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数学(理)一轮教学案:第十章第2讲 双曲线及其性质 Word版含解析


第 2 讲 双曲线及其性质 考纲展示 命题探究 考点一 双曲线的标准方程 1 双曲线的定义 (1)定义:平面上,到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两 定点间的距离)的动点的轨迹.两定点叫做双曲线的焦点,两焦点间 的距离叫做焦距. (2)符号语言:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|). 2 双曲线的标准方程 根据双曲线的定义,通过建立适当的坐标系得出的,其形式为: (1)当双曲线的焦点在 x 轴上时,双曲线的标准方程为 x2 y2 a2-b2=1(a>0,b>0). (2)当双曲线的焦点在 y 轴上时,双曲线的标准方程为 y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0). 3 双曲线方程的几种常见设法 x2 y2 x2 y2 (1)与双曲线a2-b2=1 有共同渐近线的双曲线方程可设为a2-b2 =λ(λ≠0). n x2 (2)若双曲线的渐近线方程为 y=± mx,则双曲线方程可设为m2- y2 2 2 2 2 n2=λ(λ≠0)或 n x -m y =λ(λ≠0). x2 y2 x2 y2 (3)与双曲线a2-b2=1 共焦点的双曲线方程可设为 2 - 2 a -k b +k =1(-b2<k<a2). (4) 过 两 个 已 知 点 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 可 设 为 mx2 + ny2 = 1(mn<0). x2 y2 (5) 与椭圆 a2 + b2 = 1(a>b>0) 有共同焦点的双曲线方程可设为 x2 y2 + =1(b2<λ<a2). a2-λ b2-λ 注意点 双曲线定义的理解 当|MF1|-|MF2|=2a 时, 曲线仅表示焦点 F2 所对应的双曲线的一 支;当|MF1|-|MF2|=-2a 时,曲线仅表示焦点 F1 所对应的双曲线的 一支;当 2a=|F1F2|时,轨迹为分别以 F1,F2 为端点的两条射线;当 2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在. 1.思维辨析 (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于 6 的点的轨迹是 双曲线.( ) ) ) (2)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点 的轨迹是双曲线.( x2 y 2 (3)方程m- n =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( x2 y2 (4)m + n =1 表示双曲线的充要条件是 mn<0.( 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ ) y2 x2 2.与椭圆 C:16+12=1 共焦点且过点(1, 3)的双曲线的标准 方程为( 2 ) B.y2-2x2=1 y2 2 D. 3 -x =1 y2 A.x - 3 =1 y2 x2 C. 2 - 2 =1 答案 C 解析 y2 x2 椭圆16+12=1 的焦点坐标为(0,-2),(0,2),设双曲线 ? 3 -1=1, y2 x2 的标准方程为m- n =1(m>0,n>0),则?m n 解得 m=n=2, ?m+n=4, 故选 C. x2 y2 3.双曲线16- 9 =1 上的点 P 到点(5,0)的距离是 6,则点 P 的坐 标是________. 答案 解析 (8,± 3 3) F(5,0)为双曲线的右焦点,设 P(x,y),则(x-5)2+y2=36 x2 y2 ①,与16- 9 =1②,联立①②解得:x=8,y=± 3 3.∴P(8,± 3 3). [考法综述] 高考一般考查双曲线方程的求法和通过方程研 究双曲线的性质. 双曲线的定义的考查主要是利用定义求双曲线的方 程,或者是

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