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高三数学理科第二次月考试卷


高三数学理科第二次月考试卷
1.设 A ? {x | y ? 1 ? x }, B ? { y | y ? ln(1 ? x)} ,则 A ? B ? ( A. {x | x ? ?1} B. {x | x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 1} )

D. ? )

2.已知函数 y?f( 的定义域( 3],则 y x

? 1 )定义域是 [?2, ?f( 2 x ? 1 ) A. [?3, 7] B. [?1 , 4]
2

C. [?5, 5]

D. [ 0 ,

5 ] 2


3.命题“存在 x ? R , 使x ? ax ? 4a ? 0 ,为假命题”是命题“ ? 16 ? a ? 0 ”的( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 1 1 4.若幂函数 f ( x) ? mx a 的图像经过点 A( , ) ,则它在点 A 处的切线方程是( 4 2 A. 2 x ? y ? 0 B. 2 x ? y ? 0 C. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 D. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0
[,

A.充要条件 C.充分不必要条件



5.将函数 y ? sin(4 x ?

?
6

) 图象上各点的横坐标伸长到原的 2 倍,再向左平移
) D x??

?
4

个单位,

纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是( A x?

?
12

B. x ?

?
6

C x? )

?
3

?
12

6.若 a ? ln 2 , b ? ln 3 , c ? ln 5 ,则( 2 3 5 A.a<b<c B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<a<c

x 7. 已知定义在 R 上的偶函数,f ? x ? 在 x ? 0 时,f ( x) ? e ? ln( x ? 1) , 若 f ? a ? ? f ? a ? 1? ,

则 a 的取值范围是( A. ? ??,1? 8.下列四个命题: 1 ?x∈(0, ○ 3 ?x∈(0, ○ +∞), ( +∞), (

) B. (??, )

1 2

C. ( ,1)

1 2

D. ?1, ?? ?

1 x 1 ) <( )x; 2 3 1 x ) >log 1 x; 2 2

2 ?x∈(0, 1), log ○ 4 ?x∈(0, ○

1 2

x>log 1 x;
3

1 1 ), ( )x<log 1 x. 3 2 3

其中真命题是( A.○ 1 ○ 3

) B.○ 2 ○ 3 C.○ 2 ○ 4 D.○ 3 ○ 4

?1, x ? 0, ? 9.已知符号函数 sgn( x) ? ?0, x ? 0, 则函数 f ( x) ? sgn(ln x) ? ln 2 x 的零点个数为( ?? 1, x ? 0 ?



A.1

B.2

C.3

D.4

? ?1, 10.设函数 D(x)=? ?0, ?

x为有理数, x为无理数,

则下列结论错误的是 B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数

(

)

A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数

11 . 某 食 品 的 保 鲜 时 间 y ( 单 位 : 小 时 ) 与 储 藏 温 度

x (单位:℃)满足函数关系

y ? ekx?b ( e ? 2.718... 为自然对数的底数,k , b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是192
小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是( A.16 小时 B.20 小时 C.24 小时 )

D.21 小时

12 . 设 奇 函 数 f ? x ? 在 ?? 1,1? 上 是 增 函 数 , 且 f ?? 1? ? ?1 , 当 a ? ?? 1,1? 时 ,

f ? x ? ? t 2 ? 2at ? 1 对所有的 x ? ?? 1,1? 恒成立,则 t 的取值范围是(
A. ?2 ? t ? 2 C. t ? 2 或 t ? ?2 或 t ? 0



B. t ? 2 或 t ? ?2 D. t ? 2 或 t ? ?2 或 t ? 0

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在答题卷相应题目的答题区域内作 答. 13.若函数 f ? x ? ?

k ? 2x 在其定义域上为奇函数,则实数 k ? 1? k ? 2x



14.设 f(x)是以 2 为周期的函数,且当 x∈[1,3)时,f(x)=x-2,则 f(-1)=________. 15. 已 知 命 题 p : 关 于 x 的 方 程 x 2 ? mx ? 2 ? 0 在 x ? [0,1] 有 解 ; 命 题

1 q : f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 2mx ? ) 在 x ? [1, ??) 单调递增;若“ ?p ”为真命题,“ p ? q ”是真命 2 题,则实数 m 的取值范围为 .
16.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数.例 如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b∈B,它至多有一个原象; ④函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数. 其中的真命题是__________.(写出所有真命题的编号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.在 答题卷相应题目的答题区域内作答.

17. (本小题满分 10 分)已知集合 A ? {x | 3 ? 3 ? 27} , B ? {x | log 2 x ? 1} .
x

(1)分别求 A ? B , ? CR B ? ? A ; (2)已知集合 C ? x 1 ? x ? a ,若 C ? A ,求实数 a 的取值集合. 18. (本小题满分 12 分)设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? (1)若 a =4,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f
?1

?

?

2x ? a 2x ? a

( x) ;

(2)根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由. 19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? (1)若 b ? 1 ,解不等式 f ( x ? 1) ? 0 ; (2)若 a ? 1 ,当 x ? ? ?1, 2? 时, f ( x ) ?

x?a ( a 、 b 为常数) . x?b

?1 恒成立,求 b 的取值范围. ( x ? b) 2

1 3 20. (本小题满分 12 分)设 f(x)=aln x+ + x+1,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 2x 2 处的切线垂直于 y 轴. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 21. (本小题满分 12 分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的 底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造 成本为 100 元/平方米, 底面的建造成本为 160 元/平方米, 该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 22 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ? x ? ? a 3 ln x ?

1 2 , x ? ? a ? a2 ? x ( a ? R ) 2

g ? x ? ? 3x 2 ln x ? 2 x 2 ? x .
(Ⅰ)求证: g ? x ? 在区间 ? 2, 4? 上单调递增; (Ⅱ)若 a ? 2 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 2, 4? 上的最大值为 G ? a ? ,求 G ? a ? 的解析式,并判断

G ? a ? 是否有最大值和最小值,请说明理由(参考数据: 0.69 ? ln 2 ? 0.7 )

高三数学(文科)第二次月考答题卡
一、 题号 答案 二、 填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. ________. 14.________. 三、解答题(共 70 分) 17. (1) 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

15. ________.

16.________.

(2)

18. 解: (1)

(2)

19. 解: (1)

, (2)

20. 解:(1)

(2)

21.解: (1)

(2)

22. 解: (1)

(2)

高三数学(理科)月考试卷参考答案
一、 题号 答案 二、 13. ?1 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 B 2 D 3 A 4 C 5 A 6 C 7 B 8 C 9 B 10 C 11 C 12 D

填空题(每小题 5 分,共 20 分) 14.-1 15. ? ?1,

? ?

3? ? 4?

16. ②③

三、解答题(共 70 分) 17. (1)? 3 ? 3x ? 27 即 31 ? 3x ? 33 ,?1 ? x ? 3 ,? A ? x 1 ? x ?3

?

?,

? log 2 x ? 1 ,即 log 2 x ? log 2 2 ,? x ? 2 ? B ? ? x x ? 2
CR B ? ? x x ? 2

? ,? A ? B ? ? x |2 ? x ? 3 ? ;

? ,? CR B ? A ? ? x | x ? 3 ?

(2)由(1)知 A ? x 1 ? x ?3

?

? ,当 C ? A

当 C 为空集时, a ? 1 当 C 为非空集合时,可得 综上所述 a ? 3 18.

1? a ? 3

2x ? 4 ?y 2x ? 4 4y ? 4 4y ? 4 ? 2x ? ,? x ? log 2 , y ?1 y ?1 (1) ? a ? 4,? f ( x) ? ? 调换x, y的位置可得y ? f ?1 ( x) ? log 2 4x ? 4 , ( x ? (??, ?1) ? (1, ??)) x ?1 (2)若f ( x)为偶函数,则f ( x) ? f ( ? x)对任意x均成立,

2 x ? a 2? x ? a = , 整理可得a(2 x ? 2? x ) ? 0, 2 x ? a 2? x ? a ? 2 x ? 2? x 不恒为0, ? a ? 0, 此时f ( x) ? 1, x ? R, 满足条件; ? 若f ( x)为奇函数,则f ( x) ? - f ( ? x)对任意x均成立, 2 x ? a 2? x ? a =,整理可得a 2 ? 1 ? 0,? a ? ?1 2 x ? a 2? x ? a 2x ? 1 ? a ? 0,? a ? 1, 此时f ( x) ? x , x ? 0, 满足条件; 2 ?1 综上所述,a=0时,f(x)是偶函数;a=1时,f(x)是奇函数; ?
19. (1)∵ f ? x ? ? ∵ f ( x ? 1) ? 0 ,∴

? x ? 1? ? a ? x ? 1 ? a , x?a x?a , b ? 1 ,∴ f ? x ? ? ,∴ f ( x ? 1) ? x x?b x ?1 ? x ? 1? ? 1
x ?1? a ? 0 ,等价于 x ? ? x ? ?1 ? a ? ? ? ? 0, x

① 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为: (0,1 ? a ) , ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为: ? , ③当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为: (1 ? a ,0) , (2)∵ a ? 1 , f ( x ) ?

?1 x ?1 ?1 , ∴ ? ? ( x ? b)( x ? 1) ? ?1 (※) 2 ( x ? b) x ? b ( x ? b) 2

显然 x ? ?b ,易知当 x ? ?1 时,不等式(※)显然成立; 由 x ? ? ?1, 2? 时不等式恒成立,当 ?1 ? x ? 2 时, b ? ?

1 1 ? x ? 1? ( ? x ? 1) , x ?1 x ?1

∵ x ? 1 ? 0 ,∴

1 1 ? ? x ? 1? ? 2 ? ? x ? 1? ? 2 , x ?1 x ?1

故 b ? ?1 . 综上所述, b ? ?1 .

1 3 a 1 3 20. 解:(1)因 f(x)=aln x+ + x+1,故 f′(x)= - 2+ . 2x 2 x 2x 2 由于曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0,即 f′(1)=0,从而 1 3 a- + =0, 2 2 解得 a=-1. 1 3 (2)由(1)知 f(x)=-lnx+ + x+1(x>0), 2x 2 1 1 3 f′(x)=- - 2+ x 2x 2 3x2-2x-1 = 2x2 ?3x+1??x-1? = . 2x2 1 1 令 f′(x)=0,解得 x1=1,x2=- (因 x2=- 不在定义域内,舍去). 3 3 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,1)上为减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(1,+∞)上为增函数. 故 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=3. 21. (本小题满分 12 分) 解:本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识,考查转 化思想及分类讨论思想. (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100×2πrh=200πrh 元,底面的总成本为 160πr2 元,所以蓄 水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 根据题意得 200πrh+160πr2=12 000π, 1 所以 h= (300-4r2), 5r π 从而 V(r)=πr2h= (300r-4r3). 5 由 h>0,且 r>0 可得 0<r<5 3,故函数 V(r)的定义域为(0,5 3). π π (2)由(1)知 V(r)= (300r-4r3),故 V′(r)= (300-12r2).令 V′(r)=0,解得 r1=5,r2=- 5 5 5(因为 r2=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8,即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最 大.

22. (Ⅰ)证明:∵ g ( x) ? 3 x ln x ? 2 x ? x ,∴ g ?( x) ? 6 x ln x ? x ? 1 ,
2 2

设 h( x) ? 6 x ln x ? x ? 1 ,则 h?( x) ? 6 ln x ? 5 , ∴当 2 ? x ? 4 时, h?( x) ? 0 ,∴ h( x) 在区间 (2, 4) 上单调递增. ∵ h(2) ? 3(4 ln 2 ? 1) ? 0 ,∴当 2 ? x ? 4 时, h( x) ? h(2) ? 0 . ∴ g ( x) 在区间 [2, 4] 上单调递增. (Ⅱ)∵ f ( x) ? a 3 ln x ?

1 2 x ? (a ? a 2 ) x (a ? R ) , 2

∴ f ( x) 的定义域是 (0, ??) ,且 f ?( x) ? ∵ a ≥ 2 ,∴ a ? a 2 ,

a3 ( x ? a )( x ? a 2 ) . ? x ? (a ? a 2 ) ,即 f ?( x) ? x x

当 x 变化时, f ( x) 、 f ?( x) 变化情况如下表:
(0, a)

( a, a 2 )
0

a2
0

(a 2 , ??)

f ?( x) f ( x)



极大



极小



∴当 2 ? a ? 4 时, a 2 ? 4 , f ( x) 在区间 [2, 4] 上的最大值是 f (a ) ? a 3 ln a ? a 3 ? 当 a ? 4 时, f ( x) 在区间 [2, 4] 上的最大值为 f (4) ? 2a ln 2 ? 4a ? 4a ? 8 .
3 2

1 2 a . 2

1 2 ? 3 3 ? a ln a ? a ? a (2 ? a ? 4), 即 G (a) ? ? 2 3 2 ? ?2a ln 2 ? 4a ? 4a ? 8(a ? 4).
(1)当 2 ? a ? 4 时, G ?(a ) ? 3a ln a ? 2a ? a .
2 2

由 ( Ⅰ ) 知 , G ?(a ) 在 (2, 4) 上 单 调 递 增 . 又 G ?(2) ? 2(6 ln 2 ? 5) ? 0 ,

G?(4) ? 12(8ln 2 ? 3) ? 0 ,
∴存在唯一 a0 ? (2, 4) ,使得 G ?(a0 ) ? 0 ,且当 2 ? a ? a0 时,G ?(a ) ? 0 ,G (a ) 单调递减, 当 a0 ? a ? 4 时 G ?(a ) ? 0 , G (a ) 单调递增.∴当 2 ? a ? 4 时, G (a ) 有最小值 G (a0 ) . (2)当 a ? 4 时, G ?(a ) ? 6a 2 ln 2 ? 8a ? 4 ? 6 ln 2( a ?

2 2 8 ) ? ?4, 3ln 2 3ln 2

∴ G ?(a ) 在 (4, ??) 单调递增.又 G ?(4) ? 12(8ln 2 ? 3) ? 0 ,

∴当 a ? 4 时, G ?(a ) ? 0 .∴ G (a ) 在 (4, ??) 上单调递增. 综合(1) (2)及 G (a ) 解析式可知, G (a ) 有最小值,没有最大值.


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