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3.4基本不等式课件(人教A版必修5)


这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个 风车,代表中国人民热情好客。

思考:这会标中含有 怎样的几何图形? 思考:你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系?

D

探究1:
1、正方形ABCD的

a ?b
2

2

b
G F E C H

a ?b 面积S=_____
2

2

2、四个直角三角形的

A

a

2ab 面积和S’ =__
3、S与S’有什么

样的不等关系?
B

S>S′即

问:那么它们有相等的情况吗?

a ? b > 2ab
2 2

(a≠b)

D b G A H

D

a 2 ? b2
F
E a a C A E(FGH) b C

a ? b > 2ab
2

B 2

B

(a≠b)

a ?b
2

2



2ab

(a=b)

猜想: 一般地,对于任意实数a、b,我们有 2 2

a ? b ? 2ab

当且仅当a=b时,等号成立。

思考:你能给出不等式 a 2 ? b 2≥2ab 的证明吗?

证明:(作差法) a ? b ? 2ab ? (a ? b)
2 2

2

当a ? b时
当a ? b时
2

(a ? b) ? 0
2
2

(a ? b) ? 0

所以(a ? b) ≥0
所以a ? b ≥2ab.
2 2

重要不等式:一般地,对于任意实数a、b,总有

a ? b ≥2ab
2 2

当且仅当a=b时,等号成立
适用范围: a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.

如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?

如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?
2 2 ( a ) ? ( b ) ≥2 a ? b 替换后得到:

即:

a ? b≥2 ab

a?b 即: ≥ ab 2

(a ? 0, b ? 0)

你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗?

a?b 证明:要证 ≥ ab 2
只要证

a?b 证明不等式: ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 2
分 析 法
① ②
2

a ? b≥ _______ 2 ab _____ 要证①,只要证 a ? b ? 2 ab ≥0
2

(a ? 0, b ? 0, a ? ( a ) , b ? ( b ) )
要证②,只要证

(___ a ? ___) b ≥0
2



显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.

基本不等式
特别地,若a>0,b>0,则
≥ a ? b _____ 2 ab

a?b 通常我们把上式写作: ab≤ (a ? 0, b ? 0) 2
当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式.

适用范围: a>0,b>0

a?b 在数学中,我们把 叫做正数a,b的算术平均数, 2 ab 叫做正数a,b的几何平均数;
文字叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
②如何用a, b表示CD?

D
A a OC b B

E

ab CD=______

BC DC Rt△ACD∽Rt△DCB, 所以 ? DC AC

所以DC 2 ? BC ? AC ? ab

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
②如何用a, b表示CD?

D
A a OC b B

E

ab CD=______
≥ OD_____CD >

③OD与CD的大小关系怎样?

a?b ≥ ab 2

几何意义:半径不小于弦长的一半

填表比较:

a ? b ≥2ab
2 2

a?b ≥ ab 2
a>0,b>0

适用范围 文字叙述 “=”成立条件

a,b∈R

两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数

a =b

a =b

注意从不同角度认识基本不等式

1 例1. 求函数 f(x)=xx + +1 解: ∵ x>-1, ∴x+1>0.

(x> -1) 的最小值.

1 =(x +1)+ 1 -1 f ( x )= x + ∴ x+1 x+1
≥2

1 (x+1)? x+1 -1 =1,

当且仅当 x+1= x1 +1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.

例2. 若 0<x1 < , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值. 2 分析: 2 x+(1-2x) 不是 =1为 常数. 1 解: ∵0<x< 2 , ∴1-2x>0. 1 ∴y=x(1-2x)= 2 ?2x?(1-2x) 1 2x+(1-2x) ]2 1 ≤ ?[ = 8. 2 2 1 当且仅当 2x=(1-2x), 即 x= 4 时, 取“=”号. 1. ∴当 x = 1 时 , 函数 y = x (1 2 x ) 的最大值是 8 4
配凑系数

若x、y皆为正数,
则当xy的值是常数P时,

当且仅当x=y时,
2 P x+y有最小值_______.
x ? y≥2 xy ? 2 P

? 若x、y皆为正数, ? 则当x+y的值是常数S时 , ? 当且仅当x=y时, 1 S ? xy有最大值_______ 4
2

x? y S 1 2 xy≤ ? ? xy≤ S 4 2 2

1 1.已知函数 f ( x) ? x ? ,求函数的 x 最小值和此时x的取值.

运用均值不等式的过程中,忽略了“正数” 这个条件.

3 ( x ? 2) , 2.已知函数 f ( x) ? x ? x?2 求函数的最小值.

用均值不等式求最值,必须满足“定值”这 个条件.

4 ? 3 求函数y ? sin ? ? 其中? ? (0, ] sin ? 2 的最小值。 4 4 解:y ? sin ? ? ? 2 sin ? ? sin ? sin ? ? 4,?函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.

小结:
1. 两个重要的不等式

(1)a, b ? R,那么a 2 ? b2≥2ab ,当且仅当a ? b时,等号成立

a?b (2) ab≤ (a >0,b>0),当且仅当a ? b时,等号成立。 2 2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S ? xy≤ 1 S 4

求最值时注意把握 “一正,二定,三相等”

练习题: 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值, 并说明此时x,y的值. 当x=6,y=4时,最小值为48 2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值. 最小值为8
2 3.已知x<0,求函数 f ( x) ? x ? 的最大值. x

1 1 4 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u ? ? x y

?2 2

的最小值.

3? 2 2

典例剖析
题型一 分式形函数的最值求法
x2+7x+10 【例 1】 求函数 y= (x>-1)的最小值. x+1
解:∵x>-1,∴x+1>0. x2+7x+10 ?x+1?2+5?x+1?+4 ∴ y= = x+1 x+1 4 =(x+1)+ +5≥2 x+ 1 4 ?x+1? +5=9. x+1

4 当且仅当 x+1= ,即 x=1 时,等号成 x+1 立. x2+7x+10 ∴当 x= 1 时,函数 y= (x>- 1)取 x+1 得最小值为 9.

ax2+ bx+ c 方法点评: 形如 f(x)= (m≠ 0, a≠ 0) mx+ n mx+ n 或者 g(x)= 2 (m≠ 0, a≠ 0)的函数,可以把 ax + bx+ c mx+ n 看成一个整体,设 mx+ n=t,那么 f(x)与 g(x) 都可以转化为关于 t 的函数.

x+ 2 1.求函数 y= 的最大值. 2x+5

解:设 t= x+ 2≥ 0,从而 x= t2- 2. t ∴ y= 2 (t≥ 0). 2t + 1 当 t= 0 时, y= 0.

当 t>0 时, y=

1 1 2t + t

≤ 2

1

2 = . 1 4 2t· t

1 2 3 当且仅当 2t= ,即 t= , x=- 时, y t 2 2 2 有最大值 ymax= . 4


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