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玉溪一中分校2016届高三数学综合训练(1)


玉溪一中分校 2016 届高三数学综合训练(1)
一、选择题: 1.已知全集 U ? ? 1,2,3,4?,集合 A ? ? 1,2?, B ? ?2,3?,则 CU ? A ? B? ?

1,3,4? A. ?
2.已知 1 ? i ?

B. ?3,4?

C. ?3?

D. ?4?

i ,则在复平面内,复数 z 所对应的点在 z

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ? ? ? ? 3.已知向量 a ? ?1, 2x ? , b ? ? 4, ? x ? ,则“ x ? 2 ”是“ a ? b ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

D.第四象限

D.既不充分也不必要条件[]
a2 ? a1 等于 b2

4.已知 ?2, a1 , a2 , ?8 成等差数列, ?2, b1, b2 , b3 , ?8 成等比数列,则 A.

1 1 1 1 1 B. ? C. C. 或? 4 2 2 2 2 2 5.已知 a ???2,0,1,3,4? , b ??1, 2? ,则函数 f ( x) ? (a ? 2) x ? b 为增函数的概率是

A.

2 5

B.

3 5

C.

1 2

D.

3 10

6.已知一个几何体的正视图和俯视图如右图所示,正视图是边长为 2a 的正三角形,俯视图是边长为 a 的正六边形,则该几何体的侧 视图的面积为
3 A. a 2 2

B.

3 2 a 2

C. 3a 2

D. 3a 2

7.执行如下图的程序框图,则输出的值 P= A.12 B.10 C.8 D.6 8.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点. 若|AF|=3,则?AOB 的面积为 A.
2 2

B. 2

C.

3 2 2

D. 2 2
-1-

?x ? 2 ? 9.设 x , y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 1 ,若目标函数 z ? ax ? by( a ? 0 ,b ? 0 )的最小值为 2 ,则 ab 的 ? y ? x ?1 ?

最大值是 A. 1 B.
1 2
1 x
1 2

C.

1 6

D.

1 4

10.若函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 在 ( ,??) 是增函数,则 a 的取值范围是 A. ?-1,0? B. ?-1,?? C. ?0,3? D. ?3,+??
9 ,底面是边长为 3 的正三角形。若 P 4

11.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为

为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 A.
5? 12
| cos(x ? x

B.
?
2 )|

? 3

C.

? 4

D.

? 6

12.已知方程

?k

在(0,+∞)上有两个不同的解 a,b(a<b) ,则下面结论正确的是

A. sina=acosb

B.sina=-acosb

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. ?
e2 1

3 dx ? x



14.已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,且 f (1) ? 0 ,则不等式 f ( x ? 2) ≥ 0 的解集 是__________ 15.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 图像如图,令 a n ? f ( 16.给出下列四个命题: ①圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 相交;
1 1 ? ( x ?23) ②总体的概率密度函数 f(x)= , x∈R 的图象关于直线 x=3 对称; f(x)的最大值为 . e 2? 2?
2

?
2

) 的部分

n? ), 则 a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a 2014 ? 6



③已知 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7 ? S5 ,则 S9 ? S3 ;
3 3 ④若函数 y ? f ( x ? ) 为 R 上的奇函数,则函数 y ? f ( x ) 的图象一定关于点 F ( ,0) 成中心对称. 2 2

其中所有正确命题的序号为


-2-

三、解答题 17. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? 3 sin(?x) ? 2 sin

?x
2

? m(? ? 0) 的最小正周期为 3? ,当 x ? [0, ? ] 时,函数 f ( x)

的最小值为 0. (1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)在 ?ABC 中,若 f (C) ? 1, 且2 sin 2 B ? cos B ? cos(A ? C),求sin A 的值.

18. (本小题满分 12 分) 在如图所示的多面体中, ? F ? 平面 ??? , ?? ? ?? ,
?D//?F , ?F//?C , ?C ? 2?D ? 4 , ?F ? 3 ,
?? ? ?? ? 2 , G 是 ? C 的中点.

(1)求证: ?D ? ?G ; (2)求平面 D ?G 与平面 D?F 所成锐二面角的余弦值. []

19. (本小题满分 12 分) 甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,
3 2 1 答对则为本队得 1 分,答错不答都得 0 分,已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 , , ,乙队每人 4 3 2

答对的概率都是

2 .设每人回答正确与否相互之间没有影响,用 ? 表示甲队总得分. 3

(1)求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E( ? ) ; (2)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率.

-3-

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C 的方程为 双曲线
x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线为 l1 、 l2 .过椭圆 C 的 a 2 b2

右焦点 F 作直线 l ,使 l ? l1 ,又 l 与 l2 交于点 ? , 设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为 ? , ? . (1)若 l1 与 l2 的夹角为 60? ,且双曲线的焦距为 4 ,求椭圆 C 的方程; (2)求

F? ??

的最大值.

21.(本小题满分 12 分) 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ⑴ 求函数 f ( x) 的解析式; ⑵ 求函数 g ( x) 的单调区间; ⑶ 如果 s 、 那么称 s 比 t 更靠近 r . 当 a ≥ 2 且 x ≥ 1 时, 试比较 r 满足 | s ? r |≤| t ? r | , t、 哪个更靠近 ln x ,并说明理由.
e 和 e x ?1 ? a x f ?(1) 2 x ? 2 x 1 ?e ? x 2 ? 2 f (0) x , g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a . 2 2 4

22(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? 3 ? 2 cos? 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ?
⑴ 以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; ⑵ 已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y) ,求 ? ABM 面积的最大值.

-4-

玉溪一中分校 2016 届高三数学综合训练(1)
参考答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 C 5 B 6 A 7 B 8 C 9 C 10 D 11 B 12 B

二、填空题: 13. 6 14. (??,1] ? [3, ??) . 15、0. 16、①②③ 17、 【解】 (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos( ?x) ? ? m ? 2 sin(?x ? ) ? 1 ? m. 2 6 2? 2 ? 3? , 解得 ? ? . 依题意函数 f ( x)的最小正周期为 3? , 即 ? 3 3 sin(?x) ? 2 ?
所以

f ( x) ? 2 sin(

2x ? ? ) ? 1 ? m. 3 6

当x ? [0, ?]时,

? 2 x ? 5? 1 2x ? ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1, 6 3 6 6 2 3 6 所以f ( x)的最小值为m.依题意, m ? 0. 所以f ( x) ? 2 sin( 2x ? ? ) ? 1. 3 6 ???? 6分

(Ⅱ)

f (C ) ? 2 sin(

? 2C ? 而 ? ? ? , 所以 ? ? .解得C ? .???? 8分 6 3 6 6 3 6 2 2
在Rt?ABC中 ,? A ? B ?

2C ? 2C ? ? ) ? 1 ? 1,? sin( ? ) ? 1. 3 6 3 6 5? 2C ? ? ?
?
2 , 2sin 2 B ? cos B ? cos( A ? C ),

? 2 cos 2 A ? sin A ? sin A ? 0, 解得sin A ? ? 0 ? sin A ? 1,? sin A ?

?1 ? 5 .????10分 2

5 ?1 .????12分 2

18、∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , BE ? 平面 AEB ∴ EF ? AE , EF ? BE 又 AE ? EB ∴ EB, EF , EA 两两垂直 以点 E 为坐标原点, EB, EF , EA 分别为 x, y, z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 由已知得, A (0,0,2) , B (2,0,0) , C (2,4,0) , F (0,3,0) , ???? ??? ? D (0,2,2) , G (2,2,0)∴ EG ? (2, 2,0) , BD ? (?2, 2, 2) ??? ? ??? ? ∴ BD ? EG ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ∴ BD ? EG

-5-

??? ? EB ? 2 ? 由已知得 ? (2,0,0) 是平面 DEF 的法向量 ? 设平面 DEG 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ??? ? ???? ED ? (0, 2, 2), EG ? (2, 2,0) ∵ ??? ? ? ? ? ED ? n ? 0 ?y ? z ? 0 ? ???? ? ? ? ? EG ? n ? 0 ,即 ? x ? y ? 0 ,令 x ? 1 ,得 n ? (1, ?1,1) ∴?
设平面 DEG 与平面 DEF 所成锐二面角的大小为 ? ? ? ??? ? | n ?EB | 2 3 ? ??? ? ? cos ? ?| cos ? n , EB ?|? ? ??? ? 3 | n |? | EB | 2 3 则 ∴平面 DEG 与平面 DEF 所成锐二面角的余弦值为 19、 (1) ? 的可能取值为 0,1,2,3

3 3

3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P(? ? 0) ? ? ? ? ; P (? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 4 3 2 24 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4

3 2 1 1 3 2 1 1 2 1 3 1 1 11 P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; P (? ? 3) ? ? ? ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24 4 3 2 4 ? ? 的分布列为

?
P

0

1

[]

2

3

1 24

1 4

11 24

1 4

E (? ) ? 0 ?

1 1 11 1 23 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 24 4 24 4 12
3 2 1

(2)设 “甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A,“甲队比乙队得分高”为事件 B

1 11 1 1 1 2 1 3?2? 2?2? 1? 2? 则 P( A) ? ? C3 ? ? ? ? C3 ? ? ? ? ? C3 ? ? ? ( ) ? 4 3 ? 3 ? 24 ?3? 3 4 ?3? 3
1 P( AB) 18 1 1 1 1 1? 2? ? ? P( AB) ? ? C3 ? ? ? ( )2 ? …10’? P( B A) ? 1 6 P( A) 4 18 ?3? 3

1

3

x y ? 2 ?1 2 a b b 所以双曲线的渐近线方程为 y ? ? x a b 因为两渐近线的夹角为 60? 且 ? 1 ,所以 ?POF ? 30? a
20、解: ?1? 因为双曲线方程为

2

2

l1

y

P A

3 b 所以 ? tan 30? ? 3 a
所以 a ?

O l2 l B

F

x

3b

因为 c ? 2 ,所以 a 2 ? b 2 ? 2 2
-6-

所以 a ? 3 , b ? 1

x2 所以椭圆 C 的方程为 ? y2 ? 1 3

? 2 ? 因为 l ? l1 ,所以直线 l 的方程为 y ?
因为直线 l 2 的方程为 y ?

a ( x ? c) ,其中 c ? a 2 ? b 2 b

b x, a

? a 2 ab ? , ? 联立直线与 l 2 的方程解得点 P ? ? c c ? ??? ? ??? ? | FA | 设 ? ? ,则 FA ? ? AP | AP |

? a2 ? ab ? x0 , ? y0 ? 因为点 F ? c, 0 ? ,设点 A ? x0 , y0 ? ,则有 ? x0 ? c, y0 ? ? ? ? c ? c ?

? ab c2 ? ?a2 解得 x0 ? , y0 ? c ?1 ? ? ? c ?1 ? ? ?

? c ? ? a ? ? ? ? ab ? ? 1 x2 y 2 因为点 A ? x0 , y0 ? 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,所以 2 2 a b a 2 c 2 ?1 ? ? ? b 2 c 2 ?1 ? ? ?
2 2 2 2

即 c ? ?a
2

?

2 2

?

? ? 2 a 4 ? ?1 ? ? ? a 2 c 2
2

等式两边同除以 a 4 得 (e ? ? ) ? ? ? e (1 ? ? ) , e ? (0,1).
2 2 2 2 2

所以 ? ?
2

e2 ? e4 2 ? ? ? ? ? 2 ? e2 ? ??3 2 2?e 2 ? e2 ? ?

? ?2

2 ?2 ? e ?? 2 ? e
2

2

?3 ? 3? 2 2 ?

?

2 ?1

?

2

所以当 2 ? e 2 ?

| FA | 2 ,即 e ? 2 ? 2 时, ? 取得最大值 2 ? 1 故 的最大值为 2 ? 1 2 2?e | AP |
2 x ?2

21.解: (1) f '( x) ? f '(1)e
2

? 2x ? 2 f (0) ,所以 f '(1) ? f '(1) ? 2 ? 2 f (0) ,即 f (0) ? 1 . 又 f (0) ?
2x

f ?(1) ?2 ?e , 2

所以 f '(1) ? 2e ,所以 f ( x) ? e (2)? f ( x) ? e2 x ? 2 x ? x 2 ,

? x2 ? 2 x .

x 1 1 1 ? g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? e x ? x 2 ? x ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? e x ? a( x ? 1) 2 4 4 4
①当 a ≤ 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在 R 上单调递增; ②当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? e x ? a ? 0 得 x ? ln a , ∴ x ? ? ??,ln a ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; x ? ? ln a, ??? 时,

? g ?( x) ? e x ? a .

g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增.
综上,当 a ≤ 0 时,函数 g ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) ;当 a ? 0 时, 函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? ln a, ??? ,单调递减区间为 ? ??,ln a ? .
-7-

(3)解:设 p ( x) ?

e ? ln x, q ( x) ? e x ?1 ? a ? ln x , x

? p '( x) ? ?

e 1 ? ? 0 ,? p( x) 在 x ? [1, ??) 上为减函数,又 p(e) ? 0 , x2 x ? 当 1 ? x ? e 时, p( x) ? 0 ,当 x ? e 时, p( x) ? 0 .

1 1 ? q '( x) ? e x ?1 ? , q ''( x) ? e x ?1 ? 2 ? 0 , x x ? q '( x) 在 x ? [1, ??) 上为增函数,又 q '(1) ? 0 ,

? x ? [1, ??) 时, q '( x) ? 0 ,? q( x) 在 x ? [1, ??) 上为增函数,

? q( x) ? q(1) ? a ? 2 ? 0 .
①当 1 ? x ? e 时, | p( x) | ? | q( x) |? p( x) ? q( x) ? 设 m( x ) ?

e ? e x ?1 ? a , x

e e ? e x ?1 ? a ,则 m '( x) ? ? 2 ? e x ?1 ? 0 , x x ? m( x) 在 x ? [1, ??) 上为减函数,

? m( x) ? m(1) ? e ?1 ? a , ? a ? 2 ,? m( x) ? 0 ,? | p( x) |?| q( x) | ,?
e x ?1 比 e ? a 更靠近 ln x . x e x ?1 x ?1 ②当 x ? e 时, | p( x) | ? | q( x) |? ? p( x) ? q( x) ? ? ? 2 ln x ? e ? a ? 2 ln x ? e ? a , x 2 x ?1 2 x ?1 x ?1 设 n( x) ? 2ln x ? e ? a ,则 n '( x) ? ? e , n ''( x) ? ? 2 ? e ? 0 , x x 2 ? n '( x) 在 x ? e 时为减函数,? n '( x) ? n '(e) ? ? ee?1 ? 0 , e

? n( x) 在 x ? e 时为减函数,? n( x) ? n(e) ? 2 ? a ? ee?1 ? 0 , ? | p( x) |?| q( x) | ,?
e x ?1 比 e ? a 更靠近 ln x . x e x ?1 综上:在 a ? 2, x ? 1 时, 比 e ? a 更靠近 ln x . x

23.【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的 互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定 要求. 【试题解析】解: (1)圆 C 的参数方程为 ? 所以普通方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 .
2 2

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?

? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0 .
(2)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

| 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | 2

? ABM 的面积 S ?
为9 ? 2 2

1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 所以 ? ABM 面积的最大值 2 4

-8-


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