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高一数学平面向量背景及基本概念


第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念 2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示

问题提出

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1.在物理中,位移与距离是同一个概 念吗?为什么?

2.现实世界中有各种各样的量,如年 龄、身高、体重、力、速度、面积、体 积、温度等,在数学上,为了正确理解、 区分这些量,我们引进向量的概念.

探究(一):向量的物理背景与概念

思考1:在物理中,怎样区分作用于同一 点的两个力? 力的大小和力的方向
思考2:物体受到的重力、物体在液体中 受到的浮力的方向分别如何?受力的大 小分别与哪些因素有关?
F G

思考3:在如图所示的弹簧中,被拉长或 压缩的弹簧的弹力方向如何?在弹性限 度内,弹力的大小与什么因素有关?

思考4:力既有大小,又有方向,在物理 学中称为矢量,你还能指出哪些物理量 是矢量吗?

思考5:数学中,把既有大小,又有方向 的量叫做向量,把只有大小,没有方向 的量称为数量.那么年龄、身高、体重、 面积、体积、温度、时间、路程、数轴 等是向量吗?

探究(二):向量的几何表示

思考1:一条小船从A地出发,向西北方 向航行15km到达B地,可以用什么方式表 示小船的位移?
B 北

A



思考2:对于一个实数,可以用数轴上的 点表示;对于一个角的正弦、余弦和正 切,可以用三角函数线表示;对于一个 二次函数,可以用一条抛物线表示….数 学中有许多量都可以用几何方式表示, 你认为如何用几何方式表示向量最合适?

思考3:如图,以 A 为起点、 B 为终点的有 uuu r 向线段记作 A B ,一条有向线段由哪几 个基本要素所确定? B(终点)
A(起点)

起点、长度、方向
uuu r 思考4:用有向线段 A B 表示向量,向量 uuu r A B 的大小和方向是如何反映出来的?

uuu r 思考5:有向线段 A B 的长度就是指线段 uuu r AB的长度,也称为向量 A B 的长度或模, uuu r uuu r 它表示向量 的大小,记作 | |,两个 AB AB 不同的向量可以比较大小吗?

思考6:如果表示向量的有向线段没有标 注起点和终点字母,向量也可以用黑体 r r r 字母a,b,c,…,或 a , b, c, L 表示,如图. a 此时向量的模怎样表示?

思考7:向量的模可以为0吗?可以为1吗? 可以为负数吗? 思考8:模为0的向量叫做零向量,记作 r 0 ;模为1个单位的向量叫做单位向量. 怎样理解零向量的方向?怎样理解向 r
a 量 r ? |a |

理论迁移

uuu r uuur uuu r AB , BC , CD

2

例 1 已 知

北 B

A D

C



例2 如图,四边形ABCD为正方形, △BCE为等腰直角三角形.以图中各点为 uuu r 起点和终点,写出与向量 A B 模相等的 所有向量. C D
A E

B

uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r B A , B E , EB , A D , DA , B C , CB , CD , DC

小结作业

1.向量是为了表示、刻画既有大小, 又有方向的量而产生的,物理中有许多 相关背景材料,数学中的向量是物理中 矢量的提升和拓展,它有一系列的理论 和方法,是沟通代数、几何、三角的一 种工具,有着广泛的实际应用.

2.由于有向线段具有长度和方向双 重特征,所以向量可以用有向线段表示, 但向量不是有向线段,二者只是一种对 应关系.

3.零向量是一个特殊向量,其模为0, 方向是不确定的.引入零向量将为以后的 研究带来许多方便,但须注意: r 0? 0 .

作业: P77练习:1,2,3. P77习题2.1A组:1,2.

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