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一元一次方程应用题专题——行程问题——学生版


一元一次方程应用题专题讲解 【解题思路】 1、审——读懂题意,找出等量关系。 2、设——巧设未知数。 3、列——根据等量关系列方程。 4、解——解方程,求未知数的值。 5、答——检验,写答案(注意写清单位和答话)。 6、练——勤加练习,熟能生巧。触类旁通,举一反三。

第一讲 行程问题 【基本关系式】 (1) 行程问题中的三个基本量及其关系: 路程=速度×时间

(2) 基本类型 ① 相遇问题:快行距+慢行距=原距 ② 追及问题:快行距-慢行距=原距 ③ 航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 顺速–逆速 = 2 水速;顺速 + 逆速 = 2 船速 顺水的路程 = 逆水的路程 注意:抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静水速)不变的特点考 虑相等关系。 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间

常见的还有:相背而行;环形跑道问题。

【经典例题】 例 1.甲、乙两站相距 480 公里,一列慢车从甲站开出,每小时行 90 公里,一 列快车从乙站开出,每小时行 140 公里。 (1)慢车先开出 1 小时,快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时 后两车相遇? (2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距 600 公里? (3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相 距 600 公里? (4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢 车? (5)慢车开出 1 小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少 小时追上慢车? 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。故可结 合图形分析。 (1)分析:相遇问题,画图表示为: 等量关系是:慢车走的路程+快车走的路程=480 公里。 解:设快车开出 x 小时后两车相遇,由题意得,140x+90(x+1)=480 解这个方程,230x=390
x ?1 16 , 23 16 小时两车相遇 23

600 甲 乙

答:快车开出 1



(2)分析:相背而行,画图表示为: 等量关系是:两车所走的路程和+480 公里=600 公里。 解:设 x 小时后两车相距 600 公里, 由题意得,(140+90)x+480=600 解这个方程,230x=120 ∴ x= 答:
12 小时后两车相距 600 公里。 23 12 23

(3)分析:等量关系为:快车所走路程-慢车所走路程+480 公里=600 公里。 解:设 x 小时后两车相距 600 公里,由题意得,(140-90)x+480=600 50x=120 ∴ x=2.4

答:2.4 小时后两车相距 600 公里。 (4)分析:追及问题,画图表示为: 等量关系为:快车的路程=慢车走的路程+480 公里。 解:设 x 小时后快车追上慢车。 由题意得,140x=90x+480 解这个方程,50x=480 ∴ x=9.6
甲 乙

答:9.6 小时后快车追上慢车。 (5)分析:追及问题,等量关系为:快车的路程=慢车走的路程+480 公里。 解:设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得,140x=90(x+1)+480 50x=570 ∴ x=11.4

答:快车开出 11.4 小时后追上慢车。 例 2. 某船从 A 地顺流而下到达 B 地,然后逆流返回,到达 A、B 两地之间的 C 地,一共航行了 7 小时,已知此船在静水中的速度为 8 千米/时,水流速度为 2 千米/时。A、C 两地之间的路程为 10 千米,求 A、B 两地之间的路程。

分析:这属于行船问题,这类问题中要弄清: (1)顺水速度=船在静水中的速度+水流速度; (2)逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。 相等关系为:顺流航行的时间+逆流航行的时间=7 小时。 解:设 A、B 两码头之间的航程为 x 千米,则 B、C 间的航程为(x-10)千米, 由题意得,
x x ? 10 ? ?7 2?8 8?2 解这个方程得 x ? 32.5

答:A、B 两地之间的路程为 32.5 千米。

【专项训练】

一、行程(相遇)问题
A.基础训练 1. 小李和小刚家距离 900 米,两人同时从家出发相向行,小李每分走 60 米, 小刚每分走 90 米,几分钟后两人相遇?

2. 小明和小刚家距离 900 米,两人同时从家出发相向行,5 分钟后两人相遇, 小刚每分走 80 米,小明每分走多少米?

3. 王强和赵文从相距 2280 米的两地出发相向而行, 王强每分行 60 米, 赵文每 分行 80 米,王强出发 3 分钟后赵文出发,几分钟后两人相遇?

4. 两辆车从相距 360 千米的两地出发相向而行,甲车先出发,每小时行 60 千 米,1 小时后乙车出发,每小时行 40 千米,乙车出发几小时两车相遇?

5. 两村相距 35 千米,甲乙二人从两村出发,相向而行,甲每小时行 5 千米, 乙每小时行 4 千米,甲先出发 1 小时后,乙才出发,当他们相距 9 千米时, 乙行了多长时间?

6. 甲乙二人从相距 45 千米的两地同时出发相向而行,甲比乙每小时多行 1 千 米,5 小时后二人相遇,求两人的速度。

7. 甲乙二人从相距 100 千米的两地出发相向而行,甲先出发 1 小时,他们在乙 出发 4 小时后相遇,已知甲比乙每小时多行 2 千米,求两人的速度。

8. AB 两地相距 900 米。甲乙二人同时从 A 点出发,同向而行,甲每分行 70 米,乙每分行 50 米,甲到达 A 点后马上返回与乙在途中相遇,两人从出发 到相遇一共用了多少时间?

9. 甲乙两地相距 640 千米。一辆客车和一辆货车同时从甲地出发,同向而行, 客车每小时行 46 千米,货车每小时 34 千米,客车到达乙地后马上返回与货 车在途中相遇,问从出发到相遇一共用了多少时间?

B.提高训练 1. 建朋和建博两人骑自行车同时从相距 65 千米的两地相向而行,经过两小时 相遇,已知建朋比建博每小时多走 2.5 千米,问建博每小时走多少千米?

2. A、B 两地相距 360 千米,甲车从 A 地出发开往 B 地,每小时行驶 72 千米, 甲车出发 25 分钟后,乙车从 B 地出发开往 A 地,每时行驶 48 千米,两车 相遇后,各自按原来的速度继续行驶,那么相遇后两车相距 120 千米时,甲 车从出发一共用了多少时间?

3. 甲、乙两列火车,长为 144 米和 180 米,甲车比乙车每秒钟多行 4 米,两 列火车相向而行,从相遇到错开需要 9 秒钟,问两车的速度各是多少?

4. AB 两地相距 1120 千米,甲乙两列火车同时从两地出发,相向而行。甲列火 车速度是 60 千米每小时,乙列火车的速度是 48 千米每小时,乙列火车出发 时,从火车里飞出一只鸽子,以每小时 80 千米的速度向甲列火车飞去,当 鸽子和甲列火车相遇时,乙列火车距离 A 地还有多远?

5. 甲、 乙两个车站相距 168 千米, 一列慢车从甲站开出, 速度为 36 千米/小时, 一列快车从乙站开出,速度为 48 千米/小时。 (1)两列火车同时开出,相向而行,多少小时相遇? (2)慢车先开 1 小时,相向而行,快车开几小时与慢车相遇?

6. 甲每分钟走 70 米,乙每分钟走 60 米,丙每分钟走 50 米,甲从 A 地,乙丙 从 B 地同时出发,相向而行,甲在遇到乙 2 分钟后又遇见丙,求 AB 两地距 离。

7. 倩倩与欣欣家相距 1.8 千米,有一天,倩倩与欣欣同时从各自家里出发,向 对方家走去,倩倩家的狗和倩倩一起出发,小狗先跑去和欣欣相遇,又立刻 回头跑向倩倩, 又立刻跑向欣欣…一直在倩倩与欣欣之间跑动。 已知倩倩 50

米/分,欣欣 40 米/分,倩倩家的狗 150 米/分,求倩倩与欣欣相遇时,小狗 一共跑了多少米?

二、行程(追击)问题
A.基础训练 1. 姐姐步行速度是 75 米/分,妹妹步行速度是 45 米/分。在妹妹出发 20 分钟 后,姐姐出发去追妹妹。问:多少分钟后能追上?

2. 甲、乙两人从同地出发前往某地。甲步行,每小时走 4 公里,甲走了 16 公 里后,乙骑自行车以每小时 12 公里的速度追赶甲,问乙出发后,几小时能 追上甲?

3. 一列慢车从 A 地出发,每小时行 60 千米,慢车开出 1 小时后,快车也从 A 地出发,每小时速度为 90 千米,快车经过几小时可追上慢车?

4. 敌我两军相距 25 千米,敌军以 5 千米/时的速度逃跑,我军同时以 8 千米/ 时的速度追击,并在相距一千米处发生战斗,问战斗是在开始追击几小时发 生的?

5. AB 两站相距 448 千米,一列慢车从 A 站出发,每小时行驶 60 千米,一列 快车也从 A 站出发,每小时行驶 80 千米,要使两车同时到达 B 站,慢车应 先出发几小时?

6. 甲乙两人在 400 米的环形跑道上练习长袍,他们同时同地出发,甲的速度是 6 米每秒,乙的速度是 4 米每秒,多长时间后甲追上乙?

7. 甲乙两地路程为 180 千米,一人骑自行车从甲地出发每时走 15 千米,另一 人骑摩托车从乙地出发,已知摩托车速度是自行车速度的 3 倍,若两人同向 而行, 骑自行车在先且先出发 2 小时, 问摩托车经过多少时间追上自行车?

8. 几名同学约好一起去动物园,到学校集合后,一部分同学以每小时 5 千米的 速度步行,0.5 小时后,另一部分同学骑自行车上学,20 分钟后,他们同时 到达动物园,骑自行车的同学的速度是多少?

9. 某市举行环城自行车赛,最快者在 35 分钟后遇见最慢者,已知最快者的速 度是最慢者的 7/5, 环城一周是 6 千米, 则最快者和最慢者的速度各是多少?

10. 父子两人晨练,父亲从家到公园跑步需要 30 分钟,儿子只需 20 分钟,如果 父亲比儿子早出发 5 分钟,儿子追上父亲需要多少分钟?

B.提高训练 1. 张勇和刘成旭两人练习 50 米短距离赛跑,张勇每秒钟跑 7 米,刘成旭每秒 钟跑 6.5 米。 (1)几秒后,张勇在刘成旭前面 2 米? (2)如果张勇让刘成旭先跑 4 米,几秒可追上刘成旭? 2. 一队学生去军事训练,走到半路,队长有事要从队头通知到队尾,通讯员以 18 米/分的速度从队头至队尾又返回,已知队伍的行进速度为 14 米/分。问: 若已知队伍长 320 米,则通讯员几分钟返回??若已知通讯员用了 25 分钟, 则队伍长为多少米?

3. 乙两人同时从 A 地出发步行去 B 地,5 分钟后,甲返回 A 地去取东西,没有

停留,继续步行去 B 地,如果从两人同时出发起计时,那么 35 分钟后两人 同时到达。已知甲每分钟所行路程比乙每分钟所行路程的 2 倍少 30 米。求 甲、乙二人的速度各是多少?

4. 一支部队排成 1.2 千米队行军,在队尾的张明要与在最前面的营长联系,他 用 6 分钟时间追上了营长。为了回到队尾,在追上营长的地方等待了 18 分 钟。如果他从最前头跑步回到队尾,那么用多少时间?

5. 小明和小刚家相距 28 千米,两人约定见面,他们同时出发,小明的速度为 每小时 8 千米,小刚的速度是每小时 6 千米,小明的爸爸在小明出发 20 分 钟后发现小明忘了带东西,于是就以每小时 10 千米的速度追赶小明,当小 刚和小明相遇时,爸爸追上小明了吗?它要想追上小明,速度至少要多少?

6. 某队伍以 7 千米每小时的速度前进,在队尾的通讯员以每时 11 千米的速度 赶到队伍前面送信,送到后立即返回队尾,共用 13.2 分钟。则队伍的长度 是多少千米?(提示:设时间为 X)

三、行程(行船、飞行)问题

1. 一架飞机飞行在两个城市之间, 风速为 24 千米/时. 顺风飞行需要 2 小时 50 分,逆风飞行需要 3 小时. 求飞机在无风时的速度及两城之间的飞行路程.

2. 一艘轮船航行于两地之间,顺水要用 3 小时,逆水要用 4 小时,已知船在静水中 的速度是 50 千米/小时,求水流的速度.

3. 汽船从甲地顺水开往乙地,所用时间比从乙地逆水开往甲地少 1.5 小时。已 知船在静水的速度为 18 千米/小时,水流速度为 2 千米/小时,求甲、乙两地 之间的距离? 4. 一只船从甲码头到乙码头是顺流行驶,用了 2 小时;从乙码头返回到甲码头 是逆流行驶,用了 2.5 小时。如果水流的速度是 3 千米/小时,求船在静水中 的速度?

5. 一船在两码头之间航行,顺水需 4 小时,逆水 4 个半小时后还差 8 公里,水 流每小时 2 公里,求两码头之间的距离? 6. 一架飞机,最多能在空中连续飞行 4 小时,飞出去时的速度是 950 千米/小 时,返回时的速度是 850 千米/小时,这架飞机最远能飞出多少千米就应返 回?(答案保留整数)

7. 高石荷同学在十一假期去青年公园玩, 在溪流边的 A 码头租了一艘小艇逆 流而上,划行速度约 4 千米/时,到 B 地后沿原路返回,速度增加了 50%, 回到 A 码头比去时少花了 20 分钟。求 A、B 两地之间的路程。

四、行程(跑道)问题
1. 乙两人都以不变速度在 400 米的环形跑道上跑步, 两人在同一地方同时出发 同向而行,甲的速度为 100 米/分,乙的速度是甲速度的 多少时间后两人首次相遇(2)第二次相遇呢?
3 倍,问(1)经过 2

2. 一条环形的跑道长 800 米, 甲练习骑自行车平均每分钟行 500 米, 乙练习赛 跑,平均每分钟跑 200 米,两人同时同地出发。 (1)若两人背向而行,则他们经过多少时间首次相遇? (2)若两人同向而行,则他们经过多少时间首次相遇?

3. 张明每天去体育场晨练,都见到一位田径队的叔叔也在锻炼,两人沿 400 米 跑道跑步,每次总是张明跑 2 圈的时间,叔叔跑 3 圈。一天,两人在同地反 向而跑,张明看了一下计时表,发现隔了 32 秒钟两人第一次相遇,求两人 的速度?第二天,张明打算和叔叔在同地同向而跑,看叔叔隔多少时间再次

与他相遇,你能先给张明预测一下吗?

4. 甲乙二人沿 400 米的圆形跑道跑步,他们从同一地点同时出发,背向而行。 当两人第一次相遇后,甲的速度比原来提高 2 米/秒,乙的速度比原来降低 2 米/秒,结果两人都用 24 秒回到原地。求甲原来的速度?

五、行程(坡路)问题
1. 从甲地到乙地,先下山然后走平路,某人骑自行车从甲地以每小时 12 千米 的速度下山,而以每小时 9 千米的速度通过平路,到乙地用 55 分钟,他回 来,以每小时 8 千米的速度上山,回到甲地用 1 小时 30 分钟,求甲、乙两 地距离多远?

六、行程(错车、过桥)问题
1. 两列迎面行驶的火车,A 列速度为 20 米每秒,B 列速度为 25 米每秒,若 A 列车长 200 米,B 列车长 160 米,则两车错车的时间是几秒?

2. 一列火车长 160 米,全车通过 440 米的桥需要 30 秒钟,这列火车每秒行多 少米?

3. 一列货车全长 240 米,每秒行驶 15 米,全车连续通过一条隧道和一座桥, 共用 40 秒,桥长 150 米,问这条隧道长多少米?

4. 在上下行轨道上,两列火车相对开来,一列火车长 182 米,每秒行 18 米, 另一列火车每秒行 17 米,两列火车错车而过用了 10 秒钟,求另一列火车长 多少米?

5. 方方以每分钟 60 米的速度沿铁路边步行, 一列长 252 米的货车从对面而来, 从他身边通过用了 12 秒钟,求列车的速度。

6. 甲乙两人沿铁路相对而行,速度都是每秒 14 米,一列货车经过甲身边用了 8 秒,经过乙身边用了 7 秒,求货车车身长度以及火车速度。

7. 小刚在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步, 他散步的速度是 2 米/秒, 这时迎 面开来一列火车, 从车头到车尾经过他身旁共用了 18 秒。 已知货车全长 342 米,求火车的速度。

8. 铁路线旁有一沿铁路方向的公路,在公路上行驶的一辆拖拉机司机看见迎面 驶来的一列货车从车头到车尾经过他身旁共用了 15 秒,已知货车车速为 60 千米/时,全长 345 米,球拖拉机的速度。

9. 一列快车和一列慢车相向而行,快车的车长是 280 米,慢车的车长是 385 米,坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是 11 秒,那么坐在慢车上的人看 见块车驶过的时间是多少秒?

10. 有两列同方向行驶的火车,快车每秒行 30 米,慢车每秒行 22 米。如果从列 车头对齐开始算,则行 24 秒后快车超过慢车,如果从列车尾对齐开始算, 则行 28 秒后快车超过慢车。快车长多少米,慢车长多少米?

【能力测试】 1. 两车站相距 275km,慢车以 50km/一小时的速度从甲站开往乙站,1h 时后,

快车以每小时 75km 的速度从乙站开往甲站,那么慢车开出几小时后与快车 相遇?

2. 一辆汽车以每小时 40km 的速度由甲地开往乙地,车行 3h 后,因遇雨,平 均速度被迫每小时减少 10km,结果到乙地比预计的时间晚了 45min,求甲 乙两地距离。

3. 甲乙两人在同一道路上从相距 5 千米的 A、B 两地同向而行,甲的速度为 5 千米/小时,乙的速度为 3 千米/小时,甲带着一只狗,当甲追乙时,狗先追 上乙,再返回遇上甲,再返回追上乙,依次反复,直至甲追上乙为止,已知 狗的速度为 15 千米/小时,求此过程中,狗跑的总路程是多少?

4. 有一火车以每分钟 600 米的速度要过完第一、第二两座铁桥,过第二铁桥比 过第一铁桥需多 5 秒, 又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的 2 倍短 50 米, 试求各铁桥的长.

5. 已知甲、乙两地相距 120 千米,乙的速度比甲每小时快 1 千米,甲先从 A 地出发 2 小时后,乙从 B 地出发,与甲相向而行经过 10 小时后相遇,求甲 乙的速度?

6. 一架飞机飞行于甲、乙两城之间,顺风时需要 5 小时 30 分钟,逆风时需要 6 小时,若风速是每小时 24 公里,求两城之间的距离.

7. 一队学生去军事训练,走到半路,队长有事要从队头通知到队尾,通讯员以 18 米/分的速度从队头至队尾又返回,已知队伍的行进速度为 14 米/分。问: ?若已知队长 320 米, 则通讯员几分钟返回??若已知通讯员用了 25 分钟, 则队长为多少米?

8. 一架飞机在两个城市之间飞行,风速为 24 千米/小时,顺风飞行需要 2 小时 50 分,逆风飞行需要 3 小时,求两个城市之间的飞行路程?

9. 一轮船在甲、乙两码头之间航行,顺水航行需要 4 小时,逆水航行需要 5 小 时,水流的速度为 2 千米/时,求甲、乙两码头之间的距离。


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