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初中三角函数练习题及答案


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初中三角函数练习题及答案
(一)精心选一选 1、在直角三角形中,各边都扩大 2 倍,则锐角 A 的正弦值与余弦值都 ) A、缩小 2 倍 B、扩大 2 倍 C、不变
4



D、不能确定

12、在 Rt△ABC 中,∠C=900,BC=4,sinA= 5 ,则 AC=( A、3 B、4 C、5
1 sinA= 3 ,则(



D、6

3、若∠A 是锐角,且 A、00<∠A<300 D、600<∠A<900

) C、450<∠A<600

B、300<∠A<450

1 3 sin A ? tan A 4、若 cosA= 3 ,则 4 sin A ? 2 tan A =(



4 A、 7

1 B、 3

1 C、 2

D、0 ) D、1:

5、在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:1:2,则 a:b:c=( A、1:1:2
2 1: 2

B、1:1: 2

C、1:1: 3

6、在 Rt△ABC 中,∠C=900,则下列式子成立的是( A、sinA=sinB D、cosA=tanB B、sinA=cosB



C、tanA=tanB

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7.已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是 )
2 A.sinB= 3 2 B.cosB= 3 2 C.tanB= 3

3 D.tanB= 2

8.点(-sin60°,cos60°)关于 y 轴对称的点的坐标是(
1 3 A.( 2 , 2 ) 1 3 D.(- 2 ,- 2 ) 1 3 B.(- 2 , 2 )



1 3 C.(- 2 ,- 2 )

9.每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们感受到了国旗的神圣.? 某同学站在离旗杆 12 米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时,他测得视线的仰角 为 30°,?若这位同学的目高 1.6 米,则旗杆的高度约为( ) A.6.9 米 B.8.5 米 C.10.3 米 D.12.0 米

10.王英同学从 A 地沿北偏西 60? 方向走 100m 到 B 地,再从 B 地向正南方 向走 200m 到 C 地, 此时王英同学离 A 地 ( )

A
(A) 50 3 m (B)100 m

(C)150m

(D) 100 3 m
30? 45?

11、如图 1,在高楼前 D 点测得楼顶的仰角 为 30? ,向高楼前进 60 米到 C 点,又测得仰角为
45? ,则该高楼的高度大约为(

D

C
图1

B

) C.52 米 D.70 米
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A.82 米

B.163 米

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12、一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40? 的方向行驶 40 海里到达 B 地, 再由 B 地向北偏西 10? 的方向行驶 40 海里到达 C 地, A、 两地相距 则 C ( ) . (A)30 海里 (二)细心填一填 1.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则 sinB=_____. 2.在△ABC 中,若 BC= 2 ,AB= 7 ,AC=3,则 cosA=________. (B)40 海里 (C)50 海里 (D)60 海里

3.在△ABC 中,AB=2,AC= 2 ,∠B=30°,则∠BAC 的度数是______. 4. 如图, 如果△APB 绕点 B 按逆时针方向旋转 30°后得到△A' B, BP=2, P' 且 那么 PP'的长为____________. (不取近似值. 以下数据供解题使用:
6? 2 6? 2 4 4 sin15°= ,cos15°= )

5.如图,在甲、乙两地之间修一条笔直的公路,从甲地测得公路的走向是北 偏东 48°.甲、乙两地间同时开工,若干天后,公路准确接通,则乙地所修公 路的走向是南偏西___________度.






y A B O x

第 4 题图



第 5 题图

第 6 题图

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6.如图,机器人从 A 点,沿着西南方向,行了个 4 2单位,到达 B 点后观 察到原点 O 在它的南偏东 60°的方向上, 则原来 A 的坐标为___________结果保 留根号) . 7.求值:sin260°+cos260°=___________. 8.在直角三角形 ABC 中,∠A= 90 ,BC=13,AB=12,那么
tan B ? ___________.
0

9.根据图中所给的数据,求得避雷针 CD 的长约为_______m(结果精确的 到 0.01m) . (可用计算器求, 也可用下列参考数据求: sin43°≈0.6802, sin40° ≈0.6428,cos43°≈0.7341,cos40°≈0.7660,tan43°≈0.9325,tan40° D ≈0.8391)
C

A

43 40° ° 52m ¤

B 第 9 题图

B

? 10. 如图, 自动扶梯 AB 段的长度为 20 米, 倾斜角 A 为α , 高度 BC 为___________ A C 米(结果用含α 的三角比表示) . 第 10 题图

(1)

(2)

11. 如图 2 所示, 太阳光线与地面成 60°角, 一棵倾斜的大树与地面成 30° 角,?这时测得大树在地面上的影子约为 10 米,则大树的高约为________米. (? 保留两个有效数字, 2 ≈1.41, 3 ≈1.73)

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三、认真答一答 1,计算: sin 30?? cos 60?? cot 45?? tan 60?? tan 30? 分析:可利用特殊角的三角函数值代入直接计算;

?1 2 计算: 2 (2 cos 45?? sin 90? ) ? (4 ? 4? )??( 2 ? 1)

分析:利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。注意 分母有理化,

3 如图 1,在 ?ABC 中,AD 是 BC 边上的高, tan B ? cos ?DAC 。 (1)求证:AC=BD
sin C ? 12 ,BC ? 12 13 ,求 AD 的长。

(2)若

图 1 分析:由于 AD 是 BC 边上的高,则有 Rt?ADB 和 Rt?ADC ,这样可以充分利 用锐角三角函数的概念使问题求解。

4 如图 2,已知 ?ABC 中 ?C ? Rt? , AC ? m,?BAC ? ? ,求 ?ABC 的面 积(用 ? 的三角函数及 m 表示)

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图2 分析:要求 ?ABC 的面积,由图只需求出 BC。

解应用题,要先看条件,将图形抽象出直角三角形来解. 5. 甲、乙两楼相距 45 米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为 30°,观测乙 楼的底部的俯角为 45°,试求两楼的高. A
0

30

450

E r B

D C

6. 从 A 处观测铁塔顶部的仰角是 30°,向前走 100 米到达 B 处,观测铁塔的 顶部的仰角是 45°,求铁塔高.

D

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A

30
0

B

45
0

C

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分析:求 CD,可解 RtΔ BCD 或 RtΔ ACD. 但由条件 RtΔ BCD 和 RtΔ ACD 不可解,但 AB=100 若设 CD 为 x,我们将 AC 和 BC 都用含 x 的代数式表示再解方程即可.

7、如图,一铁路路基横断面为等腰梯形 ABCD ,斜坡 BC 的坡度为 ? ? 2 : 3 , 路基高 AE 为 3 m,底 CD 宽 12 m,求路基顶 AB 的宽

B C

A

E

D
A

8.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆 的高度,已知标杆高度 CD ? 3m ,标杆与旗杆的水平 距离 BD ? 15 m ,人的眼睛与地面的高度 EF ? 1.6 m , 人与标杆 CD 的水平距离 DF ? 2 m ,求旗杆 AB 的高 度.
E

C
H
F D B

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9.如图 3,沿 AC 方向开山修路,为了加快施工速度,要在小山的另一边同 时施工。从 AC 上的一点 B,取 ?ABD ? 145? ,BD ? 500 米, ?D ? 55? 。要使 A、 C、E 成一直 S 线,那么开挖点 E 离点 D 的距离是多少?

图3 分析:在 Rt?BED 中可用三角函数求得 DE 长。

10 如图 8-5,一条渔船某时刻在位置 A 观测灯塔 B、 C(灯塔 B 距离 A 处较近), 两个灯塔恰好在北偏东 65°45′ 的方向上,渔船向正东方向航行 l 小时 45 分钟之后到达 D 点,观测到灯塔 B 恰好在正北方向上,已知两个灯塔之间 的距离是 12 海里,渔船的速度是 16 海里/时,又知在灯 塔 C 周围 18.6 海里内有暗礁,问这条渔船按原来的方向继 续航行,有没有触礁的危险? 分析:本题考查解直角三角形在航海问题中的运用, 解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题.



C B

A

D

E



图 8-4

11、如图,A 城气象台测得台风中心在 A 城的正西方 300 千米处,以每小时 10 7 千米的速度向北偏东 60? 的 BF 方向移动,距台风中心 200 千米的范围内 是受这次台风影响的区域。
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问 A 城是否会受到这次台风的影响?为什么? 若 A 城受到这次台风的影响,那么 A 城遭受这次台风影响的时 间有多长?

12. 如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物 ABCD,且建筑物周围 没有开阔平整地带,该建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都可直接测得,从 A、D、C 三点可看到塔顶端 H,可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。 (1)请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端 到地面高度 HG 的方案。具体要求如下:测量数据尽可能少,在所给图形上,画 出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测 A、D 间距离,用 m 表示;如果测 D、C 间距离,用 n 表示;如果测角,用α 、β 、γ 表示) 。 (2)根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度 HG(用字母表示, 测倾器高度忽略不计) 。

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13. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时, 发现在其所处位置 O 点的正北方向 10 海里处的 A 点有一涉嫌走私船只正以 24 海里/小时的速度向正 东方向航行。为迅速实验检查,巡逻艇调整好航向,以 26 海里/小时的速度追 赶, 在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下, 问(1)需要几小时才能追上?(点 B 为追上时的位置) (2)确定巡逻艇的追赶方向(精确到 0.1? ) (如图 4)

图4 参考数据:
sin 66.8? ? 0.9191, cos 66.8? ? 0.3939 sin 67.4? ? 0.9231, cos 67.4? ? 0.3846 sin 68.4? ? 0.9298, cos 68.4? ? 0.3681 sin 70.6? ? 0.9432 , cos 70.6? ? 0.3322

分析: (1)由图可知 ?ABO 是直角三角形,于是由勾股定理可求。 (2)利用三角函数的概念即求。 14. 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇, ?QPN ? 30? , A 处有一所中学, 且 点 AP=160m,一辆拖拉机以 3.6km/h 的速度在公路 MN 上沿 PN 方向行驶,假设拖拉 机行驶时,周围 100m 以内会受噪声影响,那么,学校是否会受到噪声影响?如 果不受影响,请说明理由;如果受影响,会受影响几分钟?

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N

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P M

A

Q

. 15、如图,在某建筑物 AC 上,挂着“多彩云南”的宣传条幅 BC,小明站在 点 F 处,看条幅顶端 B,测的仰角为 30 ? ,再往条幅方向前行 20 米 到达点 E 处,看到条幅顶端 B,测的仰角为 60 ? ,求宣传条幅 BC 的 长, (小明的身高不计,结果精确到 0.1 米)

16、一艘轮船自西向东航行,在 A 处测得东偏北 21.3°方向有一座小岛 C,继 续向东航行 60 海里到达 B 处, 测得小岛 C 此时在轮船的东偏北 63.5°方向上. 之 后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛 C 最近?
9 2 9

(参考数据: sin21.3°≈ 25 , tan21.3°≈ 5 , sin63.5°≈ 10 , tan63.5° ≈2)
C
东 北

A

B

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17、如图,一条小船从港口 A 出发,沿北偏东 40 方向航行 20 海里后到达 B 处,然后又沿北偏西 30 方向航行 10 海里后到达 C 处.问此时小船距港口 A 多少 海里?(结果精确到 1 海里)
? ? 友情提示:以下数据可以选用: sin 40 ≈ 0.6428 , cos 40 ≈ 0.7660 , ?

?

tan 40? ≈ 0.8391 , 3 ≈1.732 .



P

Q
C
30?

B
40
?

A

18、如图 10,一枚运载火箭从地面 O 处发射,当火箭到达 A 点时,从地面 C 处的雷达站测得 AC 的距离是 6km ,仰角是 43 . 1s 后,火箭到达 B 点,此时测 得 BC 的距离是 6.13km ,仰角为 45.54 ,解答下列问题:
? ?

B A

(1)火箭到达 B 点时距离发射点有多远(精确到 0.01km)?
O
C
图 10

(2)火箭从 A 点到 B 点的平均速度是多少(精确到 0.1km/s)? 19、经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某 一段的宽度.如图①,一测量员在江岸边的 A 处测得对岸岸边的一根标杆 B 在它 的正北方向,测量员从 A 点开始沿岸边向正东方向前进 100 米到达点 C 处,测 得 ?ACB ? 68 .
?

? ? ? (1)求所测之处江的宽度( sin 68 ? 0.93, cos68 ? 0.37, tan68 ? 2.48. ) ;

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(2)除(1)的测量方案外,请你再设计一种测量江宽的方案,并在图② 中画出图形.

B
图②

A

图①

C

20 某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示,看台有四级高度相等的小台 阶.已知看台高为 l.6 米,现要做一个不锈钢的扶手 AB 及两根与 FG 垂直且长 为 l 米的不锈钢架杆 AD 和 BC(杆子的底端分别为 D,C), 且∠DAB=66. 5°. (1)求点 D 与点 C 的高度差 DH; (2)求所用不锈钢材料的总长度 l (即 AD+AB+BC, 结果精 确到 0.1 米).(参考数据:sin66.5°≈0.92, cos66.5°≈0.40,tan66.5°≈2.30)

答案 一、选择题 1——5、CAADB 二、填空题 6——12、BCABDAB

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3 1, 5

7 2, 3

3,30°(点拨:过点 C 作 AB 的垂线 CE,构造直角三

角形,利用勾股定理 CE) 4. 6 ? 2 (点拨:连结 PP' ,过点 B 作 BD⊥PP' ,因为∠PBP'=30°,所
6? 2 4 以∠PBD=15°,利用 sin15°= ,先求出 PD,乘以 2 即得 PP' )

5.48(点拨:根据两直线平行,内错角相等判断)
4? 4 3 3 )(点拨:过点 B 作 BC⊥AO,利用勾股定理或三角函数可分

6.(0,

别求得 AC 与 OC 的长) 7.1(点拨:根据公式 sin2 ? +cos2 ? =1)
5 AC tan B ? AB 求出结果) 8. 12 (点拨:先根据勾股定理求得 AC=5,再根据

9.4.86(点拨:利用正切函数分别求了 BD,BC 的长)
sin ? ? BC AB ,求得 BC ? AB ? sin ? )

10. 20sin ? (点拨:根据 11.35 三,解答题可求得 1. ?1; 2. 4

3.解:(1)在 Rt?ABD 中,有 tan B ?
cos?DAC ? AD AC

AD , Rt?ADC 中,有 BD

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? tan B ? cos ?DAC ? AD AD ? ,故AC ? BD BD AC
AD 12 ? ;可设 AD ? 12x,AC ? BD ? 13x AC 13
? BC ? 12 ? BD ? DC ? 18x ? 12

(2)由 sin C ?

由勾股定理求得 DC ? 5x , 即x ?
2 3 ? AD ? 12 ?
BC AC

2 ?8 3

4.解:由 tan ?BAC ?

? BC ? AC tan ?BAC ? AC ? m,?BAC ? ? ? BC ? m tan ? ? S ?ABC ? 1 1 1 AC ? BC ? m ? m tan ? ? m 2 tan ? 2 2 2

5 解过 D 做 DE⊥AB 于 E ∵∠MAC=45° ∴∠ACB=45° BC=45
A

AB 在 RtΔ ACB 中, tgACB ? BC

30
0

450

? AB ? BC ? tg 45? ? 45(米)
在 RtΔ ADE 中,∠ADE=30°
AE DE

E r B

D C

tgADE ?

? AE ? DE ? tg 30? ? 45 ?

3 ? 15 3 3

?CD ? AB ? AE ? 45 ? 15 3(米)
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答:甲楼高 45 米,乙楼高 45? 15 3 米. 6 解:设 CD=x
BC CD

在 RtΔ BCD 中, ctgDBC ?

∴BC=x(用 x 表示 BC)

在 RtΔ ACD 中, ctgDAC ?

AC CD

? AC ? CD ? ctgDAC ? 3x

∵AC-BC=100

3x ? x ? 100

( 3 ? 1) x ? 100

∴ x ? 50( 3 ? 1)

答:铁塔高 50( 3 ? 1) 米. 7、解:过 B 作 BF ? CD,垂足为 F
? AE ? BF

在等腰梯形 ABCD 中 AD=BC
?C ? ?D

? iBC ? 2 : 3

? AE=3m ? DE=4.5m ? AD=BC, ?C ? ?D , ?CFB ? ?DEA ? 90? ? ? BCF ? ? ADE ? CF=DE=4.5m ? EF=3m

? ?BFE ? ?AEF ? 90?
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? BF//CD

? 四边形 ABFE 为平行四边形
? AB=EF=3m
8 解:? CD ⊥ FB , AB ⊥ FB ,? CD ∥ AB
?△CGE ∽△ AHE

CG EG CD ? EF FD ? ? ? ,即: AH EH AH FD ? BD ? 3 ? 1.6 2 ? ,? AH ? 11.9 AH 2 ? 15
E

A

C
H
F
D

? AB ? AH ? HB ? AH ? EF ? 11.9 ? 1.6 ? 13.5(m)

B

9

解:?A、C、E 成一直线

?ABD ? 145? ,?D ? 55? , ??BED ? 90?
DE , ? DE ? BD ?cos D BD

在 Rt?BED 中,? cos D ?

?BD ? 500米, ?D ? 55?
? DE ? 500 cos 55? 米,

所以 E 离点 D 的距离是 500cos55 o 10 解:在 Rt△ABD 中, AD ? 16 ?
7 ? 28 (海里), 4

∠BAD=90°-65°45′=24°15′. ∵cos24°15′=
AD , AB

∴ AB ?

AD 28 ? ? 30.71 (海里). cos 24?15? 0.9118

AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).
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在 Rt△ACE 中,sin24°15′=

CE , AC

∴CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里). ∵17.54<18.6,∴有触礁危险。 【答案】有触礁危险,不能继续航行。 11、 (1)过 A 作 AC ? BF,垂足为 C
? ?1 ? 60? ? ?ABC ? 30?

在 RT ? ABC 中 AB=300km
60?

F

?ABC ? 30? ? AC ? 150km ? A城会受到这次台风的影 响
(2)
在BF上取D, 使AD ? 200km 在BF上取E, 使AE ? AD ? AC ? 150km, ad ? 200km ? CD ? 50 7 km ? DE ? 100 7 km ? v ? 10 7 km h ?t ? 100 7 km ? 10h 10 7 km h

B

A

答:A 城遭遇这次台风影响 10 个小时。 12 解: (1)在 A 处放置测倾器,测得点 H 的仰角为α 在 B 处放置测倾器,测得点 H 的仰角为β
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(2 )在Rt?HAI中,AI ?

HI tan ?

DI ?

HI tan ?

AI ? DI ? m

HI ?

tan ? tan ?m tan ? ? tan ? tan ? tan ?m ?n tan ? ? tan ?

HG ? HI ? IG ?

13 解:设需要 t 小时才能追上。 则 AB ? 24t,OB ? 26t

(1)在 Rt?AOB 中,? OB2 ? OA 2 ? AB2 ,? (26t ) 2 ? 102 ? (24t) 2 则 t ? 1(负值舍去)故需要 1 小时才能追上。 (2)在 Rt?AOB 中
? sin ?AOB ? AB 24 t ? ? 0.9231 OB 26t
? ?AOB ? 67.4?

即巡逻艇沿北偏东 67.4? 方向追赶。 14
( )在Rt?APB中,AP ? AP sin 30? ? 80 ? 100 解: 1

? 会影响

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N B D 30o P M 160 A Q 100

( 2 )在Rt?ABD中 BD ? 100 2 ? 80 2 ? 60(米)

60 ? 2 ? 2 (分钟) 1000 3.6 ? 60 ? 2 分钟

15

解: ∵∠BFC = 30 ? ,∠BEC = 60 ? ,∠BCF = 90 ? ∴∠EBF =∠EBC = 30 ? ∴BE = EF = 20 在 Rt⊿BCE 中,
3 ? 17.3(m) 2

BC ? BE ? sin 60? ? 20 ?

答:宣传条幅 BC 的长是 17.3 米。 16 解:过 C 作 AB 的垂线,交直线 AB 于点 D,得到 Rt△ACD 与 Rt△BCD.
C

设 BD=x 海里, 在 Rt△BCD 中,tan∠CBD= ∴CD=x ·tan63.5°. 在 Rt△ACD 中,AD=AB+BD=(60+x)海里,tan∠A=
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CD BD



A

B

D

CD AD



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∴CD=( 60+x ) ·tan21.3°. ∴x·tan63.5°=(60+x)·tan21.3°,即 2 x ? ? 60 ? x ? .
5 2

解得,x=15. 答:轮船继续向东航行 15 海里,距离小岛 C 最近 17 解:过 B 点作 BE ? AP ,垂足为点 E ;过 C 点分别作 CD ? AP ,

CF ? BE ,垂足分别为点 D,F ,则四边形 CDEF 为矩形. ? CD ? EF,DE ? CF ,??????????3 分

??QBC ? 30? ,

??CBF ? 60? .

? AB ? 20,?BAD ? 40? ,



? AE ? AB? 40? ≈ 20 ? 0.7660 ≈15.3 ; cos

P D

Q
C
30?

E

F
40?

B

BE ? AB? 40 ≈ 20 ? 0.6428 ? 12.856 ≈12.9 . sin
?

A

? BC ? 10,?CBF ? 60? ,

?CF ? BC ? 60? ≈10 ? 0.866 ? 8.66 ≈ 8.7 ; sin

BF ? BC ? 60? ? 10 ? 0.5 ? 5 . cos
? CD ? EF ? BE ? BF ? 12.9 ? 5 ? 7.9 .

? DE ? CF ≈ 8.7 ,
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? AD ? DE ? AE ≈ 15.3 ? 8.7 ? 24.0 .

? 由勾股定理,得 AC ? AD2 ? CD2 ≈ 24.02 ? 7.92 ? 638.41 ≈ 25 .
即此时小船距港口 A 约 25 海里 18 解(1)在 Rt△OCB 中, sin 45.54? ?
OB CB

1分

OB ? 6.13 ? sin 45.54? ≈ 4.375 (km) 3 分

火箭到达 B 点时距发射点约 4.38km (2)在 Rt△OCA 中, sin 43? ?
OA CA

4分 1分

OA ? 6 ? sin 43? ? 4.09(km) 3 分
v ? (OB ? OA) ? t ? (4.38 ? 4.09) ?1≈ 0.3(km / s) 5 分

答:火箭从 A 点到 B 点的平均速度约为 0.3km / s 19 解:(1)在 Rt?BAC 中, ?ACB ? 68? ,

∴ AB ? AC ? tan68? ? 100? 2.48 ? 248(米) 答:所测之处江的宽度约为 248 米????????????????????(3 分) (2)从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三 角形的知识 来解决问题的,只要正确即可得分

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20 解:(1)DH=1.6× 矩形. MH=BC=1

3 =l.2(米).(2)过 B 作 BM⊥AH 于 M,则四边形 BCHM 是 4

∴AM=AH-MH=1+1.2 一 l=l.2.

在 RtAMB 中,∵∠A=66.5° ∴AB=
AM 1.2 ? ? 3.0 (米). cos 66.5? 0.40

∴S=AD+AB+BC≈1+3.0+1=5.0(米). 答:点 D 与点 C 的高度差 DH 为 l.2 米;所用不锈钢材料的总长度约为 5.0 米

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