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求数列的通项公式列(教案+例题+习题530)


1、通项公式、递推公式、求和公式的转化:( ①若数列 ?a n ? 的通项公式是 a n ? 1 ? 3n , 则它的递推公式为________, 求和公式为________。 ②若数列 ?a n ? 的通项公式是 a n ? 2 n ,则它的递推公式为________,求和公式为________。 ③若数列 ?a n ? 的递推公式是 a n?1 ? a n ? _______


1 1 ④若数列 ?a n ? 的递推公式是 a n?1 ? a n , a1 ? ,则它的通项公式为________,求和公式为 3 3
5 , a1 ? 1 ,则它的通项公式为______,求和公式为 2

_______。 ⑤若数列 ?a n ? 的求和公式是 S n ? 8n 2 ? 4n ,则它的通项公式为________ ________。 ⑥若数列 ?a n ? 的求和公式是 Sn ? 2n2 ? 4n ? 1 ,则它的通项公式为________ ________。 ⑦若数列 ?a n ? 的求和公式是 S n ? 3 ? 2 n ? 3 ,则它的通项公式为________ ________。

数列的通项的求法
1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 例 1 .等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,
2 .求数列 ?an ? 的通项公式. S 5 ? a5 解:设数列 ?an ? 公差为 d (d ? 0)

2 ∵ a1 , a3 , a9 成等比数列,∴ a3 ? a1a9 ,

即 (a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? 8d ) ? d 2 ? a1d ∵d ? 0,
2 ∵ S 5 ? a5

∴ a1 ? d ………………………………① ∴ 5a1 ?

5? 4 ? d ? (a1 ? 4d ) 2 …………② 2

3 3 ,d ? 5 5 3 3 3 ∴ a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5
由①②得: a1 ? 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比) 后再写出通项。 练一练:1.已知等差数列 {a n } 的公差 d 大于 0 ,且 a 2 ,a 5 是方程 x ? 12x ? 27 ? 0 的两根,
2

数列 {b n } 的前 n 项和为 T n ,且 T n ? 1 ? b n . (1)求数列 {a n } , {b n } 的通项公式;

1 2

1

2.公式法: 已知 Sn (即 a1 ? a2 ?

例 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通 项公式。 解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1 当 n ? 2 时,有 an ?S n ?S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) ,
n

S ,(n ? 1) an ? 1 求 an , 用作差法: 。 ? an ? f (n) ) Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2)

?

?an ? 2an?1 ? 2 ? (?1)n?1, an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1) n?2 , ……, a2 ? 2a1 ? 2.

?an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ? ? 2 ? (?1)n?1
? 2 n ?1 ? (?1) n [(?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ? 2 n ?1 ? (?1) n 2[1 ? (?2) n ?1 ] 3

2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3
经验证 a1 ? 1 也满足上式,所以 a n ? 点评:利用公式 an ? ?

2 n?2 [2 ? (?1) n ?1 ] 3

?S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解时,要注意对 n 分类讨论,但若 S ? S ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 n ?1 ? n

能合写时一定要合并. 练一练:2. 已知在正整数数列 {an } 中,前 n 项和 S n 满足 S n ?

1 ( a n ? 2) 2 8

(1)求证:{an } 是等差数列

(2)若 bn

?

1 a n ? 30 2 ,求 {bn } 的前 n 项和的最小值

3.已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an ;

4.数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ?

5 an ?1 ,求 an ; 3

2

4.累加法: 若 an?1 ? an ? f (n) 求 an : an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ?

? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。

例 3. 已知 {an } 的首项 a ? 1 , an?1 ? an ? 2n ( n ? N * )求通项公式。 1 解: an ? an?1 ? 2(n ? 1)

an?1 ? an?2 ? 2(n ? 2) an?2 ? an?3 ? 2(n ? 3) …… a3 ? a2 ? 2 ? 2

? a2 ? a1 ? 2 ?1
an ? a1 ? 2[1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? n 2 ? n
∴ a ? n2 ? n ? 1 n

5.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? an?1 ? n (n ? 2) ,则 an =________



6.已知 {an } 中, a ? 3 , a ? a ? 2 n ,求 an 。 1 n?1 n

6.1 数列

?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1, 2, 3, ?an ? 的通项公式.

) ,且

a1,a2,a3 成公比

不为 1 的等比数列. (I)求 c 的值; (II)求

3

6.已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。
(1)形如 an ? kan?1 ? b 、的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后, 再求 an 。

① an ? kan?1 ? b 解 法 : 把 原 递 推 公 式 转 化 为 : an?1 ? t ? p(an ? t ) , 其 中
t? q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p

例 5. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 解 : 设 递 推 公 式 an?1 ? 2an ? 3 可 以 转 化 为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即

an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 . 故 递 推 公 式 为 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) , 令 bn ? an ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且
bn?1 an?1 ? 3 ? ?2 bn an ? 3

所以 ?bn ? 是以 b1 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列,则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以

an ? 2n?1 ? 3 .

练一练 6 已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an ; 7. 已知 {an } 满足 a ? 3 , an?1 ? 2an ? 1求通项公式。 1

8. 已知 {an } 中, a ? 1 , an ? 3an?1 ? 2 ( n ? 2 )求 an 。 1

(2)形如 an ? 例 7: an ?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b

an?1 , a1 ? 1 3 ? an?1 ? 1
1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? 3? an an?1 an?1

解:取倒数:

4

?1? 1 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1 ? an ?
练一练:9.已知数列 ?an ? 中,a n ≠0,a 1 =

an 1 ,a n?1 = 2 1 ? 2an

(n∈N ) 求 a n

?

构造法课后练习
10 已知数列 ?an ? 中,满足 a 1 =6,a n?1 +1=2(a n +1) (n∈N )求数列 ?an ? 的通项公式。
?

11 已知数列 ?an ? 中,a n >0,且 a 1 =3, an?1 = an +1

(n∈N )

?

12 已知数列 ?an ? 中,a 1 =3,a n?1 =

1 ? a n +1(n∈N )求数列 ?an ? 的通项公式 2

13 已知数列 ?an ? 中,a 1 =1,a n?1 =3a n +2,求数列 ?an ? 的通项公式 1、通项公式、递推公式、求和公式的转化:( ①若数列 ?a n ? 的通项公式是 a n ? 1 ? 3n , 则它的递推公式为________, 求和公式为________。 ②若数列 ?a n ? 的通项公式是 a n ? 2 n ,则它的递推公式为________,求和公式为________。 ③若数列 ?a n ? 的递推公式是 a n?1 ? a n ? _______。
1 1 ④若数列 ?a n ? 的递推公式是 a n?1 ? a n , a1 ? ,则它的通项公式为________,求和公式为 3 3
5 , a1 ? 1 ,则它的通项公式为______,求和公式为 2

_______。 ⑤若数列 ?a n ? 的求和公式是 S n ? 8n 2 ? 4n ,则它的通项公式为________ ________。 ⑥若数列 ?a n ? 的求和公式是 Sn ? 2n2 ? 4n ? 1 ,则它的通项公式为________ ________。 ⑦若数列 ?a n ? 的求和公式是 S n ? 3 ? 2 n ? 3 ,则它的通项公式为________ ________。

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