ? 1 对称,且当 x ≥ 1 时,
?1? ?2? ?3? x f ( x ) ? 3 ? 1,则 f ? ? , f ? ? , f ? ? 的大小关系是 ?3? ?3? ?2? ?2? ?3? ?1? f ? ?? f ? ?? f ? ? ?3? ?2? ?3?

即 2a ?

16

? 0 ,故 f (0) f (1) ? f (0) ?
2

法 3: (I)方程 f ( x ) ? x ? 0 ? x ? ( a ? 1) x ? a ? 0 ,由韦达定理得
? ? ? 0, ? x ? x 2 ? 0, ? 1 ? x1 ? x 2 ? 1 ? a , x1 x 2 ? a ,于是 0 ? x1 ? x 2 ? 1 ? ? x1 x 2 ? 0, ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? 0, 1 2 ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ?
? a ? 0, ? ? ? a ? 1, ? 0 ? a ? 3?2 2 . ? ? a ? 3 ? 2 2或 a ? 3 ? 2 2
3 故所求实数 a 的取值范围是 (0, ? 2 2 ) .

5. 若不等式 x 2 ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? (0, ) 成立,则 a 的最小值是
2
3 6.若函数 f ( x ) ? log a ( x ? ax ) ( a ? 0 , a ? 1) 在区间 (?

1

--

5 2

3 , 0 ) 内单调递增,则 a 的取值范围是 [ ,1) 2 4 7.对于函数 f(x)定义域中任意的 x1,x2(x1≠x2) ,有如下结论:

1

①f(x1+x2)=f(x1)· 2);② f(x1·2)=f(x1)+f(x2)③ f(x x
x1 ? x 2 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

>0;

④f(

)?

.当 f(x)=lgx 时,上述结论中正确结论的序号是 2,3

.

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8.(06 江苏) 设 a 为实数,设函数 f ( x ) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a)。 (Ⅰ)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) (Ⅱ)求 g(a)

t ? 1? x ? 1? x

? a ? 2, 2 ? 1 2 1 ? 综上有 g ( a ) ? ? ? a ? ?a?? , , ? 2 2 2a ? ? 2, 2 ? a?? 2

a??

1

要使有 t 意义,必须 1+x≥0 且 1-x≥0,即-1≤x≤1, ∴ t ? 2 ? 2 1 ? x ? [2, 4], t≥0
2 2


2

t 的取值范围是 [ 2 , 2]. 由①得 1 ? x ? ∴m(t)=a(
1 2 t ? 1 )+t=
2

1 2

t ?1
2

1 2

at ? t ? a , t ? [ 2 , 2]
2

(2)由题意知 g(a)即为函数 m ( t ) ? 注意到直线 t ? ?
1 a

1 2 1 2

at ? t ? a , t ? [ 2 , 2] 的最大值。
2

是抛物线 m ( t ) ?

at ? t ? a 的对称轴,分以下几种情况讨论。
2

当 a>0 时,函数 y=m(t), t ? [ 2 , 2] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由t ? ?
1 a

<0 知 m(t)在 [ 2 , 2]. 上单调递增,∴g(a)=m(2)=a+2

(2)当 a=0 时,m(t)=t, t ? [ 2 , 2] ,∴g(a)=2. (3)当 a<0 时,函数 y=m(t), t ? [ 2 , 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,
1 a 1 a 1 a

若t ? ?

? [0, 2 ] ,即 a ? ?

2 2

则 g (a ) ? m ( 2 ) ?

2

若t ? ? 若t ? ?

? ( 2 , 2] ,即 ? ? (2, ?? ) ,即 ?

2 2
1 2

?a??

1 2

则 g (a ) ? m (?

1 a

) ? ?a ?

1 2a

? a ? 0 则 g ( a ) ? m (2) ? a ? 2


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