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四川省成都市第七中学2015届高三考试数学(理)试题 Word版含答案


成都七中高 2015 届“高考热身考试”数学理科试题 第Ⅰ卷(非选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.若集合 M ? ? x y ? lg

? ?

2? x? ? , N ? ? x x ? 1? ,则 M ? CR N ? ( ) x ?

A.

(0,2)

B.

(0,4)

C.

?1,2?

D.

(0,??)

答案:C 2.已知复数 z 满足 z (1 ? i)3 ? 1 ? i ,则复数 z 对应的点在( )上

A. 直线 y ? ?
答案:C

1 x 2

B. 直线 y ?

1 x 2

C.

直线 x ? ?

1 2

D.

直线 y ? ?

1 2

3.已知命题 p : ?x ? R ,使 sin x ? ① 题 " p ? q" 是真命题

5 2 ;命题 q : ?x ? R ,都有 x ? x ? 1 ? 0 .给出下列结论: 2

②命题 " p ? ?q" 是假命题

③命题 " ?p ? q" 是真命题 ④命题 " ?p ? ?q" 是假命题 其中正确的是( )

A. ②④
答案:B

B. ②③

C . ③④

D. ①②③

4.已知实数 x ? ?1,10? 执行如图所示的流程图,则输出的 x 不小于 63 的概率为(

)

A.

1 3

B.

4 9

C.

2 5

D.

3 10

答案:A 5.函数 y ? sin( 2 x ?

?
6

) 的图像与函数 y ? cos( x ?

?
3

) 的图像(



A. 有相同的对称轴但无相同的对称中心 B. 有相同的对称中心但无相同的对称轴 C . 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 D. 既无相同的对称中心也无相同的对称轴
答案:A

6. 已知函数 f ( x ) 的图像如图所示,则 f ( x ) 的解析式可能是(



y

1 ? x3 2x ?1 1 C. f ( x) ? ? x3 2x ?1 A. f ( x ) ?
答案:A

B. f ( x ) ?

1 ? x3 2x ?1 1 D. f ( x ) ? ? ? x3 2x ?1

O

x

7.已知点 ? ? 0, 2 ? , 抛物线 C: y 2 ? ax (a ? 0)( a ? 0 ) 的焦点为 F , 射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M , 与其准线相交于点 N ,若 则 a 的值等于( )

A.

1 4

B.

1 2

C.

1

D.

4

答案:D 解析: F ( ,0),? MF ? MK

a 4

? KM : MN ? 1 : 5 ,则 KN : KM ? 2 : 1

?

2 ? 2 ?a ? 4 a 4

8.已知 M 是 ?ABC 内一点,且 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30 ,若 ?MBC 、 ?MAB 、 ?MAC 的面积分 别为

1 4 1 、 x 、 y ,则 ? 的最小值是( 2 x y



A.

9

B.

16

C.

18

D.

20

答案:C 9.

A.

? 5? ?0, ? ? 2 ?

B.

? 5 7? , ? ? ? 2 2 ?

C.

? 5 ? , 2? ? ? 2 ?

D.

? 7 ? , 2? ? ? 2 ?

答案:D

10. 已知实数 a, b, c, d 满足 值为( )

a ? 2e a 1 ? c ? ? 1 其中 e 是自然对数的底数 , 则 (a ? c)2 ? (b ? d )2 的最小 b d ?1

A.

8

B.

10

C.

12

D.

18

答案:A 解析: ∵实数 a, b, c, d 满足

a ? 2e a 1 ? c ? ? 1, ?b ? a ? 2ea , d ? 2 ? c , ? 点 ( a, b) 在曲线 y ? x ? 2e x b d ?1

上,点 (c, d ) 在曲线 y ? 2 ? x 上, (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 的几何意义就是曲线 y ? x ? 2e x 到曲线 y ? 2 ? x 上 点的距离最小值的平方.考查曲线 y ? x ? 2e x 上和直线 y ? 2 ? x 平行的切线,? y? ? 1 ? 2e x ,求出

y ? x ? 2e x 上和直线 y ? 2 ? x 平行的切线方程,? y? ? 1 ? 2e x ? ?1 ,解得 x ? 0,?切点为 (0,?2) 该切点
到直线 y ? 2 ? x 的距离 d ?

0?2?2 1?1

? 2 2 就是所要求的两曲线间的最小距离,

2 故 (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 的最小值为 d ? 8 .故选 A.

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形, 如图所示, 则该三棱锥的外接球的表 面积为 答案: 29? 解析:由三视图知,三棱锥有相交于一点的三条棱互相垂直,将此三棱锥补成长方体,它们有共同的外接 球, R ?

22 ? 32 ? 32 29 ? 2 2
5

? S ? 4? R 2 ? 29?

2 ? ? 12.在 ? x ? ? 的二 项展开式中, x 2 的系数为____________. x? ?
答案: 40 13.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜 的产量、成本和售价如下表: 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位: 亩)分别为________. 答案: 30,20 解 析 : 设 黄 瓜 和 韭 菜 的 种 植 面 积 分 别 为 x, y 亩 , 总 利 润 z 万 元 , 则 目 标 函 数

? x ? y ? 50 z ? (0.55? 4 x ?1.2 x) ? (0.3 ? 6 y ? 0.9 y) ? x ? 0.9 y 线性约束条件为 ? ?1.2 x ? 0.9 y ? 54 ? x ? 0, y ? 0 ?

? x ? y ? 50 ? 即 ?4 x ? 3 y ? 180 , 做 出 可 行 域 , 求 得 A(0,50), B(30,20), C (0,45) 平 移 直 线 z ? x ? 0.9 y, 可 知 直 线 ? x ? 0, y ? 0 ?
z ? x ? 0.9 y, 经过点 B(30,20), 即 x ? 30, y ? 20 时, z 取得最大值.
14.将 1 ~ 9 这 9 个数平均分成 3 组,则每组的 3 个数都成等差数列的分组方法的种数是 答案: 5 解析:设 3 组中每组正中间的数分别 a , b, c 且 a ? b ? c ,则 3a ? 3b ? 3c ? 45, a ? b ? c ? 15 , 而 2 ? a ? 4 ,故 ( a, b, c ) 所有可能取的值为 (2,5,8), (2,6,7), (3,4,8), (3,5,7), (4,5,6) 此时相对应的分组情况 是 (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9);?1,2,3?, (4,6,8), (5,7,9); (1,3,5), (2,4,6), (7,8,9); (2,3,4), (1,5,9), (6,7,8);

(1,4,7), (2,5,8), (3,6,9) 故分组方法有 5 种.
15.如果 f ( x) 的定义域为 R ,对于定义域内的任意 x ,存在实数 a 使得 f ( x ? a) ? f (? x) 成立,则称此函 数具有“ P ( a ) 性质”. 给出下列命题: ①函数 y

? sin x 具有“ P(a ) 性质” ;

②若奇函数 y ? f ( x) 具有“ P (2) 性质” ,且 f (1) ? 1 ,则 f (2015) ? 1 ;

, 0) 成中心对称, ③若函数 y ? f ( x) 具有 “ P (4) 性质” , 图象关于点 (1 且在 (?1, 0) 上单调递减, 则 y ? f ( x)
在 ( ?2, ?1) 上单调递减,在 (1, 2) 上单调递增; ④若不恒为零的函数 y ? f ( x) 同时具有“ P (0) 性质”和 “ P(3) 性质” ,且函数 y ? g ( x) 对 ?x1 , x2 ? R , 都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 成立,则函数 y ? g ( x) 是周期函数. 其中正确的是 答案:①③④ 三、解答题,本大题共6小题,共75分. 16.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? cos( 2 x ? (写出所有正确命题的编号).

2? ) ? 2 cos 2 x, x ? R . 3

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调减区间;

(Ⅱ)将函数 f ( x ) 的图象向右平移 上的最小值. 解析: (Ⅰ) f ( x) ? cos? 2 x ?

? ? ?? 个单位长度后得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 ?0, ? 3 ? 2?

? ?

2? ? 1 3 2 sin 2 x ? 1 ? cos2 x ? ? 2 cos x ? ? cos2 x ? 3 ? 2 2

1 3 ?? ? ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos? 2 x ? ? ? 1 2 2 3? ?

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? .由 2k? ? 2 x ? 所以单调减区间是 ?k? ?

?
3

? ( 2k ? 1)? ,可解得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

? ?

?

?? , k? ? ?, k ? Z 6 3?
?
) ? 1 ? cos( 2 x ? ) ? 1 3 3 3 1 ? 所以 ? ? cos( 2 x ? ) ? 1 , 2 3 )?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 g ( x) ? cos( 2( x ? 所以 ?

?

?

因为 0 ? x ?

?
2

,

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3

因此

1 ? ?1 ? ? cos( 2 x ? ) ? 1 ? 2 ,即 f ( x) 的取值范围为 ? ,2? . 2 3 ?2 ?

17.(本小题满分 12 分)甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每 人一道必答题,答对则为本队得 1分,答错不答都得 0 分,已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 乙队每人答对的概率都是

3 2 1 , , , 4 3 2

2 .设每人回答正确与否相互之间没有影响,用 ? 表示甲队总得分. 3

(Ⅰ)求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E (? ) ; (Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率. (1) ? 的可能取值为 0,1,2,3

P(? ? 0) ?

1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ; P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 24 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 1 1 2 1 3 1 1 11 3 2 1 1 P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; P(? ? 3) ? ? ? ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24 4 3 2 4 ? 的分布列为

?

0

1

2

3

11 1 1 1 11 1 23 E (? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 24 4 24 4 24 4 12 (2)设 “甲队和乙队得分之和为 4 ”为事件 A ,“甲队比乙队得分高”为事件 B 则 3 2 2 1 11 1 1 1 3? 2 ? 2? 2 ? 1? 2 ? ? 1 ? P( A) ? ? C3 ? ? ? ? C3 ? ? ? ? ? C3 ? ? ? ? ? ? 4 ? 3 ? 24 ?3? 3 4 ? 3? ? 3? 3

P

1 24

1 4

1 P ( AB ) 1 1 1 1? 2 ? ? 1 ? ? 18 ? P( AB) ? ? C3 ? ? ? ? ? ? ? P( B | A) ? 1 6 P( A) 4 ? 3 ? ? 3 ? 18 3
2

18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 四 边 形 ABCD 是 直 角 梯 形 ,

AB ? AD, AB // CD, PC ? 底面ABCD, AB ? 2 AD ? 2CD ? 4, PC ? 2a, E 是 PB 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 EAC ⊥平面 PBC ;

(Ⅱ)若二面角 P ? AC ? E 的余弦值为

6 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 3

解析: (Ⅰ)? PC ? 平面ABCD, AC ? 平面ABCD,? AC ? PC

? AB ? 4, AD ? CD ? 2,? AC ? BC ? 2.

? AC2 ? BC2 ? AB2 ,? AC ? BC ,又 BC ? PC ? C,? AC ? 平面PBC

? AC ? 平面EAC ?平面EAC ? 平面PBC .
(Ⅱ)如图,以点 C 为原点, DA, CD, CP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方 向,建立空间直角坐标系, 则 C (0,0,0), A(2,2,0), B(2,?2,0) 。设 P(0,0,2a) (a ? 0) ,则 E (1,?1, a)

CA ? (2,2,0),CP ? (0,0,2a),CE ? (1,?1, a)
m ? CA ? m ? CP ? 0, m 为面 PAC 法向量.



m ? (1,?1,0)





设 n ? ( x, y, z) 为面 EAC 的法向量,则 n ? CA ? n ? CE ? 0 , 即?

? x? y ?0 ,取 x ? a, y ? ?a, z ? ?2 ,则 n ? (a,?a,?2) ? x ? y ? az ? 0
m?n m?n ? a a ?2
2

依题意 cos m, n ?

?

6 ,则 a ? 2 .于是 n ? (2,?2,?2) , PA ? (2,2,?4) . 3 PA ? n PA ? n

设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos PA, n ?

?

2 3

即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为

2 . 3
3 2 5 n ? n ,数列 ?bn ?的通项公式 bn ? 5n ? 2 . 2 2

19.(本小题满分 12 分)已知数列 ?a n ?的前 n 和 S n ? (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)设 cn ? (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ?

n 1 2 ,求证: ? ci ? ; anbn 25 i ?1

3 2 5 ?1 ? ?1 ? 4 2 2 3 2 5 3 5 2 当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? n ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 3n ? 1 2 2 2 2

∵当 n ? 1 时, 3 ?1 ? 1 ? 4 ? a1 ∴ an ? 3n ? 1

(2)∵ cn ?

1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? 2 1 5 6 3 (3n ? 1)(5n ? 2) 5 (3n ? 1)(3n ? ) 5 (3n ? 1) 5 (3n ? 1) 2 ? ( ) 2 5 3n ? 3n ? 2 2 5 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 ? ( ? ? ? ?? ? ? )? ( ? )? ? ? 5 11 11 17 1 5 5 5 5 5 3n ? 5 5 25 3n ? 3n ? 2 2 2 2 2 2 2
x2 y2 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点, O 为坐标原点,点 P(?1, )在 2 a b 2



?c
i ?1

n

i

20.(本小题满分 13 分)已知 F1 , F2 是椭圆 椭圆上,线段 PF2 与 y 轴的交点 M 满足 (1)求椭圆的标准方程;

(2)⊙ O 是以 F1F2 为直径的圆,一直线 l : y ? kx ? m 与⊙ O 相切,并与椭圆交于不同的两点 A, B .当 ,且满足

2 3 ? ? ? 时,求 ?AOB 面积 S 的取值范围. 3 4

?点M是线段PF2的中点 . 解:( 1 ) ? PM ? F2 M ? 0 ?OM是?PF OM ? F1F2 ,? PF 1 F2的中位线,又 1 ? PF 2. ? c ?1 ?1 1 x2 ?? 2 ? 2 ? 1 解得a 2 ? 2, b 2 ? 1, c 2 ? 1 ∴ 椭圆的标准方程为 ? y 2 ? 1 2 ? a 2 2b 2 2 a ? b ? c ? m ? 1,即m2 ? k 2 ? 1 (Ⅱ)∵圆 O 与直线 l 相切 ? 2 k ?1 2 ?x ? ? y2 ? 1 消去y得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4km x? 2m 2 ? 2 ? 0 由? 2 ? ? y ? kx ? m
∵ 直 线
2 l 与 椭 圆 交 于 两 个 不 同 点 , ?? ? 0 ? k ? 0, 设 A( x1, y2 ), B( x2 , y2 ) ,
2 2



4km 2m ? 2 m ? 2k 2 2 2 , x ? x ? , y y ? ( kx ? m )( kx ? m ) ? k x x ? km ( x ? x ) ? m ? 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 1? k 2 2 3 2 1? k 2 3 解得: ? k2 ?1 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 1 ? 2k 3 4 3 1 ? 2k 4 x1 ? x2 ? ?

1 1 1 4km 2 2m2 ? 2 S ? S?AOB ? ? AB ?1 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ? (? ) ? 4 ? 2 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?

2(k 4 ? k 2 ) 4(k 4 ? k 2 ) ? 1

设u ? k 4 ? k 2

3 2u ?3 ? 则 ? u ? 2, S ? , u ? ? , 2? 4 4u ? 1 ?4 ?

3 6 2 6 2 ?3 ? ? S关于u在? ,2?单调递增, S( ) ? , S (2) ? ,? ?S? 4 4 3 4 3 ?4 ?
?a ln( x ? 1), x ? 0 ? 21.(本小题满分 14 分)函数 f ( x) ? ? 1 3 , g ( x) ? e x ? 1 . x ? ax, x ? 0 ? ?3

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间和极大值; (Ⅱ)当 a ? R 时,讨论方程 f ( x) ? g( x) 解得个数; (Ⅲ)求证:

1095 10 3000 ? e? (参考数据: ln1.1 ? 0.0953 ). 1000 2699
a ? 0 , f ( x) 在 [0,? ? ) 递增 x ?1

解:(Ⅰ)当 x≥0 时, a ? 0 , f ?( x) ?
2 当 x ? 0 时, f ?( x) ? x ? a ,

? a ),f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增; x ? (? a , 0),f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减, x ? (??,
故 f ( x) 在 (??, (不必说明连续性) ? a ) , [0,? ? ) 递增, (? a , 0) 递减, 2 故 [ f ( x)]极大值 ? f (? a ) ? a a . 3 (Ⅱ)即讨论 h( x) ? g ( x) ? f ( x) 的零点的个数, h(0) ? 0 ,故必有一个零点为 x ? 0 . a ①当 x ? 0 时, h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? e x ? 1 ? a ln( x ? 1) , h?( x) ? e x ? x ?1 a x (ⅰ)若 a ? 1 ,则 ? 1 ? e , h?( x) ? 0 , h ( x ) 在 (0, ??) 递增, h( x) ? h(0) ? 0 , x ?1 故此时 h ( x ) 在 (0, ??) 无零点;
a 在 (0, ??) 递增, h?( x) ? h?(0) ? 1 ? a , 1 ? a ? 0 x ?1 ? ?) 使 h?( x0 ) ? 0 且 x ? ?? 时, h?( x) ? ?? ,则 ?x0 ? (0,

(ⅱ)若 a ? 1 , h?( x) ? e x ?

? ?) 递增, 进而 h ( x ) 在 (0,x0 ) 递减,在 ( x0 ,
h ? x ? 在 ( x0 , ??) 上有一个零点,在 (0,x0 ] 无零点,故 h ( x ) 在 (0, ? ?) 有一个零点
1 3 x ? ax h?( x) ? e x ? x 2 ? a , 3 设 ? ( x) ? h?( x) , ? ?( x) ? e x ? 2 x ? 0 对 x ? 0 恒成立,

h( x0 ) ? h(0) ? 0 ,由指数、对数函数的增长率知, x ? ?? 时 h( x) ? ?? ,

②当 x ? 0 时, h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? e x ? 1 ?

0) 递增, h?( x) ? h?(0) ? 1 ? a ,且 x ? ?? 时, h?( x) ? ?? ; 故 h?( x) ? e x ? x 2 ? a 在 (??, 0) 递减,所以 h( x) ? h(0) ? 0 , (ⅰ)若 1? a ≤0 ,即 a ≤?1 ,则 h?( x) ? h?(0) ? 1 ? a ≤ 0 ,故 h ( x ) 在 (??, h ( x ) 在 ( ??, 0) 无零点;

0) 使 h?( x0 ) ? 0 , (ⅱ)若 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1,则 ?x0 ? (??,
1 0) 递增, h( x0 ) ? h(0) ? 0 且 x ? ?? 时, h( x) ? (ex ? 1) ? x( x2 ? 3a) ? ?? , 进而 h ( x ) 在 (??,x0 ) 递减,在 ( x0 , 3 0) 无零点,故 h ( x ) 在 (??, 0) 有一个零点 h ( x ) 在 (??, x0 ) 上有一个零点,在 [ x0 ,

综合①②,当 a ≤?1 时有一个公共点;当 ?1 ? a ≤1 时有两个公共点;当 a ? 1时有三个公共点 (Ⅲ)由(Ⅱ)知, a ? 1时, g ( x) ? f ( x) 对 x ? 0 恒成立,即 e x ? 1 ? ln( x ? 1) 令x?
1 1095 1 ,则 e 10 ? 1 ? ln1.1 ? 1.0953 ? 1000 10

由(Ⅱ)知,当 a ? ?1时, g ( x) ? f ( x) 对 x ? 0 恒成立,即 e x ? 令x??
? 1 ,则 e 10 10 1

1 3 x ? x ?1 3 1 1 1 2699 1095 10 3000 ? ( ? )3 ? ?1 ? ,故有 ? e? 3 10 10 3000 1000 2699


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