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2012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷


2012 年湖南省普通高中学业水平考试试卷





本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,时量 120 分钟,满分 100 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知等差数列 ?an ? 的前 3 项分别为 2、4、6,则数列 ?an ? 的第 4 项为 A.7 B.8 C.10 2.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为 A.球 B.圆柱 C.圆台 3.函数 f ? x ? ? ? x ?1?? x ? 2? 的零点个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 (第 2 题图) D.12 D.圆锥 正视图 侧视图

4.已知集合 A ? ??1,0,2? , B ? ?x,3? , 若 A ? B ? ?2? ,则 x 的值为 A.3 B.2 C.0 D. ?1 俯视图

5.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 1.l2 : y ? 2 x ? 5, 则直线 l1 , l2 的位置关系是 A.重合 B.垂直 C.相交但不垂直 D.平行

6.下列坐标对应的点中,落在不等式 x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域内的是 A. ? 0, 0 ? B.

? 2, 4 ?

C. ? ?1, 4 ?

D. ?1,8?

7.某班有 50 名同学,将其编为 1、2、3、?、50 号,并按编号从小到大平均分成 5 组,现用系统抽样方法,从 该班抽取 5 名同学进行某项调查,若第 1 组抽取的学生编号为 3,第 2 组抽取的学生编号为 13,则第 4 组抽 C 取的学生编号为 A.14 B.23 C.33 D.43 8.如图,D 为等腰三角形 ABC 底边 AB 的中点,则下列等式恒成立的是 A. CA ? CB ? 0 C. CA ? CD ? 0

??? ??? ? ?

B. CD ? AB ? 0 D. CD ? CB ? 0 A D (第 8 题图)

??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? 9.将函数 y ? sin x 的图象向左平移 个单位长度,得到的图象对应的函数解析式为 3
A. y ? sin ? x ?

B

? ?

??
? 3?

B. y ? sin ? x ?

? ?

??
? 3?

C. y ? sin ? x ?

? ?

2? ? ? 3 ?

D. y ? sin ? x ?

? ?

2? ? ? 3 ?

10.如图,长方形的面积为 2,将 100 颗豆子随机地撒在长方形内,其中恰好有 60 颗豆子落在阴影部分内,则用 随机摸拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为 A.

2 3

B.

4 5

C.

6 5

D.

4 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分 11.比较大小: log2 5

l o g 3 (填“>”或“<”) 2
1

(第 10 题图)

2 12.已知圆 ? x ? a ? ? y ? 4 的圆心坐标为 ? 3,0 ? ,则实数 a = 2

13.某程序框图如图所示,若输入的 a, b, c 的值分别是 3,4,5,则输出的 y 值为 14.已知角 ? 的终边与单位圆的交点坐标为 ?

?1 3? ? 2 , 2 ? ,则 cos? = ? ? ?

开始

15.如图,A,B 两点在河的两岸,为了测量 A、B 之间的距离,测量者在 A 的同侧 选定一点 C,测出 A、C 之间的距离是 100 米, ?BAC ? 105 , ?ACB ? 45 ,
? ?

输入 f ? x ?

输入 a, b, c

则 A、B 两点之间的距离为 B

米.

y?

a?b?c 3
输出

y


结束

105
A

?

45?
C

(第 13 题图)

(第 15 题图 )

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 6 分) 已知函数 y ? f ? x ? x ? ? ?2, 6? 的图象如图.根据图象写出: ⑴函数 y ? f ? x ? 的最大值; ⑵使 f ? x ? ? 1 的 x 值.

?

?

y

2
1
?2 ?1 O

2

5

6

x

(第 16 题图)

2

17.(本小题满分 8 分) 一批食品,每袋的标准重量是 50 g ,为了了解这批食品的实际重量情况,从中随机抽取 10 袋食品,称出 各袋的重量(单位: g ),并得到其茎叶图(如图). ⑴求这 10 袋食品重量的众数,并估计这批食品实际重量的平均数; ⑵若某袋食品的实际重量小于或等于 47g ,则视为不合格产品,试估计这批食品重量的合格率.

4 5

5 6 6 9 0 0 0 1 1 2 ( 第 17 题图 )

18.(本小题满分 8 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, D1D ? 底面ABCD ,底面 ABCD 是正方形,且 1

AB ? 1 D1D ? 2 . ,
⑴求直线 D1B 与平面 ABCD 所成角的大小; ⑵求证: AC ? 平面 BB1D1D .

D1

C1 B1

A1

D C

A ( 第 18 题图 )

B

3

19.(本小题满分 8 分) 已知向量 a ? ? sin x,1? , b ? ? cos x,1? , x ? R. ⑴当 x ?

?

?

?
4

时,求向量 a ? b 的坐标;

? ?

⑵若函数 f ? x ? ? a ? b ? m 为奇函数,求实数 m 的值.

? ?2

20.(本小题满分 10 分)
n ? 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2 ? a a为常数,n ? N .

?

?

⑴求 a1 , a2 , a3 ; ⑵若数列 ?an ? 为等比数列,求常数 a 的值及 an ; ⑶对于⑵中的 an , 记 f ? n? ? ? ? a2n?1 ? 4? ? an?1 ? 3, 若 f ? n? ? 0 对任意的正整数 n 恒成立,求实数 ? 的取 值范围.

4


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