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正切函数图象与性质课件


函数
y

y=sinx
y
1 1

y=cosx

图形 定义域

??

2

0
-1

? 2

?

3? 2

2?

5? 2

x

??

0
-1

? 2

?

3? 2

2?

5? 2

x

x?R
y ?[?1,1]

x?R
y ?[?1,1]

值域
最值

单调性 奇偶性

x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 x ? 2k? 时, ymax ? 1 2 x ? ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 x ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 2 x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 增函数 x?[?? ? 2k? , 2k? ] 增函数 2 2 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] 减函数 x?[2k? , ? ? 2k? ] 减函数 2 2
奇函数 偶函数

周期
对称性

2? 对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z 2 对称中心: (k? , 0) k ? Z

2?
对称轴: x ? k? , k ? Z 对称中心:( ? ? k? , 0) k ? Z

2

探究

一、你能否根据研究正弦、余弦函数的图

象和性质的经验以同样的方法研究正切函 数 的图像和性质? 阅读教材内容,并思考下列问题:

1、利用正切函数的定义,说出正切函数的定义域; 2、正切函数 y ? tan x 是否为周期函数? 3、正切函数 y ? tan x 是否具有奇偶性?

4.如何利用正切线画画出正切函数的图像?
5. 你能根据正切函数的图像得出正切函数的性质吗?

1、利用正切函数的定义,说出正切函数的定义域;

2、正切函数 y ? tan x 是否为周期函数? 由诱导公式知

y tan ? ? ? x ? 0 ? ?的终边不在y轴上 x ? ?? ? k? ? (k ? z ) 2 思考
?
2

? f ?x ? ? ? ? tan ?x ? ? ? ? tan x ? f ?x ?, x ? R, x ?
? 是它的一个周期. ∴ y ? tan x 是周期函数,

? k? , k ? Z

思考 3、正切函数 y ? tan x 是否具有奇偶性? 由诱导公式知

? f ?? x ? ? tan ?? x ? ? ? tan x ? ? f ?x ?, x ? R, x ?
正切函数是奇函数.

?
2

? k? , k ? Z

2. 函数

y ? sin x, x ? ?0,2? ?图象的几何作法
y

作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/ p1

1P 1
?
6

(3) 平移 (4) 连线
?
?
2

o1

M -1 1

A

o
-1 -

? 6

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-

-

-

-

4.10 正切函数的图像和性质
问题2、如何利用正切线画出函数 的图像?

y?

? ? ?? tan x,x ? ? ? , ? ? 2 2?


T

?
3

的终边

Y

(? , tan ? )
3 3

A

0

? 3

X

? ? ?? y ? tan x x ? 利用正切线画出函数 , ? ? , ? 的图像: ? 2 2? 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分: ? ? ? 3? 3? ? (2) 作正切线 ? , , , ? ? , , 8 8 8 4 8 4 (3) 平移 (4) 连线

o

? 3? ? ? 0 ? ? ? ? 2 8 4 8

? 8

? 4

3? 8

? 2

二:性质

你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗? y

1
-3?/2 -? t-? -?/2

-1

0

t ?/2

? t+? 3?/2

x

函数 定义域

值域
周期性 奇偶性 单调性

y=tanx ? {x | x ? k? ? , k ? Z } 2 R T= ? 奇函数 ? ? 增区间 (k? ? , k? ? )k ? Z 2 2

思考:
如何快速画出 y ? tan x (?

?
2

?x?

?
2

) 的图像?

三点两线
(?

?
4

, ? 1) (0, 0)

x??

?
2

x?

?

( , 1) 4

?

2

4.10 正切函数的图像和性质

正 切 函 数 图 像
性质 :

渐 进 线

渐 进 线

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

? 定义域: {x | x ? ? k?, k ? Z} 2 值域: R 周期性:? 奇偶性: 奇函数,图象关于原点对称。

⑸ 单调性: 在每一个开区间 ? ? (? ? k? , ? k? ) , k ? Z 内都是增函数。 2 2 ? k?Z x ? k? ? , (7)对称中心 (6)渐近线方程: 2

kπ ( ,0) 2

例题分析
例1

求函数

周期和单调区间

y ? tan ( x+ ) 的定义域、 2 3

?

?

例题分析
例2、比较下列每组数的大小。

(1)tan167 与tan173
解:
0 0 0

o

o

13π 11π tan() 与 tan() (2) 4 5
?? ? y ? tan x在 ? ,? ? 上是增函数, ?2 ?

90 ? 167 ? 173 ? 180
0 0

0

? tan167 ? tan173

说明:比较两个正切值大小,关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内,再 利用y=tanx的单调递增性解决。

反馈演练

1、比较大小:
0 < (1)tan138 _____tan143 。 13π 17π > (2)tan()_____tan() 4 5 0

提高练习
?? ? 求函数 y ? tan ? 3 x ? ? 的定义域、值域,并指出它的 3? ? 单调性、奇偶性、周期性和对称中心;

1 5? 1、定义域 x ?{x | x ? R且x ? k? ? ,k ? Z } 3 18 2、值域 y?R ? 1 5? ? ?1 3、单调性 在x ? ? k? ? , k? ? ? 上是增函数; 18 3 18 ? ?3 非奇非偶函数 4、奇偶性 ? 最小正周期是 5、周期性 3 1 ? 6.对称中心 ( k? ? ,0)(k ? Z) 6 9

例题分析
tan x ? 3 例 3 解不等式:

解:

y

3
0 ?

? x
2

3

? ?? ? 由图可知:x ? ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 3 2? ?

反馈演练

1、 解不等式 1+tanx ? 0

2、解不等式:1- tan x ? 0
3 3、解不等式: tan( x ? ) ? 6 3
? ? ? 答案: 1. x ? ? x k ? ? ? x ? k ? ? , k ? Z ? ?
4 2 ? ? ? ? ? ? 2. x ? ? x k? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? 2 4 ? ? ? 2? ? ? x ? x k ? ? ? x ? k ? ? , k ? Z ? ? 3. 3 3 ? ?

?

四、小结:正切函数的图像和性质
? ? 1、 正 切 曲 线 是 先 利 用移 平正 切 线 得 y ? tan x, x ? ( ? , )的 图 象 , 2 2 再 利 用 周 期 性 把 该 段象 图向 左 、 右 扩 展 得 到 。

2 、y ? tan x 性质:

? ⑴ 定义域: {x | x ? ? k?, k ? Z} 2 ⑶ 周期性: ⑵ 值域: R ⑷ 奇偶性:奇函数,图象关于原点对称。

?

(5) 对称性:对称中心:

无对称轴

(6)单调性: 在每一个开区间 π π (- + kπ, + kπ ) , k ? Z 内都是增函数。 2 2 ? k?Z (7)渐近线方程: x ? k? ? , 2

问 题





问题:
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗?为什么?
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数?为什么?
A
B

π π (- + kπ, + kπ) ,k ? Z 内都是增函数。 2 2

在每一个开区间


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