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解析几何知识点


一.专题综述
解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系,该部分内容是整 个解析几何的基础,在解析几何的知识体系中占有重要位置,但由于在高中阶段平面解析几 何的主要内容是圆锥曲线与方程,故在该部分高考考查的分值不多,在高考试卷中一般就是 一个选择题或者填空题考查直线与方程、 圆与方程的基本问题, 偏向于考查直线与圆的综合, 试题难度不大,对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行.根据近年来各地 高考的情况, 解析几何初步的考查是稳定的, 预计 2012 年该部分的考查仍然是以选择题或者 填空题考查直线与圆的基础知识和方法,而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用. 圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一,在高考中一般有 1~2 个选择题或者填空 题,一个解答题.选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标 准方程和简单几何性质及其应用,试题考查主要针对圆锥曲线本身,综合性较小,试题的难 度一般不大;解答题中主要是以椭圆为基本依托,考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的 位置关系,考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思 想方法,这道解答题往往是试卷的压轴题之一.由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干 知识, 在高考命题上已经比较成熟, 考查的形式和试题的难度、 类型已经较为稳定, 预计 2012 年仍然是这种考查方式,不会发生大的变化.

二.考纲 4.平面解析几何初步 (1)直线方程 ①在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素。 ②能根据两条直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计 算公式。 ③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。 ④掌握正确直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、 两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系。 ⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。 ⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间 的距离。 (2)圆与方程 ①掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程。 ②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两 个圆的方程判断两圆的位置关系。 ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想。 (3)空间直角坐标系 ①了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系表示点的位置。 ②会推导空间两点的距离公式。 15.圆锥曲线与方程 (1)圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题 中的作用。

②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程。知道它的简单几何性质。 ④了解圆锥曲线的简单应用。 ⑤理解数形结合的思想 (2)曲线与方程 了解方程的曲线与与曲线方程的对应关系。

三.重点知识回顾 1.直线与方程 (1)在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. (4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式 及一般式),了解斜截式与一次函数的关系. (5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. (6) 掌握两点间的距离公式、 点到直线的距离公式, 会求两条平行直线间的距离. 2.圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. (2)能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆 的方程判断两圆的位置关系. (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会简单应用空间两点间的距离公式. 4.知识点及简单应用

直线和圆的方程是最简单、 最基本的几何图形, 是中学数学的重要内容之一, 它的本质是用代数的方法来研究解决几何问题,数形结合是其重要特征. 1.直线的倾斜角和斜率的关系 直线的倾斜角是一个角,而直线的斜率是一个实数,平面内的每一条直线都 有倾斜角,但平面内的每一条直线未必都有斜率,因为当 ? = 90 ? 时,斜率已不存 在.因此,直线的倾斜角与其斜率之间不是一一对应关系. 2.直线方程的确定 求直线的方程最基本的方法有待定系数法、数形结合法等. 在求直线方程时,要根据给出的条件采用适当的形式:一般地,已知一点的 坐标,求过这点的直线方程,通常选用点斜式,再由其它条件确定斜率;已知直

线的斜率,常用斜截式,再由其它条件确定在 y 轴上的截距;已知截距或两点选 择截距式及两点式.从结论来看,若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周 长,则选用截距式求解较为简洁.无论选择哪一种形式来求直线的方程都要注意 各自的限制条件,以免遗漏. 3.直线系和二元二次方程表示的直线 具有某种共同性质的所有直线的集合叫直线系.常见直线系有:①平行直线 系:平面上具有相同方向的直线的全体叫平行直线系,可表示为 y = kx+b (b 取任意值,斜率 k 为定值);②共点直线系:平面上通过某定点的所有直线叫做共 点直线系,过定点 P(x 0 ,y 0 )的直线系方程可表示为 y-y 0 = k(x-x 0 )和 x = x 0 (k ? R);③设直线 l1 :A 1 x+B 1 y+C 1 = 0, l 2 :A 2 x+B 2 y+C 2 = 0 是两条相交直线, 则经过它们的交点 P(x 0 ,y 0 )的直线系可表示为 A 1 x+B 1 y+C 1 + ? (A 2 x+B 2 y+ C 2 ) = 0 ( ? 为任意实数),但不包括直线 l 2 ;④二元二次方程表示为两条直线的 条件是能分解成两个二元一次方程, 常用的解题方法是因式分解法和待定系数法. 4.对称问题 ⑴对称点坐标.由中点坐标公式可解决关于点的对称问题.已知点 P(a,b) 可得对称点坐标如下: P 关于 y 轴的对称点 P 1 (-a, b), P 关于 x 轴的对称点 P 2 (a, -b),P 关于原点的对称点 P 3 (-a,-b). ⑵点关于直线对称.直线 l 外一点 P 1 (x 1 ,y 1 )关于直线 l :Ax+By+C = 0 的

y ?y ? x1 ? x2 A( ) ? B( 1 2 ) ? C ? 0, ? 2 2 ? 对称点 P 2 (x 2 ,y 2 )的坐标由方程组 ? 决定.其中, y ? y A 2 1 ? ? (? ) ? ?1( B ? 0). B ? x2 ? x1 ?
点 P(a,b)关于直线 y = x 的对称点为 P 3 (b,a);关于直线 y =-x 的对称点为 P 4 (-b,-a). ⑶直线关于直线对称.直线 l1 :A 1 x+B 1 y+C 1 = 0 关于直线 l :Ax+By+C = 0 的对称的直线 l 2 的方程可由下面两种方法得到:①转化成“点关于点对称” ;②当

l1 与 l 相交时,利用 l1 到 l 的角等于 l 到 l 2 的角求出 k 2 ,再确定 l 2 上一点 P(即 l1 与 l
的交点). 5.简单的线性规划问题 在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax + By + C>0 表示在直线 Ax + By + C = 0 的某一侧的平面区域.简单的线性规划讨论二元一次不等式约束条件下, 求线性目标 ax + by 的最大值或最小值的问题,一些实际问题可以借助这些方法 加以解决. 6.曲线和方程的关系 把曲线看作适合某种条件 P 的点 M 的集合 P = {M | P(M)},在建立坐标系后, 点集 P 中任一元素 M 都有一个有序数对(x,y)和它对应,(x,y)是某个二元方程
f ( x, y) = 0 的解,也就是说,它是解集 Q = {(x,y)| f ( x, y) = 0}中的一个元素,

反过来,对于解集 Q 中任一元素(x,y),都有一点 M 与它对应,且点 M 是点集 P 中的一个元素,P 和 Q 的这种对应关系就是曲线和方程的关系. 7.曲线的交点问题 由曲线方程的定义可知,两条曲线的交点的坐标,应该是这两条曲线的方程 所组成的方程组的实数解.方程组有几组实数解,这两条曲线就有几个交点;若 方程组没有实数解,那么这两条曲线就没有交点,即两条曲线有交点的充要条件 是它们的方程组成的方程组有实数解. 8.圆的切线方程的求法 直线与圆的位置关系有相离、相切、相交三种情况,当直线与圆相切时,求 其切线方程有常见下列几种情况: ⑴圆 x 2 +y 2 = r 2 上一点 P(x 0 ,y 0 )处的切线方程为 l :x 0 x+y 0 y = r 2 .若 P 点在圆外,则直线 l 为过 P 点,且与圆相切的两条切线的切点弦所在的直线; ⑵圆(x-a) 2 +(y-b) 2 = r 2 上一点 P(x 0 ,y 0 )处的切线方程为(x 0 -a)(x- a)+(y 0 -b)(y-b) = r 2 ; ⑶圆 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F = 0 (D 2 +E 2 -4F>0)上一点 P(x 0 ,y 0 )处的切线

方程为 x 0 x+y 0 y+ 9.弦长问题

D E (x 0 +x)+ ( y 0 +y)+F = 0. 2 2

直线与圆相交时直线被圆截得的弦长求法有以下两种方法: ⑴几何法:运用弦心距、半径及半径构成直角三角形计算; ⑵代数法:通过联立直线与圆的方程,消去 y(或 x),得到关于 x (或 y)的一 元二次方程,运用根与系数的关系,可求得弦长公式|AB| = (1 ? k 2 )( xA ? xB ) 2 = (1 ? k 2 ) | x A -x B |. 10.圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系,常见的圆系有以下几种: ⑴同心圆系方程为(x-a) 2 +(y-b) 2 = r 2 ,其中 a、b 是定值,r 是参变量; ⑵半径相等的圆系方程为(x-a) 2 +(y-b) 2 = r 2 ,其中 a、b 是参变量,r 是定值; ⑶过圆 C:x 2 +y 2 +Dx+Ey+F = 0 与直线 l :Ax+By+C = 0 交点的圆系方 程为 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F+ ? ( Ax+By+C) = 0 ( ? ? R). ⑷过圆 C 1 :x 2 +y 2 +D 1 x+E 1 y+F 1 = 0 和 C 2 :x 2 +y 2 +D 2 x+E 2 y+F 2 = 0 的交点的圆系方程为 x 2 +y 2 +D 1 x+E 1 y+F 1 + ? (x 2 +y 2 +D 2 x+E 2 y+F 2 ) = 0,但此圆系不含圆 C 2 :x 2 +y 2 +D 2 x+E 2 y+F 2 = 0.若 ? = 1,则方程为(D 1 - D 2 )x+(E 1 -E 2 )+F 1 -F 2 = 0 表示过两圆交点的直线方程. 11、椭圆: (1)椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹。 其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: 2a ?| F1 F2 | 表示椭圆; 2a ?| F1 F2 | 表示线段 F1 F2 ; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 中心在原点,焦点在 y 轴上

标准方 程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
B2 y F2 O F1 B1 A2x

P

y

B2 O F2 B1 A2





A1

x

F1

P A1





A1 ( ? a,0), A2 ( a,0) B1 (0,?b), B2 (0, b)

A1 ( ?b,0), A2 (b,0) B1 (0,? a ), B2 (0, a )

对称轴 焦 焦 点 距
e?

x 轴, y 轴;短轴为 2b ,长轴为 2 a
F1 (?c,0), F2 (c,0) F1 (0,?c), F2 (0, c)
c2 ? a2 ? b2

| F1F2 |? 2c(c ? 0)

离心率 通 径

c (0 ? e ? 1) (离心率越大,椭圆越扁) a

2b 2 (过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段) a
a b

2 2 (3) .常用结论: (1)椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线

交椭圆于 A, B 两点,则 ?ABF2 的周长=
2 2 (2)设椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对

a

b

称 轴 的 直 线 交 椭 圆 于 P, Q 两 点 , 则 P, Q 的 坐 标 分 别 是
| PQ |?

12、双曲线: (1)双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小 于 | F1 F2 | )的点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: | PF1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF1 |? 2a ( 2a ?| F1 F2 | )表示双曲线的一支。

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:

中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方 程
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

中心在原点,焦点在 y 轴上
y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2
P y F2 B2 O B1 F1 x

P

y x O A2 F2





F1 A1





A1 (?a,0), A2 (a,0)

B1 (0,?a), B2 (0, a)

对称轴 焦 焦 点 距

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2 a
F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

F1 (0,?c), F2 (0, c)

c2 ? a2 ? b2

离心率 渐近线 通 径
2

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a

y??

b x a
2b 2 a

y??

a x b

(3)双曲线的渐近线: ①求双曲线 x 得到 x
a ?
a2 ? y2 ? 1 的渐近线,可令其右边的 b2

1 为 0,即得 x 2
a

2

?

y2 ? 0 ,因式分解 b2

y ?0。 b

2 2 x2 y2 ②与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 x 2 ? y 2 ? ? ; a b a b

(4)等轴双曲线为 x 2 ? y 2 ? t 2 ,其离心率为 2 (5)常用结论: (1)双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直
a b
2 2

线交双曲线的同一支于 A, B 两点,则 ?ABF2 的周长= (2)设双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直
a b
2 2

于 对 称 轴 的 直 线 交 双 曲 线 于 P, Q 两 点 , 则 P, Q 的 坐 标 分 别 是
| PQ |?

13、抛物线: (1) 抛物线的定义: 平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨 迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: p ? 0

焦点在 x 轴上, 开口向右 标准方 程
l
y 2 ? 2 px

焦点在 x 轴上, 开口向左
y 2 ? ?2 px

焦点在 y 轴上, 开口向上
x 2 ? 2 py

焦点在 y 轴上, 开口向下
x 2 ? ?2 py

y P x O F

P F

y

l
x P

y F O x

l
P





O

y O F

x

l





O(0,0)

对称轴 焦 点
p F ( ,0 ) 2 p 2

x轴
F (? p ,0) 2
p F (0, ) 2

y轴
p F (0,? ) 2

离心率 准 通 线 径
| PF |?| x 0 | ? p 2
x??
x? p 2

e ?1
y?? p 2
y? p 2

2p
| PF |?| y 0 | ? p 2

焦半径 焦点弦 焦准距

p
? | A|

(4 弦长公式: | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?

其中, A, ? 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元 二次方程的判别式和 x 2 的系数 求弦长步骤: (1)求出或设出直线与圆锥曲线方程; (2)联立两方程,消去 y,得关于 x 的一元二次方程 Ax2 ? Bx ? C ? 0, 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,由韦达定理

求出 x1 ? x 2 ? ?

B C , x1 x 2 ? ; (3)代入弦长公式计算。 A A

法 (二) 若是联立两方程, 消去 x,得关于 y 的一元二次方程 Ay 2 ? By ? C ? 0, 则 相 应 的 弦 长 公 式 是 :

1 1 1 ? | AB |? 1 ? ( ) 2 | y1 ? y 2 |? 1 ? ( ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 1 ? ( ) 2 ? k k k | A|
注意(1)上面用到了关系式 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

? 和 | A|

y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

? | A|

注意 (2) 求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点 到直线的距离) , 但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形, 且线段的长度 为定值,求面积一般用分割法 (5)、弦的中点坐标的求法 法(一) : (1)求出或设出直线与圆锥曲线方程; (2)联立两方程,消去 y, 得关于 x 的一元二次方程 Ax2 ? Bx ? C ? 0, 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,由韦达定理求 出 x1 ? x 2 ? ?
x ? x2 B ; (3) 设中点 M ( x0 , y0 ) , 由中点坐标公式得 x 0 ? 1 ; 再把 x ? x0 A 2

代入直线方程求出 y ? y0 。 法(二) :用点差法,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,中点 M ( x0 , y0 ) ,由点在曲线 上,线段的中点坐标公式,过 A、B 两点斜率公式,列出 5 个方程,通过相减,代 入等变形,求出 x0 , y 0 。 (6)、求离心率的常用方法:法一,分别求出 a,c,再代入公式 法二、建立 a,b,c 满足的关系,消去 b,再化为关于 e 的方程,最后解方程 求 e (求 e 时,要注意椭圆离心率取值范围是 0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围 是 e﹥1) 四.考点解读

考点一 直线的相关问题
例 [2011· 浙江卷 ] 若直线 x - 2y + 5= 0 与直线 2x + my- 6 = 0 互相垂直,则实数 m= ________. 【答案】1 【解析】 ∵直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0,∴1×2-2×m=0,即 m=1. 【解题技巧点睛】 在判断两条直线平行或垂直时,不要忘记考虑两条直线中有一条直线无斜率 或两条直线都无斜率的情况.在不重合的直线 l1 与 l2 的斜率都存在的情况下才可以应用条件 l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1 解决两直线的平行与垂直问题.在判定两直线是否垂直的问题

上,除上述方法外,还可以用两直线 l1 和 l2 的方向向量 v1=(a1,b1)和 v2=(a2,b2)来判定, 即 l1⊥l2?a1a2+b1b2=0.

考点二 直线与圆的位置关系
例 [2011· 湖南卷] 已知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________; (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为________. 1 【答案】(1)5 (2) 6 |-25| 【解析】 (1)圆心到直线的距离为:d= 2 =5; 3 +42

(2)当圆 C 上的点到直线 l 的距离是 2 时有两个点为点 B 与点 D,设过这两点的直线方程 为 4x+3y+c=0,同时可得到的圆心到直线 4x+3y+c=0 的距离为 OC=3, 又圆的半径为 r=2 3,可得∠BOD=60° ,由图 1-2 可知点 A 在弧 BD 上移动,弧长 l BD 1 1 c l BD = ×c= ,圆周长 c,故 P(A)= = . 6 6 c 6

考点三 椭圆方程与几何性质
例 [2011· 课标全国卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 2 轴上,离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程 2 为________________. x2 y2 【答案】 + =1 16 8 x2 y2 2 2 b2 【解析】 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0).因为离心率为 ,所以 = 1- 2, a b 2 2 a b2 1 解得 2= ,即 a2=2b2. a 2

又△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1| +|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1| + x2 y2 |BF2|)=2a+2a=4a, ,所以 4a=16,a=4,所以 b=2 2,所以椭圆方程为 + =1. 16 8 【解题技巧点睛】离心率是圆锥曲线重要的几何性质,在圆锥曲线的基础类试题中占有较大 的比重,是高考考查圆锥曲线的几何性质中的重要题目类型.关于椭圆、双曲线的离心率问

题,主要有两类试题.一类是求解离心率的值,一类是求解离心率的取值范围.基本的解题 思路是建立椭圆和双曲线中 a,b,c 的关系式,求值试题就是建立关于 a,b,c 的等式,求 取值范围问题就是建立关于 a,b,c 的不等式.

考点四 双曲线方程与几何性质
x2 y2 [2011· 山东卷] 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5 a b =0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 5 4 4 5 3 6 6 3 【答案】 A 【解析】 圆方程化为标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆心 C(3,0),r=2,所以双曲线焦点 |± 3b | F(3,0),即 c=3,渐近线为 ay± bx=0,由圆心到渐近线的距离为 2 得 2 2=2,又 a2+b2 a +b x2 y2 =9,所以|b|=2,即 b2=4,a2=c2-b2=9-4=5,所以所求双曲线方程为 - =1. 5 4 【解题技巧点睛】求圆锥曲线方程的基本方法之一就是待定系数法,就是根据已知条件得到 圆锥曲线方程中系数的方程或者方程组,通过解方程或者方程组求得系数值. 例

考点五 抛物线方程与几何性质
例 [2011· 江西卷] 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1, y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求 λ 的值. p x- ?,与 y2=2px 联立,从而有 4x2-5px+p2=0, 【解答】 (1)直线 AB 的方程是 y=2 2? ? 2? 5p 所以:x1+x2= . 4 由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0,从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2 =4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2). → 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(4λ+1,4 2λ-2 2), 2 2 又 y2 3=8x3,即[2 2(2λ-1)] =8(4λ+1),即(2λ-1) =4λ+1, 解得 λ=0 或 λ=2.

考点六 直线与曲线的位置关系
x2 y2 3 [2011· 陕西卷] 设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . a b 5 (1)求 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5 16 【解答】 (1)将(0,4)代入椭圆 C 的方程得 2 =1,∴b=4. b 2 2 c 3 a -b 9 16 9 又 e= = 得 2 = ,即 1- 2 = ,∴a=5, a 5 a 25 a 25 x2 y2 ∴C 的方程为 + =1. 25 16 例

4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3), 5 5 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 4 x2 ?x-3? 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 + =1, 5 25 25 即 x2-3x-8=0. 3- 41 3+ 41 解得 x1= ,x2= , 2 2 x1+x2 3 ∴AB 的中点坐标 x = = , 2 2 y1+y2 2 6 y= = (x1+x2-6)=- . 2 5 5 3 6 ? 即中点为? ?2,-5?. 【解题技巧点睛】当直线与曲线相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计 算弦长;涉及到求平行弦中点的轨迹、 求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直 线方程问题,常用“差分法”设而不求,将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联 系起来,相互转化.其中,判别式大于零是检验所求参数的值是否有意义的依据.通过相切构造 方程可以求值,通过相交、 相离还可构造不等式来求参数的取值范围或检验某一个值是否有意 义.

考点七 轨迹问题
例 [2011· 陕西卷]

如图 1-8,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点, 4 且|MD|= |PD|. 5 (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5 【解答】 (1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP), x =x, ? ?P 由已知得? 5 ? ?yP=4y, 5 ?2 ∵P 在圆上,∴x2+? ?4y? =25, x2 y2 即 C 的方程为 + =1. 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3), 5 5 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 4 x2 ?x-3? 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 + =1,即 x2-3x-8=0. 5 25 25 3- 41 3+ 41 ∴x1= ,x2= . 2 2 ∴线段 AB 的长度为

41 41 ×41= . 25 5 例 [2011· 湖南卷] 已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A,B,l2 与轨迹 → → C 相交于点 D,E,求AD· EB的最小值. 【解答】 设动点 P 的坐标为(x,y),由题意有 ?x-1?2+y2-|x|=1. 化简得 y2=2x+2|x|. 当 x≥0 时,y2=4x;当 x<0 时,y=0. 所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x (x≥0)和 y=0(x<0). (2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k, 则 l1 的方程为 y=k(x-1). ?y=k?x-1?, ? 由? 2 得 ?y =4x ? k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实根,于是 x1+x2=2+ 2,x1x2=1. k 1 因为 l1⊥l2,所以 l2 的斜率为- . k 设 D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得 x3+x4=2+4k2,x3x4=1. → → → → → → 故AD· EB=(AF+FD)· (EF+FB) → → → → → → → → =AF· EF+AF· FB+FD· EF+FD· FB → → → → =|AF|· |FB|+|FD|· |EF| =(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1) =x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1 4? 2 =1+? ?2+k2?+1+1+(2+4k )+1 1 1 k2+ 2?≥8+4×2 k2·2=16. =8+4? k? ? k 1 → → 当且仅当 k2= 2,即 k=± 1 时,AD· EB取最小值 16. k 【解题技巧点睛】 求曲线轨迹方程是高考的常考题型.考查轨迹方程的求法以及利用曲线的轨 迹方程研究曲线几何性质,一般用直接法、定义法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程.轨迹 问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合,着重考查分析问题、解决问题 的能力,对逻辑思维能力、运算能力有较高的要求. 如果题目中有明显的等量关系,或者能够 利用平面几何推出等量关系,可用直接法;如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义, 则可用定义法;如果轨迹的动点 P 依赖另一动点 Q,而 Q 又在某已知曲线上,则可通过列方程组 用代入法求出轨迹方程;另外当动点的关系不易找到,而动点又依赖于某个参数,则可利用参 数法求轨迹方程,常用的参数有变角、变斜率等. |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2=

?1+16??x1-x2?2= ? 25?

考点八 圆锥曲线的综合问题
例 [2011· 山东卷] 设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为 圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( ) A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 【答案】C 【解析】 根据 x2=8y,所以 F(0,2),准线 y=-2,所以 F 到准线的距离为 4,当以 F 为圆心、 以|FM|为半径的圆与准线相切时,|MF|=4,即 M 到准线的距离为 4,此时 y0=2,所以显然 当以 F 为圆心,以|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交时,y0∈(2,+∞).



【2 011 ? 新课标全国】 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0, ?1) ,B 点在直线 y ? ?3

上, M 点满足 MB // OA , MA · AB ? MB · BA , M 点的轨迹为曲线 C . (Ⅰ) 求 C 的方程; (Ⅱ) P 为 C 上的动点, l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值.

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【解题技巧点睛】 1.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题 的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响 的一个点、一个值,就是要求的定点、定值.化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表 示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量. 2.解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函 数和不等式求最值、范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系.建立 目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量, 其原则是这个变量能够表达要解决的问题, 这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理.


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