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湖北省荆州中学2015-2016学年高二数学5月月考试题 文


湖北省荆州中学 2016 年 5 月月考高二数学(文)试题
(考试时间:120 分钟
2

总分:150 分)

n(ad ? bc) 2 参考公式:随机变量 K ? (其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
临界值表
P( K 2 ? k )

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 0.706

0.05 3. 841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求。 ) 1.复数

2 ? 3i ( i 为虚数单位)的虚部是( i
B.2
2



A. ? 2

C. ? 3

D. 3 )

2.关于 x 的不等式 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立的一个必要不充分条件是( A. 0 ? a ? 4 B. 0 ? a ? 4 3.下列推理是归纳推理的是( ) C. 0 ? a ? 4

D. a ? 4 或 a ? 0

A.由 a1 =1 ,an ? 3n ? 1 ,求出 s1 , s2 , s3 ,猜出数列 {an } 的前 n 项和的表达式 B.由于 f ( x) ? x sin x 满足 f (? x) ? f ( x) 对 ?x ? R 都成立,推断 f ( x) ? x sin x 为偶函数

x2 y2 ? ? 1 的面积 S ? ? ab a2 b2 D.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质
C.由圆 x2 ? y 2 ? r 2 的面积 S ? ? r 2 ,推断椭圆 4.已知命题 p : ?x ? R, x ? 真命题的是( A. p ? q ) B. p ? ? q C. ? p ? ? q D. ? p ? q

1 ? ? 2 ;命题 q : ?x ? [0, ] ,使 sin x ? cos x ? 2 ,则下列命题中 x 2

5.若如图所示的程序框图输出的 S 是 126 ,则条件①可为( ) n ? 5 ? n ? 8? n ? 6 ? n ? 7 ? A. B. C. D.

6. 先 后 抛 掷 两 枚 均 匀 的 正 方 体 骰 子 ( 它 们 的 六 个 面 分 别 标 有 点 数
1

1、、 2 3、、 4 5、 6 )骰子朝上的面的点数分别为 x、y ,则 log2 x y ? 1的概率为(
5 1 C. 36 12 2 2 2 2 7.要证: a ? b ? 1 ? a b ? 0 ,只需证明( )
A. B. A. 2ab ? 1 ? a b ? 0
2 2



1 6

D.

1 2

a 4 ? b4 ?0 B. a ? b ? 1 ? 2
2 2

( a ? b) 2 ? 1 ? a 2b 2 ? 0 D. (a2 ?1)(b2 ?1) ? 0 2 8.椭圆的四个顶点 A, B, C , D 构成四边形为菱形,若菱形 ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆离心率
C. 为( )

A.

3 5 2

B.

3? 5 8

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 4


9.已知曲线 f ( x) ? e x ? A. ? 1
2

1 与直线 y ? kx 有且仅有一个公共点,则实数 k 的最大值是( ex B. 0 C. 1 D. 2

2 10. 若不等式 ? x ? a? ? ( x ? ln a ) ? m对任意 x ? R, a?? 0, ?? ? 恒成立,则实数 m 的取值范围是



) A. ? ??,

? ?

1? ? 2?

B. ? ??,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

C.

? ??, 2 ?

D.

? ??,2?

11. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,F1F2 ? 10 , a 2 b2

P 是 y 轴正半轴上一点, PF1 交椭圆于点 A ,若 AF2 ? PF1 ,且 ?APF2 的内切
圆半径为 ,则椭圆的离心率是( )

A.

5 4

B.

5 3

C.

5 10

D.

15 4

12.定义在 R 上的函数 f ( x ) ,若对任意 x1 ? x2 ,都有

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ,则称

f ( x) 为“ H 函数” ,给出下列函数:① y ? ? x3 ? x ? 1 ;② y ? 3x ? 2(sin x ? cos x) ;③ y ? e x ? x ;
④ f ( x ) ? ln x ? A.1

1 ,其中是“ H 函数”的个数为( x3
B.2 C.3

) D.4

第Ⅱ卷(共 90 分)
2

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元) .
x

2 30

4 40

5 60
^

6 t

8 70 .

y

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 6.5 x ? 17.5 ,则表中 t 的值为

14. 若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线错误!未找到引用源。的一个焦点,则错误!未找到 引用源。 .

15.设 f ' ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,且 f ' ( x ) ? 2 f ( x ) , ( x ? R ) , f ( ) ? e ( e 为自然对 数的底数) ,则不等式 f (ln x) ? x 2 的解集为 16.观察下列等式: ① cos 2? ? 2cos ? ? 1
2

1 2

.

② cos 4? ? 8cos ? ? 8cos ? ? 1
4 2

③ cos 6? ? 32cos ? ? 48cos ? ? 18cos ? ? 1
6 4 2

④ cos8? ? 128cos ? ? 256cos ? ? 160cos ? ? 32cos ? ? 1
8 6 4 2

⑤ cos10? ? m cos10 ? ?1280cos8 ? ? 1120cos6 ? ? n cos4 ? ? p cos2 ? ?1 可以推测, m ? n ? p ? __ ___.

三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
2 17. (本小题满分 12 分)已知命题 p : x ? 2 x ? a ? 0 在 R 上恒成立,命题 q : ?x0 ? R, x0 ? 2ax0
2

?2 ? a ? 0 , 若 p 或 q 为真, ? p 为真,求实数 a 的取值范围.
* n n 18. (本小题满分 12 分)设 n ? N 且 sin x ? cos x ? ?1 ,请归纳猜测 sin x ? cos x 的值. (先观察

n ?1 , 2, 3, 4 时的值,归纳猜测 sin n x ? cosn x 的值,不必证明. )

19.(本小题满分 12 分)某校调查高二学生就读文理科与性别之间的关系,高二年段共有学生 400 人, 其中选择理科同学有 240 人,男女学生人数比例为 2:1,其余选择文科,男女学生人数比例为 1:1. (Ⅰ)根据以上数据完成下面的 2×2 列联表: (Ⅱ)能否有 99.9%的把握认为该校高二年段选报文理科与 性别之间有关系? 男生 女生 合计 理科 文科 合计

3

20.(本小题满分 12 分)已知定点 C ? ?1,0 ? 及椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 5 ,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A, B 两 点.

1 ,求直线 AB 的方程; 2 ???? ???? (Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 M ,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)若线 段 AB 中点的横坐标是 ? 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 x ? [1,??) 最小值; (2)若 f ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (3)求证: ln( n ? 1) ?

2 (a ? R) . x ?1

1 1 1 1 ? ? ??? ( n ? N* ) . 3 5 7 2n ? 1

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做第 一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O O 的直径,C , F 是⊙ O 上的两点,OC ? AB ,过点 F 作⊙ O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D 连结 CF 交 AB 于点 E . (Ⅰ)求证: DE ? DB?DA
2

C

(Ⅱ)若 DB ? 2, DF ? 4 ,试求 CE 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

A

O E

B D

F 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C1 的极

坐标方程为 r = 8 2 cos(q -

ì x = 8cos q, ? 3p ) ,曲线 C2 的参数方程为 ? . (q 为参数) í ? 4 ? ? y = 3sin q

(Ⅰ)将曲线 C1 的极坐标方程化为直角坐标方程,将曲线 C2 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)若 P 为 C2 上的动点,求点 P 到直线 l : ? í 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 f ( x) = x - 2 - x - a . (Ⅰ)当 a = - 5 时,解不等式 f ( x) < 1 ; (Ⅱ)若 f ( x) ?

ì ? x = 3 + 2t , (t 为参数)的距离的最小值. ? ? ? y = - 2+ t

x-

1 的解集包含 [1, 2] ,求实数 a 的取值范围. 4
4

参考答案 一.选择题 1-----6 ACADBC 7----12
2

DCDABC

10. 解 : 答 案 A
2

2 解 : 不 等 式 ? x ? a ? ? ( x ? ln a ) ? m 对 任 意 x ? R, a ? ? 0, ??? 恒 成 立 , 即 2

m ? [? x ? a ? ? ( x ? ln a ) 2 ]最小值 对任意 x ? R, a ? ? 0, ??? 恒成立.令 f ( x) ? ? x ? a ? ? ( x ? ln a ) 2 ,
2 2 2 2 则 f ( x) ? ? x ? a ? ? ( x ? ln a) ? 2 x ? 2(a ? ln a) x ? a ? ln a , 当 x ? 2

a ? ln a 时 , f ( x) 最 小 为 2

2 (a ? ln a) 2 (a ? lna ) (a ? l a n2 ) (a ? 0) , . 所 以 m? 对 a ? ? 0, ??? 恒 成 立 . 令 u (a) ? 2 2 2

u '(a ) ?

(a ? 1)(a ? ln a ) ,由于 0 ? a ? 1 时, a ? 1 ? 0, a ? ln a ? 0 ; a ? 1 时, a ? 1 ? 0, a ? ln a ? 0 , a

1 (a ? ln a) 2 即 a ? 1 时, u (a) ? 取得最小 ,故选 A . 2 2
12. 解 :答案 C ∵ x1 f ? x1 ? ? x2 f ? x2 ? ? x1 f ? x2 ? ? x2 f ? x1 ? ,∴ ? x1 ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ?x 2 ? ? ?? 0; 即 x1 ? x2 ,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 所以 “ H 函数” 是增函数; ①∵ y ? ? x3 ? x ? 1 , ∴ y' ? ? 3 x2 ? 1 , ∴ y ? ? x ? x ? 1 存在递减区间;②∵
3

?? ? y ? 3x ? 2 ? sin x ? cos x ? ,? y ' ? 3 ? 2 ? cos x ? sin x ? ? 3 ? 2 2 sin ? x ? ? ? 3 ? 2 2 ? 0 ,∴ 4? ?
y ? 3x ? 2 ? sin x ? cos x ? 在 R 上递增;③ y ? e x ?x 在 R 上递增,显然成立;④ f ? x ? ? ln x ?
增,显然成立. 二. 填空题 13. 50 14. 2 2 15

1 递 x3

(0, e )

16 962

f ( x) f ' ( x) ? e 2 x ? 2e 2 x ? f ( x) f ' ( x) ? 2 f ( x) 15.解 : 【构造函数】 令 g ( x) ? 2 x , g ' ( x) ? ? ? 0, ∴ g ( x) R e (e 2 x ) 2 e2 x
1 ? x 2 ,∴ g ( ) ? 2 1 f( ) 2 ? 1, 不等式 ? f (ln x) ? 1 ? g (ln x) ? g ( 1 ) , 1 2? e 2 ln x 2 e 2

上增,又 e

2 ln x

? eln x

2

ln x ?

1 ,故 x ? (0, e ) . 2
1 3 5 7 9

16. 解 : 因 为 2=2 , 8=2 , 32=2 , ? , 128=2 所 以 m=2 =512 ; 观 察 可 得 n=-400 , p=50 , 所 以 m-n+p=962 . 故 答 案 为 : 962
5

三.

解答题

17.解:若 P 是真命题.则△=4﹣4a≤0∴a≥1; ?(3 分) 若 q 为真命题,则方程 x2+2ax+2﹣a=0 有实根, ∴△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,即,a≥1 或 a≤﹣2,?(6 分) 依题意得, p 假 q 真?(9 分) a 的取值范围为 a≤﹣2.?(12 分) 18. 解:当 n ? N? 时,可能有 sin n x ? cosn x ? (?1)n 成立 当 n ? 1 时 , sin x ? cos x ? ?1 当 n ? 2 时,有 sin 2 x ? cos2 x ? 1 ??2 分

当 n ? 3 时,有 sin3 x ? cos3 x ? (sin x ? cos x)(sin 2 x ? cos2 x ? sin x cos x) ??4 分 而 sin x ? cos x ? ?1 ∴1 ? 2sin x cos x ? 1 , sin x cos x ? 0 .∴sin 3 x ? cos3 x ? ?1 ??8 分 当 n ? 4 时,有 sin 4 x ? cos4 x ? (sin 2 x ? cos2 x)2 ? 2sin 2 x cos2 x ? 1 ??10 分 由以上可以猜测,当 n ? N? 时,可能有 sin n x ? cosn x ? (?1)n 成立??12 分 19. 解:(Ⅰ) 理科 男生 女生 合计 160 80 240 文科 80 80 160 合计 240 160 400

(Ⅱ)假设 H 0 :高二学生就读文理科与性别没有关系,根据列联表: ??? 6 分

K ?
2

400 ? ?160 ? 80 ? 80 ? 80 ? 240 ? 160 ? 240 ? 160

2

?

100 ? 11.111 ,因为 11.111>10.828,所以在犯错误的概率不超 9

过 0.001 的前提下,认为该校高二学生就读文理科与性别之间有关系. ??? 12 分 20. 解:(Ⅰ)直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 1 ? 0 或 x ? 3 y ? 1 ? 0 (Ⅱ)解:假设在 x 轴上存在点 M ? m,0 ? ,使 MA ? MB 为常数. ①当直线 AB 与 x 轴不垂直时,由(Ⅰ)知 x1 ? x2 ? ? ? ?? 4 分

???? ????

6k 2 3k 2 ? 5 , x x ? (3),所以 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

???? ???? MA ? MB ? ? x1 ? m ?? x2 ? m ? ? y1 y2 ? ? x1 ? m ?? x2 ? m ? ? k 2 ? x1 ? 1?? x2 ? 1?

? ? k 2 ? 1? x1 x2 ? ? k 2 ? m ? ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? m 2 .将(3)代入,整理得
6

1? 14 ? 2 ? 2m ? ? ? 3k ? 1? ? 2m ? ???? ???? ? 6m ? 1? k 2 ? 5 3? 3 MA ? MB ? ? m2 ? ? ? m2 2 2 3k ? 1 3k ? 1

1 6m ? 14 . ? m2 ? 2m ? ? 3 3 ? 3k 2 ? 1?
注意到 MA ? MB 是与 k 无关的常数,从而有 6m ? 14 ? 0.m ? ? ②当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A, B 的坐标分别为 ? ?1,

???? ????

???? ???? 4 7 ,此时 MA ? MB ? .?? 8 分 3 9

? ?

7 2 ? ? 2 ? ? , ? ?1, ? ? .当 m ? ? 3 时, 3? ? 3?

亦有 MA ? MB ?

???? ????

???? ???? 4 ? 7 ? ,综上,在 x 轴上存在定点 M ? ? , 0 ? ,使 MA ? MB 为常数. ??? 12 分 9 ? 3 ?

21.解: (1) f ( x) ? ln x ?

1 2 x2 ?1 2 ,定义域为 (0,??) . ? f ' ( x) ? ? ? ? 0, x ?1 x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

? h( x) 在 (0,??) 上是增函数. f ( x)min ? f (1) ? 1 . ??? 4 分
(2) 因为 h ( x) ?
'
2

a 2 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a 因为若 f ( x) 存在单调递减区间, 所以 h' ( x) ? 0 ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

有正数解.即 ax ? 2(a ?1) x ? a ? 0 有 x ? 0 的解 当 a ? 0 时,明显成立 . ②当 a ? 0 时, y ? ax ? 2(a ?1) x ? a 开口 向下的抛物 线, ax ? 2(a ?1) x ? a ? 0 总有 x ? 0 的解;
2 2 2 2 ③当 a ? 0 时, y ? ax ? 2(a ?1) x ? a 开口向上的抛物线,即方程 ax ? 2(a ?1) x ? a ? 0 有正根.

因为 x1 x2 ? 1 ? 0 ,所以方程 ax ? 2(a ?1) x ? a ? 0 有两正根.
2

当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1 ;

?? ? 0 1 ,解得 0 ? a ? . ? 2 ? x1 ? x2 ? 0
(3)根据(Ⅰ)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? 令x ?

综合①②③知: a ?

1 . 2

??? 8 分

2 x ?1 ? 1 ,即 ln x ? . x ?1 x ?1
n

k ?1 k ?1 1 ? ,则有 ln , k k 2k ? 1

? ? ln
k ?1

k ?1 n 1 . ?? k k ?1 2k ? 1
7

? ln(n ? 1) ? ? ln
k ?1

n

1 1 1 k ?1 ,? ln( n ? 1) ? ? ? ? ? . 3 5 2n ? 1 k

??? 12 分 C

22 解: (Ⅰ)证明:连结 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90°. 所以∠OFC+∠CFD=90°. 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90°. 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为 DF 是⊙O 的切线,所以 DF =DB?DA. 所以 DE =DB?DA. (Ⅱ)解:? DF =DB?DA,DB=2,DF=4. ? DA= 8,
2 2 2

A

O

E

B

D

F

?????? 5 分 从而 AB=6, 则 OC ? 3 .

又由(1)可知,DE=DF=4, ? BE=2,OE=1. 从而 在 Rt ?COE 中, CE ? CO2 ? OE2 ? 10 . 23 解:(Ⅰ) 由 r = 8 2 cos(q 2

??????10 分

3p ) 得 r = - 8cos q + 8sin q , 4
2 2

所以 r = - 8r cos q + 8r sin q ,故曲线 C1 的直角坐标方程为 x + y = - 8x + 8 y , 即 ( x + 4) + ( y - 4) = 32 , ????????????????????? 3 分 由? í
2 2

ì ? x = 8cos q, x2 y 2 + = 1 . ??????? 5 分 消去参数 q 得 C2 的普通方程为 ? 64 9 y = 3sin q ? ?

(Ⅱ)设 P(8cos q,3sin q) ,直线 l 的普通方程为 x - 2 y - 7 = 0 ,???????? 7 分 故点 P 到直线 l 的距离为

d=

4 3 5 5 8cos q - 6sin q - 7 = 10cos(q + j ) - 7 (其中 cos j = ,sin j = ) , 5 5 5 5
7 时, dmin = 0 ,故点 P 到直线 l 的距离的最小值 0.??? 10 分 10

因此当 cos( ? ? ?) ?

24 解:(Ⅰ) 当 a = - 5 时,不等式 f ( x) < 1 化为 x - 2 - x + 5 < 1 , 当x?

5 时, - ( x - 2) + ( x + 5) < 1,无解; 当 - 5 < x ? 2 时, - ( x - 2) - ( x + 5) < 1 ,解得 x > - 2 ,又 - 5 < x ? 2 , 所以 - 2 < x ? 2 ; 当 x > 2 时, ( x - 2) - ( x + 5) ? 1,恒成立,又 x > 2 ,所以 x > 2 . 因此,当 a = - 5 时,解不等式 f ( x) < 1 的解集为 {x | x > - 2} .
(Ⅱ) f ( x) ?

x-

1 ? x 4

2 - x- a + x-

1 ? 0. 4
8

1 7 ? 0 ,即 x - a ? , 4 4 7 7 1 所以 x ? a 或x? a ,因为 f ( x) ? x - 的解集包含 [1, 2] , 4 4 4 7 7 3 15 ? 2 ,故 a ? 于是 a + ? 1 或 a 或a ? . 4 4 4 4 3 15 ]?[ ,+ ? ) . 所以,实数 a 的取值范围为 (- ? , 4 4
当 x ? [1, 2] 时, - ( x - 2) - x - a + x -

9

10

11

12

13


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