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2013备考各地试题解析分类汇编(二)文科数学:10圆锥曲线1 Word版含答案


各地解析分类汇编(二)系列:圆锥曲线 1
1.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考文】设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的 一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么双曲线的离心率是 ( A. ) B. C.

2

3

3 ?1 2

D.

>
5 ?1 2

【答案】D 【解析】不妨设双曲线的方程为 直线 FB 的斜率为 k1 ? ?

x2 y 2 ? ? 1 ,右焦点为 F (c, 0) ,虚轴的端点为 B(0, b) ,则 a 2 b2

b b b ,双曲线的一条渐近线为 y ? x ,渐近线的斜率为 k ? ,因为 c a a b b 2 2 2 2 两 直 线 垂 直 , 所 以 有 k1k ? ? ? ? ?1 , 即 b ? a c , 所 以 b ? ac ? c ? a , 整 理 得 c a
c 2 ? ac ? a 2 ? 0 ,即 e 2 ? e ? 1 ? 0 ,解得双曲线的离心率 e ?

1? 5 ,选 D. 2

2.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文】点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一点, P 到 该抛物线焦点的距离为 4 ,则点 P 的横坐标为 A.2 【答案】B 【解析】 抛物线的准线为 x ? ?1 , 根据抛物线的对应可知,P 到该抛物线焦点的距离等于 P 到 该准线的距离,即 x ? (?1) ? 4 ,所以 x ? 3 ,即点 P 的横坐标为 3,选 B. 3.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试数学文】已知直线 l1 : 4x ? 3y ? 6 ? 0 和直线 B. 3 C. 4 D.5

l2 : x ? ?1,抛物线 y2 ? 4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是
(A)

3 5 5

(B) 2 (C)

11 (D) 3 5

,【答案】B 【解析】因为抛物线的方程为 y2 ? 4x ,所以焦点坐标 F (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 。所以设

P 到准线的距离为 PB ,则 PB ? PF 。 P 到直线 l : 4x ? 3y ? 6 ? 0 的距离为 PA , 1
所 以 P A? P B? P A P F ? ?

F, 其 中 FD 为 焦 点 到 直 线 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的 距 离 , 所 以 D

FD ?

4?0?6 32 ? 42

?

10 ? 2 ,所以距离之和最小值是 2,选 B. 5

4. 【北京市东城区 2013 届高三上学期期末统一练习数学文】 已知抛物线 y2 ? 2 px 的焦点 F 到 其准线的距离是 8 ,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且

| AK |? 2 | AF | ,则 ?AFK 的面积为
(A)32 【答案】A (B)16 (C)8 (D)4

【解析】由题意知 p ? 8 ,所以抛物线方程为 y 2 ? 16x ,焦点 F (4, 0) ,准线方程 x ? ?4 ,即

K (?4, 0) ,设 A(

y2 , y) , 16

过 A 做 AM 垂直于准线于 M,由

抛 物 线 的 定 义 可 知 AM ? AF , 所 以 AK ? 2 AF ? 2 AM , 即 AM ? MK , 所 以

y2 ? (? 4) ? y , 整 理 得 y2 ?16 y ? 64 ? 0 , 即 ( y ? 82)? 16

, 0 所 以 y ?8 , 所 以

S?AFK ?

1 1 KF y ? ? 8 ? 8 ? 32 ,选 A. 2 2
2

5.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考文】已知抛物线 y =2x 的焦点是 F,点

P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2).则|PA|+|PF|的最小值是
的坐标 .

,取最小值时 P 点

【答案】

7 , ( 2,2) 2 1 。过 P 做 PM 垂直于准线于 M 过 A 做 AN 垂直于准线于 N,则 2

【解析】抛物线的准线为 x ? ?

根 据 抛 物 线 的 定 义 知 PM ? PF , 所 以 PA ? PF ? PM ? PF ? AN , 所 以

P A? P F ?

1 7 A 的最小值为 AN ,此时 A, P, N 三点共线。 AN ? 3 ? (? ) ? ,此时 N 2 2

yP ? 2 , 代 入 抛 物 线 得 xP ? 2 , 即 取 最 小 值 时 P 点 的 坐 标 为 (2, 2) 。

6.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 双曲线 _____;离心率为______. 【答案】 y ? ? x;

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为 3 3

2

2 2 2 【解析】由双曲线的方程可知双曲线的焦点在 x 轴, a ? b ? 3 ,所以 a ? b ? 3, c ? 6 ,

即 c ? 6 ,所以双曲线的渐近线为 y ? ?

c 6 b ? 2。 x ? ? x ,离心率 e ? ? a a 3

7.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文】已知双曲线中心在原点,一个焦点为

F1 (? 5 ,0) ,点 P 在双曲线上,且线段 PF1 的中点坐标为( 0 , 2 ) ,则此双曲线的方程
是 【答案】 x ?
2

,离心率是

.

y2 ? 1, 5 4

【解析】由双曲线的焦点可知 c ? 5 ,线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ,所以设右焦点为 F2 , 则有 PF2 ? x , PF2 ? 4 , P 在双曲线右支上。 且 点 所以 PF1 ? (2 5) ? 4 ? 36 ? 6 ,
2 2

所以 PF ? PF2 ? 6 ? 4 ? 2 ? 2a ,所以 a ? 1, b2 ? c2 ? a2 ? 4 ,所以双曲线的方程为 1

x2 ?

y2 c ? 1 ,离心率 e ? ? 5 、. 4 a

8.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文】过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 a 2 b2

M 作直线 MA, MB 交椭圆于 A, B 两点,设 MA, MB 的斜率分别为 k1, k2 ,若点 A, B 关于原点
对称,且 k1 ? k2 ? ? , 则此椭圆的离心率为___________.

1 3

【答案】

6 3

【 解 析 】 设 M ( x, y), A( x1, y1), B(?x1, ? y1) , 则 k1 ?

y ? y1 y ? y1 , 所 以 , k2 ? x ? x1 x ? x1

k1k2 ?

y ? y1 y ? y1 y 2 ? y12 1 x2 y2 x2 y 2 ? ? 2 ? ? , 又 2 ? 2 ? 1, 12 ? 12 ? 1 , 两 式 相 减 得 x ? x1 x ? x1 x ? x12 3 a b a b

y2 ? y 2 b2 1 x 2 ? x12 y 2 ? y12 ? ? 0 ,即 2 12 ? ? 2 ? ? ,所以 a 2 ? 3b 2 ,即 a2 ? 3(a2 ? c2 ),整 2 2 x ? x1 a 3 a b
2 2 理得 3c ? 2a ,即 e2 ?

2 6 2 ,所以离心率 e ? 。 ? 3 3 3

9.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 (本小题满分 14 分)已知椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的一个焦点为 F(?1,0) ,左右顶点分别为 A , B . 经过点 F 的直线 l 与椭圆 a2 3
M 交于 C , D 两点.

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求线段 CD 的长; (Ⅲ)记 ? ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S 2 ,求 | S1 ? S2 | 的最大值. 【答案】解: (I)因为 F(?1,0) 为椭圆的焦点,所以 c ? 1, 又 b 2 ? 3, 所以 a 2 ? 4, 所以椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

………………3 分

(Ⅱ)因为直线的倾斜角为 45? ,所以直线的斜率为 1, 所以直线方程为 y ? x ? 1,和椭圆方程联立得到

? x2 y2 ?1 ? ? ,消掉 y ,得到 7x2 ? 8x ? 8 ? 0 3 ?4 ? y ? x ?1 ?
所以 ? ? 288, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 所以 | CD |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |?

………………5 分

8 7

8 7
………………7 分

24 7

(Ⅲ)当直线 l 无斜率时,直线方程为 x ? ?1 , 此时 D ( ?1, ), C ( ?1, ? ) ,

3 2

3 2

?ABD, ?ABC 面积相等, | S1 ? S2 |? 0

………………8 分

当直线 l 斜率存在(显然 k ? 0 )时,设直线方程为 y ? k( x ?1)(k ? 0) , 设 C ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 )

? x2 y2 ?1 ? ? 和椭圆方程联立得到 ? 4 ,消掉 y 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 3 ? y ? k ( x ? 1) ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x2 ? 显然 ? ? 0 ,方程有根,且 x1 ? x2 ? ? ………………10 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
此时 | S1 ? S2 |?| 2 || y2 | ? | y1 ||? 2 | y2 ? y1 | ? 2 | k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? 1) |

? 2 | k ( x2 ? x1 ) ? 2k |?
因为 k ? 0 ,上式 ?

12 | k | 3 ? 4k 2

………………12 分

12 12 12 3 ? ? ? 3, k ?? ( 时等号成立) 3 2 3 2 12 ?4|k | 2 ?4 | k | |k | |k |
………………14 分

所以 | S1 ? S2 | 的最大值为 3

10.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 (本小题满分 14 分) 已知椭圆的中心在原点 O ,短半轴的端点到其右焦点 F ? 2, 0 ? 的距离为 10 ,过焦点 F 作直线 l ,交椭圆于 A, B 两点. (Ⅰ)求这个椭圆的标准方程; (Ⅱ)若椭圆上有一点 C ,使四边形 AOBC 恰好为平行四边形,求直线 l 的斜率. 【答案】 (Ⅰ)由已知,可设椭圆方程为 则 a ? 10 , c ? 2 .

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,…………………… 1 分 a 2 b2
…………………………………………2 分

所以

b ? a 2 ? c2 ? 10 ? 4 ? 6 , …………………………………3 分
x2 y 2 ? ? 1 . …………………………………………4 分 10 6

所以 椭圆方程为

(Ⅱ)若直线 l ? x 轴,则平行四边形 AOBC 中,点 C 与点 O 关于直线 l 对称,此时点

C 坐标为 ? 2c,0 ? .因为 2c ? a ,所以点 C 在椭圆外,所以直线 l 与 x 轴不垂
直. …………………………………………6 分 于是,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2 ? ,点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , …7 分

? x2 y 2 ? ? 1, ? 则 ? 10 6 整理得, 3 ? 5k 2 x2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 30 ? 0 … 8 分 ? y ? k ? x ? 2? , ?

?

?

x1 ? x2 ?
所以

20k 2 , 3 ? 5k 2

………………………………………… 9 分

12k . ……………………………………… 10 分 3 ? 5k 2 因为 四边形 AOBC 为平行四边形, ??? ??? ??? ? ? ? 所以 OA ? OB ? OC , ……………………………………… 11 分 y1 ? y2 ? ?
所以 点 C 的坐标为 ?
2

? 20k 2 12k ? ,? ? , ……………………………12 分 2 3 ? 5k 2 ? ? 3 ? 5k

? 20k 2 ? ? 12k ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 3 ? 5k ? ? ? 3 ? 5k ? ? 1 , 所以 10 6
2 解得 k ? 1 ,

……………………………13 分

所以 k ? ?1 .

………………………………14 分

11.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末统一练习数学文】 (本小题共 14 分)

已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上且过点 P( 3, ) ,离心率是 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

1 2

3 . 2

(Ⅱ)直线 l 过点 E (?1, 0) 且与椭圆 C 交于 A , B 两点,若 EA ? 2 EB ,求直线 l 的方 程.

x2 y 2 【答案】解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) . a b

?c 3 , ? ? 2 ?a 1 ?3 由已知可得 ? 2 ? 2 ? 1, ………………………………………………3 分 4b ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ?
2 2 解得 a ? 4 , b ? 1 .

x2 ? y 2 ? 1 .………………………………………………………6 分 故椭圆 C 的方程为 4
(Ⅱ)由已知,若直线 l 的斜率不存在,则过点 E ( ?1, 0) 的直线 l 的方程为 x ? ?1 , 此时 A(?1 , ),B(?1,-

3 2

3 ) 显然 EA ? 2 EB 不成立.…………………………7 分 2 ,

若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? x2 ? ? y 2 ? 1, 则? 4 ? y ? k ( x ? 1). ?
整理得 (4k 2 ?1) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 .………………………………………………9 分 由 ? ? (8k 2 )2 ? 4(4k 2 ?1)(4k 2 ? 4)

? 48k 2 ? 16 ? 0 .
设 A( x1 y1 ),B( x2,y2 ) . , 故 x1 ? x2 ? ?

8k 2 ,① 4k 2 ? 1

x1 x2 ?

4k 2 ? 4 . ②………………………………10 分 4k 2 ? 1

因为 EA ? 2 EB ,即 x1 ? 2x2 ? ?3 .③ ①②③联立解得 k ? ? 所以直线 l 的方程为

15 . 6


………………………………13 分

15 x ? 6 y ? 15 ? 0

15 x ? 6 y ? 15 ? 0

.……………14 分

12.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)数学文】 (本题满分 14

x2 y 2 3 分)已知椭圆 G : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且右顶点为 A(2, 0) . a b 2

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)过点 P ? 0, 2? 的直线 l 与椭圆 G 交于 A, B 两点,当以线段 AB 为直径的圆经过坐标原 点时,求直线 l 的方程. 【答案】解: (Ⅰ)由已知椭圆 C 的离心率 e ? 因为 a ? 2 ,得 c ? 3, b ? 1 . 所以椭圆的方程为

c 3 , ? a 2

x2 ? y 2 ? 1 .……………………4 分 4

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 . 由方程组 ?

? y ? kx ? 2, 得 (4k 2 ?1) x2 ?16kx ?12 ? 0 . (1) x2 ? 4 y2 ? 4 ?
………………6 分

因为方程(1)有两个不等的实数根,所以 ? ? 0 . 所以 (16k )2 ? 4(4k 2 ?1) ?12 ? 0 ,得 | k |? 设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

3 .…………7 分 2

?16k 12 , x1 x2 ? .(2) 2 4k ? 1 4k 2 ? 1

因为以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点, 所以 OA ? OB , OA ? OB ? 0 ,即有 x1x2 ? y1 y2 ? 0 . ……………9 分 所以 x1 x2 ? ? kx1 ? 2 ?? kx2 ? 2 ? ? 0 , 所以 k 2 ? 1 x1 x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 0 将(2)代入(3)得

??? ?

??? ??? ??? ? ? ?

?

?

(3)

12 ? k 2 ? 1? 4k 2 ? 1

?

2 ? 16k 2 ? 4 ? 0, 4k 2 ? 1

所以 12 k 2 ? 1 ? 2 ?16k 2 ? 4 4k 2 ? 1 ? 0 , 解得 k ? ?2 . 满足 | k |? ……………………13 分

?

?

?

?

3 2
……………………14 分

所求直线 l 的方程为 y ? ?2 x ? 2 .

13.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 (本题共 13 分)曲线 C1 , C2 都是以原 点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点 M 的坐标是(0,1),线段 MN 是 C1 的短轴,是 C 2 的

长轴 . 直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两点(A 在 D 的左侧) ,与 C 2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) . (Ⅰ)当 m=

3 5 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程; 2 4

(Ⅱ)若 OC ? AN ,求 m 的值.

x2 x2 2 2 【答案】解:设 C1 的方程为 2 ? y ? 1 ,C2 的方程为 2 ? y ? 1( a ? 1, 0 ? b ? 1 ) …..2 . b a
分 ∵C1 ,C2 的离心率相同, ∴

a2 ?1 ? 1 ? b 2 ,∴ ab ? 1 ,………………………………..……………………3 分 a2

∴C2 的方程为 a2 x2 ? y2 ? 1.

当 m=

3 a 3 1 3 时,A (? , ) ,C ( , ) .………………………………….……5 分 2 2 2 2a 2

5 , 4 1 a 5 1 ∴ ? ? ,解得 a=2 或 a= (舍), ……………………………...………..6 分 2a 2 4 2
又∵ AC ? ∴C1 ,C2 的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1 , 4x2 ? y2 ? 1 . …………………………..7 分 4
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A(- a 1 ? m ,m),C( ∵OC⊥AN,

1 1 ? m2 ,m) .……………….……………9 分 a

??? ???? ? OC ? AN ? 0
( ? ) ……………………………............................................…10 分 . ∵ OC =(

????

???? 1 , 1 ? m2 ,m) AN =( a 1 ? m2 ,-1-m), a
2

代入( ? )并整理得 2m +m-1=0, ………………………………………………12 分

1 或 m=-1(舍负) , 2 1 ∴m= . ……………………………………………………………………13 分 2
∴m= 14.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 (本小题满分 13 分)

已知椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 其 短 轴 的 一 个 端 点 到 右 焦 点 的 距 离 为 2 , 且 点 a 2 b2

A ( 2 , 1) 椭圆 M 上. 直线 l 的斜率为 在
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)求 ?ABC面积的最大值.

2 ,且与椭圆 M 交于 B 、 C 两点. 2

?2 1 ? ? ?1 【答案】解: (Ⅰ)由题意知 ? a 2 b2 ,所以 b ? 2 . ?a ? 2 ?
故所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ………………………………….5 分 4 2

(Ⅱ) 设直线 l 的的方程为 y ?

2 x ? m ,则 m ? 0 .设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ), 2
2

代入椭圆方程并化简得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 ,
2

…………6 分

2 由 ? ? 2m2 ? 4(m2 ? 2) ? 2(4 ? m2 ) ? 0 ,可得 0 ? m ? 4 . ( ? )

由( ? ),得 x1,2

? 2m ? 2(4 ? m 2 ) ? , 2

故 BC ? 1 ? (

2 2 3 ) x1 ? x2 ? ? 2(4 ? m2 ) ? 3(4 ? m2 ) …..9 分 2 2

又点 A 到 BC 的距离为 d ?

2m 6

,

…………………10 分

故 S?ABC ?

2m 1 1 BC ? d ? 3(4 ? m2 ) ? 2 2 6 1 1 m2 ? (4 ? m2 ) ? (4 ? m2 )m2 ? ? ? 2, 2 2 2

?

2 2 当且仅当 m ? 4 ? m ,即 m ? ? 2 时取等号满足( ? )式.

所以 ?ABC面积的最大值为 2 .

……………………13 分

15.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考文】 (满分 13 分) ( 1 ) 某 三 棱 锥 的 侧 视 图 和 俯 视 图 如 图 所 示 , 求 三 棱 锥 的 体 积 .

(2)过直角坐标平面 xOy 中的抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0?的焦点 F 作一条倾斜角为

? 的直线 4

与抛物线相交于 A,B 两点. 用 p 表示 A,B 之间的距离;[Ks

5u.com

【答案】 (1)该几何体的高 h= 4 -2 = 12=2 3, 1 1 ∴V= × ×6×2×2 3=4 3. 3 2 解: (2)焦点 F ?1,0? ,过抛物线的焦点且倾斜角为

2

2

? p 的直线方程是 y ? x ? 4 2

? y 2 ? 2 px p2 p2 由? ? AB ? x A ? x B ? p ? 4 p ? x 2 ? 3 px ? ? 0 ? x A ? x B ? 3 p, x A x B ? ? p 4 4 y ? x? ? 2 ?

( 或 AB ?

2p sin
2

?
4

? 4p )

16.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考文】 (本小题 14 分)已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 M (0,2) ,离心率 e ? . 2 3 a b
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设过定点 N (2,0)的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,且 ?AOB为锐角(其中 O 为坐标原点),求直线 l 斜率的取值范围. 【答案】 (Ⅰ)由题意得 b ? 2,

c 6 ? a 3

2 2 2 2 结合 a ? b ? c ,解得 a ? 12

所以,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 12 4

(Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 OA ? ( x1 , y1 ), OB ? ( x2 , y 2 ) .

? x2 y2 ?1 ? ? ? 12 4 设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 2) 由 ? 得 x 2 ? 3k 2 ( x ? 2) 2 ? 12 ? ? y ? k ( x ? 2) ?
即 (1 ? 3k 2 ) x 2 ?12k 2 x ? 12k 2 ?12 ? 0 .

12 k 2 12 k 2 ? 12 , x1 ? x 2 ? 所以 x1 ? x 2 ? , 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

y1 ? y2 ? k 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? k 2 [(x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4]
? 8k 2 12 k 4 ? 12 k 2 24 k 4 12 k 4 ? 4k 2 ?? ? ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 4k 2 ? 12 ? 0 解得 k ? 3或k ? ? 3 . 1 ? 3k 2

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ?

故. k ? 3或k ? ? 3 为所求. 17.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 (本小题共 14 分) 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 的两点 A B . 、 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不经过椭圆上的点 M (4,1) ,求证:直线 MA MB 的斜率互为相反数. 、 已知椭圆

3 ,长轴长为 4 5 ,直线 l:y =x +m 交椭圆于不同 2

【答案】 (Ⅰ)由题意知, 2a ? 4 5 ,又因为 故椭圆方程为

e?

3 2 ,解得 a=2 5,b= 5,c= 15
…………………4 分

x2 y2 ? ?1. 20 5

x2 y2 ? ? 1 并整理得 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 20 ? 0 , (Ⅱ)将 y ? x ? m 代入 20 5
解得 ?=(8m)2 -20(4m2 -20)>0, ?5 ? m ? 5 . …………………7 分

(Ⅲ)设直线 MA, MB 的斜率分别为 k1 和 k2 ,只要证明 k1 ? k2 ? 0 . 设 A( x1, y1) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

8m 4m 2 ? 20 , x1 x2 ? . 5 5

…ks5u………9 分

k1 ? k2 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 4) ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 ( x1 ? 4)( x2 ? 4)

分子 ? ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 4) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 4) ? 2 x1x2 ? (m ? 5)( x1 ? x2 ) ? 8(m ? 1) ? 2(4m2 ? 20) 8m(m ? 5) ? ? 8(m ? 1) ? 0 5 5
…………………14 分

所以直线 MA MB 的斜率互为相反数. 、

18.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 (本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1? t ? 0 ? 相交于 E , F 两点, x 轴相 已知直线 l : x ? my ? 1(m ? R ) 与椭圆 C : 与 9 t
交于点 B ,且当 m ? 0 时, EF ? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 A 的坐标为 ( ?3, 0) ,直线 AE , AF 与直线 x ? 3 分别交于 M , N 两点. 试判断以 MN 为直径的圆是否经过点 B ?并请说明理由. 【答案】解: (Ⅰ)当 m ? 0 时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,设点 E 在 x 轴上方,

8 . 3

? x2 y 2 2 2t 2 2t ? 1, ? ? 由? 9 解得 E (1, ), F (1, ? ). t 3 3 ? x ?1 ?
所以 EF ?

4 2t 8 ? ,解得 t ? 2 . 3 3
x2 y 2 ? ?1. 9 2

……………………………………………3 分

所以椭圆 C 的方程为

………………………………………………4 分

? x2 y 2 ? 1, ? ? (Ⅱ)由 ? 9 得 (2m2 ? 9) y2 ? 4my ?16 ? 0 ,显然 m?R . 2 ? x ? my ? 1 ?
设 E( x1, y1), F ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

…………5 分

?4m ?16 . , y1 y2 ? 2 2m ? 9 2m2 ? 9

……………6 分

x1 ? my1 ?1 , x2 ? my2 ?1.
又直线 AE 的方程为 y ?

y1 ( x ? 3) , x1 ? 3

y1 ? ( x ? 3), 6 y1 ?y ? x1 ? 3 解得 M (3, ), ? x1 ? 3 ? x?3 ?
同理得 N (3,

6 y2 ). x2 ? 3
6 y1 ???? 6 y2 ), BN ? (2, ) , …………………………………………9 分 x1 ? 3 x2 ? 3

所以 BM ? (2,

???? ?

又因为 BM ? BN ? (2,

???? ???? ?

6 y1 6 y2 ) ? (2, ) x1 ? 3 x2 ? 3 36 y1 y2 36 y1 y2 ? 4? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) (my1 ? 4)(my2 ? 4)

? 4?

?

4(my1 ? 4)(my2 ? 4) ? 36 y1 y2 m2 y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16

?

?16(4m2 ? 36) ?16 ? 4m2 ? 16 ? 4(2m2 ? 9) ?32m2 ? 16(2m2 ? 9)
?64m2 ? 576 ? 64m2 ? 128m2 ? 576 ? 0 .…………………13 分 9

?

所以 BM ? BN ,所以以 MN 为直径的圆过点 B . ………………………………14 分

???? ?

??? ?


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