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江苏省盐城中学2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题苏教版


高一上学期期末考试数学试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. cos 600 0 的值是 2.化简 AB ? BD ? AC ? CD ? 3.函数 y ? . . . . 象限.

1 ? log 2 ? x ? 3? 的定义域是 x

4.函数 y ? tan( 5.若 ?

r />?

x ? ) 的最小正周期是 2 3

?

π ? α ? 0 ,则点 (tan α, cos α ) 位于第 2

6.函数 f ? x ? ? 1 ? cos x( x ? R ), 取最大值时 x 的值是

.

3 7.若函数 f ( x) ? x ? ( ) x ? 2 的零点 x 0 ? (n, n ? 1)(n ? Z ), 则 n ? _________.

1 2

8.函数 y ? ?( x ? 5) | x | 的递增区间是 9.为了得到函数 y ? sin( 2 x ?

.

)的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移个___长度单位. 3 ? ? ? ? ? ? ? 10.若 a ? 1, b ? 2 ,且 a ? b ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为 .

?

?

?

11.已知扇形的周长为 8cm ,则该扇形的面积 S 的最大值为 12.设? ? 0, 若函数 f ( x) ? 2 sin ?x 在 [ ?



? ?

, ] 上单调递增,则? 的取值范围是________. 3 4

13.如图,在△ ABC 中, AD ? AB, BC ? 2 BD, AD ? 1, 则 AC ? AD ? ________. A

B

D

C

14.在直角坐标系中, 如果两点 A(a, b), B ( ?a, ?b) 在函数 y ? f ( x) 的图象上,那么称 ? A, B ? 为函数 f ( x)

? ? ?sin x, x ? 0 的一组关于原点的中心对称点( ? A, B ? 与 ? B, A? 看作一组) .函数 g ( x) ? ? 关于原点的中 2 ? ?log 4 ( x ? 1), x ? 0
心对称点的组数为 .
1

二、解答题(本大题共 6 小题,计 80 分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. ) 15.A、B 是单位圆 O 上的点,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在第二象限.记 ?AOB ? ? 且

4 . 5 (1)求 B 点坐标; sin ? ?

sin(? ? ? ) ? 2sin( ? ? ) 2 (2)求 的值. 2 cos(? ? ? )

?

16.平面内给定三个向量 a ? ? 3, 2 ? , b ? ? ?1, 2 ? , c ? ? 4,1? . (1)若 ? a ? kc ? ? 2b ? a ,求实数 k; (2)若向量 d 满足 d / / c ,且 d ? 34 ,求向量 d .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

17.已知函数 f ( x) ? x ? 2sin ? ? x ? 1 ( ? 为常数) , x ? [?
2

3 1 , ]. 2 2

(1)若 f ( x) 在 x ? [?

3 1 , ] 上是单调增函数,求 ? 的取值范围; 2 2

(2)当 ? ? ? 0,

? ?? 时,求 f ( x) 的最小值. ? 2? ?

2

18. 已知 ?OAB 的顶点坐标为 O (0, 0) , A(2,9) , B (6, ?3) , 点 P 的横坐标为 14,且 OP ? ? PB ,点 Q 是 边 AB 上一点,且 OQ ? AP ? 0 . (1)求实数 ? 的值与点 P 的坐标; (2)求点 Q 的坐标; (3)若 R 为线段 OQ (含端点)上的一个动点,试求 RO ? ( RA ? RB ) 的取值范围.

??? ?

??? ?

???? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

19.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? h ( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) .在一个周期内,当 x ? 值 6 ,当 x ?

?
12

时, y 取得最大

7? 时, y 取得最小值 0 . 12

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间与对称中心坐标; (3)当 x ? ? ?

? ? ?? 时,函数 y ? mf ( x) ? 1 的图像与 x 轴有交点,求实数 m 的取值范围. , ? 12 6 ? ?

20. 定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 f ( x) ? M 成立,则称
3

f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x) 的一个上界.

1 ? ax ?1? ?1? 已知函数 f ( x) ? 1 ? a? ? ? ? ? , g ( x) ? log 1 . ?2? ?4? 2 x ?1
(1)若函数 g ( x) 为奇函数,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,求函数 g ( x) 在区间 [ ,3] 上的所有上界构成的集合; (3)若函数 f ( x) 在 [0,??) 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

x

x

5 3

4

江苏省盐城中学 2013—2014 学年度第一学期 期终考试数学答题纸

二、解答题 15、 (12 分) 解: (1) B (? , ) (2) ?

3 4 5 5

5 3

16、 (12 分) 解: (1) k ? ?

11 18

(2) d ? (4 2, 2) 或 (?4 2, ? 2)

? ?

17、 (12 分)

5

解: (1) ? ? ?

2? ?? ? ? 2 k? , ? 2 k? ? , k ? Z ; 3 3 ? ?

(2) f ( x) min

? 1 ?? ? ? ?? 3 sin ? ? 4 , ? ? ? 3 , 2 ? ? ? ? . ?? ?? sin 2 ? ? 1, ? ? ?0, ? ? ? ? ? ? 3? ?

(3) 因 为 R 为 线 段 OQ 上 的 一 个 动 点 , 故 设 R (4t , 3t ) , 且 0 ? t ? 1 , 则 RO ? ( ?4t , ?3t ) ,

??? ?

??? ? RA ? (2 ? 4t ,9 ? 3t )



??? ? RB ? (6 ? 4t , ?3 ? 3t )



??? ? ??? ? RA+ RB ? (8 ? 8t , 6 ? 6t )





???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? RO ? ( RA ? RB) ? ?4 t(8 ? 8 t) ? 3t (6? 6t )? 50t 2 ? 50t (0 ? t ? 1) , 故 RO ? ( RA ? RB) 的 取 值 范 围 为

[?

25 , 0] . 2

19、 (14 分) 解: (1) f ( x) ? 3sin(2 x ? (2)递增区间 ? ? (3)

?
3

) ? 3;

? k? 1 ? 5 ? ,3), k ? Z ; ? ? k? , ? ? k? ? , k ? Z ;对称中心 ( ? 3 2 12 ? 12 ? 1 ?9 ? ?1 2? f ( x) ? ? , 6 ? , f ( x) ? ,所以 m ? ? , ? . m ?2 ? ?6 9?

20、 (16 分) 解: (1)因为函数 g ( x) 为奇函数,
6

所以 g (? x) ? g ( x) ,即 log 1
2

1 ? ax 1 ? ax , ? ? log 1 ? x ?1 2 x ?1

1 ? ax x ?1 ,得 a ? ?1 ,而当 a ? 1 时不合题意,故 a ? ?1 . ? ? x ? 1 1 ? ax 1? x (2)由(1)得: g ( x) ? log 1 , x ?1 2
即 下面证明函数 g ( x) ? log 1 证明略. 所以函数 g ( x) ? log 1 所以函数 g ( x) ? log 1

1? x 在区间 (1, ??) 上单调递增, x ?1 2

1? x 5 在区间 [ ,3] 上单调递增, x ?1 3 2

1? x 5 在区间 [ ,3] 上的值域为 [ ?2,?1] , x ?1 3 2 5 所以 g ( x) ? 2 ,故函数 g ( x) 在区间 [ ,3] 上的所有上界构成集合为 [2,??) . 3 (3)由题意知, f ( x) ? 3 在 [0,??) 上恒成立.
?1? ?1? ?1? ? 3 ? f ( x ) ? 3 , ? 4 ? ? ? ? a? ? ? 2 ? ? ? . ?4? ?2? ?4?
?1? ?1? ? ?4 ? 2 ? ? ? ? a ? 2 ? 2 x ? ? ? 在 [0,??) 上恒成立. ?2? ?2? x x ? ? ?1? ? ?1? ? ? ?? 4 ? 2 x ? ? ? ? ? a ? ?2 ? 2 x ? ? ? ? ?2? ? ?2? ? ? ? max ? ? min ? ? 1 1 设 2 x ? t , h(t ) ? ?4t ? , p (t ) ? 2t ? ,由 x ? [0,??) 得 t ? 1 t t (t1 ? t 2 )(4t1t 2 ? 1) 设 1 ? t1 ? t 2 , h(t1 ) ? h(t 2 ) ? ? 0, t1t 2
x x x

x

x

x

t1t2 所以 h(t ) 在 [1,??) 上递减, p (t ) 在 [1,??) 上递增, h(t ) 在 [1,??) 上的最大值为 h(1) ? ?5 , p (t ) 在 [1,??) 上的最小值为 p (1) ? 1 . 所以实数 a 的取值范围为 [?5,1] .

p (t1 ) ? p (t2 ) ?

? t1 ? t2 ?? 2t1t2 ? 1? ? 0

,

7


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