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2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练18 等差数列的运算和性质


考点 18

等差数列的运算和性质
【考点分类】

热点一 等差数列基本量的计算
S 1. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (安徽卷文科) 设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 8 ? 4a3 , a7 ? ?2 , 】
则 a9 =( (A) ?6 (C) ?2 ) (B) ?4

(D)2

2,【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】 在等差数列 ? an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则

3a5 ? a7 ? _____.

3. (2012 年高考辽宁文)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10 =( A.12 B.16 C.20 D.24



4. (2012 年高考北京文)已知 {an } 为等差数列, S n 为其前 n 项和.若 a1 ?

1 , S2 ? a3 ,则 2

a2 ? ________; S n =________.

5.(2012 年高考重庆理)在等差数列 {a n } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {a n } 的前 5 项和 S 5 =( A.7 B.15 C.20 D.25



6. (2012 年高考福建理)等差数列 ? an ? 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 ? an ? 的公差为 ( A.1 B.2 C.3 D.4



2 7. (2012 年高考广东理)已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 4 ,则 an ? ______________.

8.【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】
2 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n .已知 S3 ? a2 ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,求 {an } 的通项公式.

9.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科】 已知等差数列 an ? 的公差 d =1,前 n 项和为 S n .(I)若 1, a1 , a3成等比数列,求 a1 ; (II)若 S5 ? a1a9,求a1的取值范围。

?

[来源:学_科_网]

10. (2012 年高考(山东文) 已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . ) (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m? N* ,将数列 {an } 中不大于 72 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项和 S m .
?5a ? 10d ? 105, 解:(I)由已知得: ? 1 ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

解得 a1 ? 7, d ? 7 ,

所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n . (II)由 an ? 7n ? 72 m ,得 n ? 72 m ?1 ,即 bm ? 72 m ?1 . ∵
bk ?1 72 m ?1 ? 2 m ?1 ? 49 ,∴ {bm } 是公比为 49 的等比数列, bk 7

∴ Sm ?

7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) . 1 ? 49 48

【方法总结】
(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两 个,体现了用方程的思想解决问题. (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用, a1 和 d 是等差数列的两个基本量, 而 用它们表示已知和未知是常用方法.

热点二 等差数列性质的综合应用
11.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文】在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 30 ,则

a2 ? a3 ?



12. (2012 年高考辽宁理)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=(
A.58 B.88 C.143 D.176



13. (2012 年高考江西理)设数列 ?an ? , ?bn ? 都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7, a3 ? b3 ? 21 ,则 a5 ? b5 ? __________。

14. (2012 年高考四川文)设函数 f ( x) ? ( x ? 3) ? x ? 1 , {an } 是公差不为 0 的等差数
3

列, f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ?a7 ? ( A.0 B.7 C.14

) D.21

15.(2012 年高考大纲理)已知等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 ?

?

1 ? ? 的前 100 项和为 ? an an ?1 ?

( A.



100 101

B.

99 101

C.

99 100

D.

101 100

16. (2012 年高考山东理)在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N *,将数列 ?an ? 中落入区间 (9 ,9
m 2m

) 内的项的个数记 为 bm ,求数列 ?bm ? 的前 m 项和 S m .

17.【2013 年高考新课标Ⅱ数学(文)卷】已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1 , a11 , a13 成等比数 列. (Ⅰ)求 ? an ? 的通项公式;

(Ⅱ)求 a1 +a4+a7+…+a3n-2.

【方法总结】
1.一般地,运用等差数列的性质,可以化繁为简、优化解题过程.但要注意性质运用的条件,如 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*),需要当序号之和相等、项数相同时才成立. 2.将性质 m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq 与前 n 项和公式 Sn ? 题过程. 3. 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*). (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 md 的等差数列. (4)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. (5)S2n-1=(2n-1)an. (6)若 n 为偶数,则 S 偶-S 奇= nd ;若 n 为奇数,则 S 奇-S 偶=a 中(中间项). 2

n(a1 ? an ) 结合在一起,采用整体思想,简化解 2

热点三 等差数列的定义与应用
18. 【2013 年普通高等学校 招生全国统一考试 (辽宁卷) 理科】 下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ?a n ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ? 是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为( )
[来源:Z#xx#k.Com]

p2 : 数列?nan ? 是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd ? 是递增数列;

(A) p1 , p2

(B) p3 , p4

(C) p2 , p3

(D) p1 , p4

19. (2012 年高考四川理)设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是公差为
2 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )] ? a1a3 ? (

? 的等差数列, 8

) D.

A. 0

B.

1 2 ? 16

C. ? 2

1 8

13 2 ? 16

20. (2012 年高考浙江理)设 S n 是公 差为 d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和,则下列命题错误的是( .. A.若 d<0,则数列{S n}有最大项 B.若数列{S n}有最大项,则 d<0 C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的 n ? N*,均有 S n>0 D.若对任意的 n ? N*,均有 S n>0,则数列{S n}是递增数列



21. 【2013 年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学 (理) 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn , 卷】 已知 S10=0, 15 =25, S 则 nSn 的最小值为________.

【方法总结】
1.公差不为 0 的等差数列, 求其前 n 项和的最值, 一是把 Sn 转化成 n 的二次函数求最值; 二是由 an≥0 或 an≤0 找到使等差数列的前 n 项和取得最小值或最大值的项数 n,代入前 n 项和公式求最值.求等 差数列前 n 项和的最值, 2.常用的方法: (1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项; (2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值; (3)利用等差数列的前 n 项和 Sn=An2+Bn(A、B 为常数)为 二次函数,根据二次函数的性质求最值.

【考点剖析】
一.明确要求
1.考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题. 2.考查等差数列的性质、前 n 项和公式及综合应用. 3.考查等差数列的判断方法,等差数列求和的方法..

二.命题方向
1.等差数列的通项公式与前 n 项和公式是考查重点. 2.归纳法、累加法、倒序 相加法、方程思想、运用函数的性质解决等差数列问题是重点,也是难点. 3.题型以选择题、填空题为主,与其他知识点结合则以解答题为主.

三.规律总结 一个推导

利用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式: Sn=a1+a2+a3+…+an,① Sn=an+an-1+…+a1,② ①+②得: Sn ?
n(a1 ? an ) . 2

两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再 依据等差数列的定义进行对称设元.

四种方法
等差数列的判断方法 (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an-an-1 为同一常数; (2)等差中项法:验证 2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立; (3)通项公式法:验证 an=pn+q; (4)前 n 项和公式法:验证 Sn=An2+Bn.
注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.

【考点模拟】
一.扎实基础
2a 在等差数列 {a n } 中, 4+a7=3, 则数列 {a n } 的前 9 项和等于 ( 1. 【河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试】 (A)9 (C)3 (B)6 (D)12 )

2. 【安徽省江淮名校 2013 届高考最后一卷理科数学】设等差数列 {an } 前 n 项和为 S n , a2 , a6 为 x2 ? x ? 2 ? 0 的 若

两根,则 S 7 的值是( A.



7 2

B.7

C. ?

7 2

D.-7

3. 【内蒙古赤峰市 2013 届高三最后一次仿真统考】已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 6 ,S3 ? 12 ,
则 S12 等于( A.288 ) C. 156 D. 126

B.90

4. 【吉林省实验中学 2013 年高三年级下学期第二次模拟考试题】
在等差数列 ?an ? 中, 2(a1 ? a3 ? a5 ) ? 3(a7 ? a9 ) ? 48 ,则此数列的前10项的和 S10 =( (A)10 (B)20 (C)40 (D)80 )

5. 【东北三省三校 2013 届高三 3 月第一次联合模拟考试】已知数列 {an } 是等差数列,且 a1 ? a4 ? a7 ? 2? ,则
tan(a3 ? a5 ) 的值为(
A. 3 )

B. ? 3

C.

3 3

D. ?

3 3

S 6. 【天津市新华中学 2013 届高三上学期第三次月考数学试卷】 S n 是等差数列{an}的前 n 项和, 5 ? 3(a2 ? a8 ) , 设


a5 的值为( a3

)

A.

1 6

B.

1 3

C.

3 5

D.

5 6

7. 【北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试】已知数列 {a n } ,那么“ an ?1 ? an ? 2(n ? N* ) ”是“数列 {an } 为
等差数列”的 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

S , 8.【山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试】 {an } 为等差数列, n 为其前 n 项和, a7 ? 5,S7 ? 21 则 S10 ? 已知
(A) 40 【答案】A (B) 35 (C) 30 (D) 28

9.

【安徽省皖南八校 2013 届高三第二次联考】已知各
) B. 8 C. 9 D. 10

项均为正数的等差数列 {an } 中, a2 ? a12 ? 49 ,则 a7 的最小值为( A.7

10. 【广州市 20 13 届高三年级 1 月调研测试】 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,
若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S 7 的值为 .

二.能力拔高 11. 【2013 年“江南十校”高三学生第二次联考(二模)测试】已知等差数列 {an } ,公差为 d,前 n 项和为 Tn ,
T8 ? T9 ? T7 ,则下列结论中不正确的是(
A. T15 ? 0 【答案】B
[来源:Z+xx+k.Com]



B. T16 ? 0

C. T17 ? 0

D.d<0

12. 【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷】等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S4 + a25
=5,则一定有( A.
a6 是常数 ) B.S7 是常数 C.a13 是常数 D.S13 是常数

13. 【2013 安徽省省级示范性高中名校高三联考】已知 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S5 ? 10 , S10 ? S15 ? 40 ,
则 S 9 =( A.-36 ) B.0 C.36 D.72

[来源:学科网]

14. 【江西省宜春市 2013 届高三四月模拟考试】在等差数列 {an } 中, a1 ? ?2013 ,其前 n 项和为 S n ,若
S2014 S2012 ? ? 2 ,则 S 2013 的值等于( 2014 2012
A. ?2013 B. ?2012 ) C. 2012 D. 2013



S2014 S2012 ? ? 2 ,故 2d ? 2,? d ? 1. 2014 2012

15. 【湖南师大附中 2013 届高三第六次月考】设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n 且满足 S15 ? 0, S16 ? 0, 则
S S1 S 2 S3 , , ,? , n 中最大的项为 a1 a2 a3 an
( )

A.

S6 a6

B. S 7
a7

C.

S8 a8

D. S 9
a9

16. 【广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟】 已知等差数列 {an } 满足,a1 ? 0,5a8 ? 8a13 , 则前 n 项和 S n

取最大值时,n 的值为 A.20 B.21 C.22 D.23

17. 【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】若 {an } 是等差数列,首项公差 d ? 0 , a1 ? 0 ,且
a2013 (a2012 ? a2013 ) ? 0 ,则使数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是
A.4027 B.4026 C.4025 D.4024 ( )

18. 【上海市 2013 届高考闵行二模卷】公差为 d,各项均为正整数的等差数列{an}中,若 a1=1,an=73, ,则 n+d
的最小值等于 .

19. 【北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(二) 】
在数列 {an } 中,若对任意的 n ? N* ,都有
an ? 2 an ?1 ,则称数列 {an } 为比等 ? ? t ( t 为常数) an ?1 an

差数列, t 称为比公差.现给出以下命题: ①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列; ②若数列 {an } 满足 an ?

2n ?1 1 ,则数列 {an } 是比等差数列,且比公差 t ? ; n2 2

③若数列 {cn } 满足 c1 ? 1 , c2 ? 1 , cn ? cn?1 ? cn?2 ( n ? 3 ) ,则该数列不是比等差数列; ④若 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,则数列 {an bn } 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是 .
[来源:学科网]

20. 【湖北省黄冈市 2013 届高三 3 月份质量检测】 (本小题满分 12 分)已知 {an } 是一个公差大于 0 的等差数列,
且满足 a3a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?

4 a
2 n ?1

?1

(n ? N * ) ,记 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,对于任意的 n ? N * ,不等式 Tn ?

m 恒成立, 100

求实数 m 的最小值.

三.提升自我 21. 【浙江省宁波市 2013 年高考模拟押题试卷】已知数列 {an } 是 1 为首项、2 为公差的等差数列, {bn } 是 1 为首
项、2 为公比的等比数列.设 cn ? abn , Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn (n ? N *) ,则当 Tn>2013 时,n 的最小值是( (A)7 (B)9 (C)10 (D)11 )

22. 【2013 年安徽省马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测】已知等差数列 {an } 的通项公式为 an ?
An ?| an ? an?1 ? ??? ? an?12 | (n ? N ? ) ,则当 An 取最小值时, n 的取值为(
A.16 B.14 C.12 D.10 )

64 ? 4n ,设 5

23. 【2013 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】 在数列 ? a n ?中,a1 ? 1 ,a 2 ? 2 , a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ? 2 , 若
则 a n 等于( (A) ) (B) n 3 ? 5n 2 ? 9n ? 4 (D) 2n ? 5 n ? 4
2

1 3 2 6 n ? n? 5 5 5
2

(C) n ? 2 n ? 2

24. 【2013 年安徽省马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测】
已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ? (Ⅰ)证明数列 ?
2n ?1 an (n ? N *) . an ? 2n

? 2n ? ? 是等差数列; ? an ?

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)设 bn ? n(n ? 1)an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

25. 【2013 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一)(本小题满分 10 分)已知等差数列{ an }的前 n 项和为 S n , 】
且 a3 ? 2a7 , S 4 ? 17 (1)求数列{ an }的通项公式。 (2)求数列{ an }的前 n 项和 S n 的最大值。

【考点预测】
1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0 , an ?1 ? an ? 2 an ? 1 ? 1 ,则 a13 ? ( A. 143 B. 156 C. 168 ) D. 195

2. 设正项数列{an}的前 n 项和是 Sn,若{an}和{ S n }都是等差数列,且公差相等(都为 d),则 a1+d=

.

. 3. 等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,公差为 d,已知 ?a8 ? 1? ? 2013 (a8 ? 1) ? 1 ,
3

?a2006 ? 1?3 ? 2013 ?a2006 ? 1? ? ?1 ,则下列结论正确的是(
A. d ? 0, S 2013 ? 2013 C. d ? 0, S 2013 ? ?2013



B. d ? 0, S 2013 ? 2013 D. d ? 0, S 2013 ? ?2013

4. 某小朋友按如右图所示的规则练习数数,1 大拇指,2 食指,3 中指,4 无名指,5 小指,6 无名指, ... ,一直 数 到 2013 时,对应的指头是 (填指头的名称).

【答案】小指 【解析】∵小指对的数是 5+8n,又∵2013=251×8+5,∴数到 2013 时对应的指头是小指. 5.已知 Sn 是等差数列{an}(n?N*)的前 n 项和,且 S6>S7>S5,有下列四个命题,假命题的是( ... (A)公差 d<0 (C)满足 Sn>0 的 n 的个数有 11 个 (B)在所有 Sn<0 中,S13 最大 (D)a6>a7 )


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