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考点13 函数y=Asin(wx+¢)的图象及三角函数模型的简单应用


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考点 13 函数 y=Asin( ? x ? ? )的图象及三角函数 模型的简单应用
一、选择题
1.(2016 · 全国卷Ⅰ高考理科 · T12) 已知函数 f(x)=sin( ω x+ φ ) ?ω ? 0,φ ?
? ?

π π? ? ,x=- 为 f(x) 的零 2? 4

点 ,x= 为 y=f(x) 图象的对称轴 , 且 f(x) 在 ? A.11 B.9 C.7 D.5

π 4

?π 5 π? , ? 上单调 , 则 ω 的最大值为 ? 18 36 ?

(

)

【解析】选 B. 由题意知 :
? π ? ω ? φ ? k1 π, ? ? 4 ? ?π ω ? φ ? k π ? π , 2 ? ?4 2

则ω=2k+1, 其中 k ∈ Z . ∵ f(x) 在 ?
?
?π 5 π? , ? 上单调 , 18 36 ? ?

5 π π π 1 2 π ? ? ? ? ,? ? 12. 36 18 12 2 ω

接下来用排除法 . 若ω=11, φ =- , 此时 f(x)=sin ? 11x ? ? , 4? 4 ? f(x) 在 ?
?π 3 ?π 5 ?π 5 π? π? π? , ? 上单调递增 , 在 ? , ? 上单调递减 , 不满足 f(x) 在 ? , ? 上单调 , ? 18 44 ? ? 18 36 ? ? 18 36 ?

π

?

π?

π ? ?π 5 π? π? 若ω=9, φ = 4 , 此时 f(x)=sin ? 9x ? ? , 满足 f(x) 在 ? , ? 上单调递减 . 4? ? ? 18 36 ?

2.(2016 · 全国卷Ⅱ理科 · T7) 若将函数 y=2sin2x 的图象向左平移 对称轴为 ( )

π 个单位长度 , 则平移后图象的 12

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A.x= C.x=

kπ π - (k ∈ Z ) 2 6

B.x=

kπ π + (k ∈ Z ) 2 6

kπ π kπ π (k ∈ Z ) D.x= + (k ∈ Z ) 2 12 2 12

【解题指南】先求出平移之后图象对应的函数解析式 , 利用整体思想 , 类比正弦曲线 , 确定函数图 象的对称轴 . 【解析】选 B. 平移后图象的解析式为 y=2sin2 ? x ? ? , 12 ? ? 令 2 ?x ?
? ? π ? π ? =k π + ,k ∈ Z , 12 ? 2 ? π ?

得对称轴方程 :x=

kπ π + (k ∈Z ). 2 6

3.(2016 · 全国卷Ⅱ文科 · T3) 函数 y=Asin( ωx+ φ ) 的部分图象如图所示 , 则

(

)

A.y=2sin ? 2x ?
? ? ?

?

π? ? 6? ?

B.y=2sin ? 2x ?
? ? ? π? ?

?

π? ? 3?

C.y=2sin ? x+ ? D.y=2sin ? x+ ? 6 3 【解题指南】观察函数图象 , 可以求出 A 和周期 , 进而求出ω, 再由关键点求出φ的值 . 【解析】选 A. 由题图知 ,A=2, 故 T= π, ω=
2 π =2, π
?π ? ? ?
T π ? π? π = - ?? ? = , 2 3 ? 6? 2

π?

所以 y=2sin(2x+ φ ). 因为图象过点 ? ,2 ? , 3 所以 2sin ? 2 ? ? φ ? =2, 则 + φ =2k π + (k ∈Z ), 3 3 2 ? ? 取 k=0, 则φ =- , 故 y=2sin ? 2x ? ? . 6? 6 ? 4.(2016 · 天津高考文科 · T8) 已知函数 f(x)=sin 2 内没有零点 , 则 ω 的取值范围是 ( )
ωx 1 1 + sin ωx( ω>0),x ∈ R . 若 f(x) 在区间 ( π,2 π) 2 2 2
π
? π?

?

π

?

2 π

π

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A. ? 0, ? 8
? ? ?

?

1? ? ? 5?

B. ? 0, ? ∪ ? ,1 ? 4 8
? ? ? ?

?

1?

?5

?

C. ? 0, ? 8

D. ? 0, ? ∪ ? , ? 8 4 8
? ? ? ?

?

1?

?1 5?

【解题指南】利用降幂公式以及辅助角公式把 f(x) 整理为 y=Asin( ω x+ φ )+b 的形式 , 得到 f(x) 的 零点 , 根据零点不在 ( π,2 π) 内得出不等式 , 然后求解 .
1 ? cosω x sinω x 1 2 π ? ? ? sin(? x ? ) , 令 f(x)=0, 得 x= 【解析】选 D. f(x)= 2 2 2 2 4
?1 1? ? ? ?5 5? ? ? ?9 9? ? ? ?1 1? ? ? ?5 ? ? ? ? ? 1? ? ?

kπ ? ω
?

π 4 ? ( π ,2 π ),(k ∈

Z ). 所以ω? ? , ? ∪ ? , ? ∪ ? , ? ∪…… = ? , ? ∪ ? ,?∞ ? , 所以ω∈ ? 0, ? ∪ ? , ? . 8 4 8 4 8 4 8 4 8 8 4 8

?1 5?

π? ? 5.(2016 · 北 京 高 考 理 科 · T7) 将 函 数 y=sin ? 2x ? ? 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 图 象 上 的 点 3? ?
?π ? P ? , t ? 错误! 未找到 引用 源。 向左平移 s(s>0) 个单位长度得到点 P'. 若 P' 位于函数 ?4 ?

y=sin2x 的图象上 , 则

(

)
π 6

A.t=错误!未找到引用源。 ,s 的最小值为 B.t=
π 3 ,s 的最小值为 6 2

C.t=错误!未找到引用源。 ,s 的最小值为 D.t=
π 3 ,s 的最小值为 3 2

π 3

【解题指南】把点 P 代入 y=sin 错误!未找到引用源。求出 t, 再把 P' 代入 y=sin2x 求出 s 的最小值 . 【解析】 选 A. 点 P 错误!未找到引用源。 在 y=sin 错误!未找到引用源。 上 , 所以
?π π? π 1 t=sin ? ? ? 错误!未找到引用源。 =sin = ,P 错误!未找到引用源。向左平移 s(s>0) 6 2 ?2 3? 1? ?π ?π ? 个单位长度得到点 P' ? ? s, ? 错误!未找到引用源。, 代入 y=sin2x 得 sin ? ? 2s ? 错误! 2? ?4 ?2 ?

未找到引用源。错误!未找到引用源。 = , 所以 cos2s= ,2s= ± +2k π ,s= ± +k π ,k ∈ Z . 又因为 s>0, 所以 s 的最小值为 .
π 6

1 2

1 2

π 3

π 6

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二、填空题 6.(2016 · 全国卷Ⅲ · 理科 · T14) 函数 y=sinx- 3 cosx 的图象可由函数 y=sinx+ 3 cosx 的图象至少 向右平移 个单位长度得到 .
? ? π? ? , 根据左加右减原则可得只需将 y=sinx+ 3 cosx 向右 3?

【解析】 函数 y=sinx- 3 cosx=2sin ? x ? 平移
2 π 个单位即可 . 3 2 π 3

答案 :

7.(2016 · 浙江高考理科 · T10) 已知 2cos 2x+sin2x=Asin( ωx+ φ )+b(A>0), 则 A= ,b= .

【解题指南】利用倍角公式和辅助角公式化简 . 【解析】 2cos 2x+sin2x=1+cos2x+sin2x = 2 sin ? 2x ?
? ? π? ? +1, 所以 A= 2 ,b=1. 4?

答案 : 2

1

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