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1.3.2 球的体积和表面积


1.3.2
一、知识点回顾与梳理
1、球的体积和表面积公式

球的体积和表面积

4 设球的半径为 R ,它的体积为 V ? ? R3 ,表面积为 S ? 4? R2 3 2、球的截面问题 (1)大圆与小圆:球中过球心的截面圆称为球的大圆,而不过球心的截面圆称为球的小圆。 (2)球的截面性质:球的半径为 R ,截面圆的半径为 r ,球心到截面的距离为 d ,则有
d ? R2 ? r 2 。
当 d ? 0 时,截面圆过球心,截面圆面积最大,此圆叫球的大圆; 当 0 ? d ? R 时,截面圆不过球心,此圆叫做小圆;

二、典型例题分析与方法总结
题型一:与球的体积有关的问题 例 1、据说伟大的阿基米德死了以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑。在墓碑上刻了 一个如图所示的图案, 图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等, 圆锥的顶点在圆 柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面,试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比。

题型二:与球的表面积有关的问题 例 2、过球的某一条半径的中点,作一个垂直于这条半径的截面,截面面积为 48? cm2 ,求 球的表面积。

题型三:与球有关的组合体问题 例 3、已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的 2 倍,求圆锥侧面积与底面积之比。

变式 1:一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972 ? 的球,在圆锥内又有一个内切球 求(1)圆锥的侧面积; (2)圆锥内切球的体积。

变式 2:圆锥的内切球半径为 r ,求圆锥体积的最小值。

例 4、 半径为 R 的球的内接正四面体内有一内切球, 求这两球的体 积比。

变式 1:正三棱锥 P ? ABC 的侧棱长为 l ,两侧棱的夹角为 2? ,求它的外接球的体积。

变式 2: (05 全国)将半径为 1 的四个完全相同的钢球完全装进一个正四面体中,求正四 面体的高的最小值。

例 5、正方形 ABCD 的中心为 O ,过 O 作正方形 所在平面的垂线 EO ,一个半径为 1 的球内切于 正四棱锥 E ? ABCD , 当正四棱锥的体积最小时, 正方形的边长为多少?此时体积的最小值是多 少? D

E

C O

A 变式:在棱长为 1 的正方体内,有两个球外切并且分别与正方体的面相切。 (1)求这两个球的半径之和; (2)球的半径满足什么条件时,两球体积之和最小。

B

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
第一课时 一、知识点回顾与梳理
1、平面的概念 平面是一个不加定义, 只需理解的原始概念。 立体几何里所说的平面是从现实生活中常 见的平面抽象出来的,常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象。 平面具有无限延展性、理想的、绝对的平且无大小,无厚薄,不可度量,它与平面图形 的区别在于:平面图形如三角形、正方形、梯形、圆形等有大小、长短之分,可以度量。 类似一条直线把平面分成两部分一样,一个平面把空间分成两部分。 2、平面的画法 当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板时, 感到它们都很像平行四边形, 因此立体 几何中我们通常画平行四边形来表示平面。 (1)一个平面:水平放置和直立; 当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成 45? ,横边画成邻边的 2 倍长。如图
D C

2.1.1 平面

C D

α
A B

B A (2) 直线与平面相交,如图:
l
α A
α a

l
β

(3)两个相交平面: 画两个相交平面时,若一个平面的一部分被另一个平面遮住,应把被遮住部分的线段 画成虚线或不画,如图 2
β α β α α B β a A 图 2 A α a β B

B

A

3、平面的表示 (1)平面通常用一个希腊字母 ? , ? , ? ,??来表示,如平面 ? 、平面 ? 、平面 ? 等;

(2)用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示,如平面 AC、平面 BD, (今后一般用 A、B、C 等表示点,a,b,c 等表示线, ? , ? , ? 表示平面。 ) 4、空间图形中点、线、面位置关系的集合语言表示 空间图形的基本元素是点、直线、平面。从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而 可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借 用集合中的符号语言来表示。规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示, 点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示。 点、线、面的基本位置关系如下表所示: 图形 符号语言 文字语言(读法) 点 A 在直线 a 上 点 A 不在直线 a 上

A

a

A? a A? a A ??

A

a

? A
?
A

点 A 在平面 ? 内

A
b a

A ??

点 A 不在平面 ? 内 直线 a 、 b 交于 A 点 直线 a 在平面 ? 内

a ?b ? A

?
?

a
a

a ??

a ?? ? ?

直线 a 与平面 ? 无公共点

?

a

A

a ?? ? A

直线 a 与平面 ? 交于点 A

? ?? ?l

平面 ? 、 ? 相交于直线 l

集合中“∈”的符号只能用于点与直线,点与平面的关系, “ ? ”和“ ? ”的符号只能 用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系,虽然借用于集合符号,但在读法上仍用 几何语言,如 a ? ? ,表示平面 ? 外的直线 a ,有两种情形: a ? ? ? ? 或 a ? ? ? A 。 5、平面的基本性质(三个公理与三个推论) 平面的基本性质, 是研究立体几何的理论基础, 要熟练掌握每个公理及推论的三种数学语 言叙述及其用途。 (1)公理 1

文字语言:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 符号语言: 图形语言:

A ?? ? ? ? AB ? ? . B ?? ?
?

A

B

剖析: 公理 1 的内容反映了直线与平面的位置关系, 公理 1 的条件是 “线上两点在平面内” , 结论是“线上所有的点在平面内” 。从集合的角度看,这个公理就是说,如果一条直线(点 集)中有两个元素(点)属于一个平面(点集) ,那么这条直线就是这个平面的真子集。公 理 1 说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平” ,通过直线的“无 限延伸”来描述平面的“无限延展性” ,它既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法. 用途:①判定点在平面内;②判定直线是否在平面内的依据;③验证一个面是否是平面 (2)公理 2 文字语言: 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

A, B, C 不共线 ? ? 符号语言: A, B , C ? ? ? ? ? 与 ? 重合 (或者:∵ A, B, C 不共线,∴存在唯一的 A, B, C ? ? ? ?
平面 ? ,使得 A, B, C ? ? .) 图形语言: A B C

?

剖析:公理 2 中的条件是“过不在同一直线上的三点” ,结论是“有且只有一个平面” ,条 件中的“三点”是条件的骨干,不会被忽视,但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗 忘,因为经过一点、两点或同在一条直线上的三点可以有无数个平面;过不在同一直线上的 四点,不一定有平面,因此要重视这一条件的重要性。 (4)公理 2 的三个推论 推论 1 文字语言: 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 符号语言: A ? a ? 存在唯一的平面 ? ,使得 A ?? , l ? ? 图形语言: 推论 2 文字语言: 经过两条相交直线有且只有一个平面

A

B C

?

王新敞
奎屯

新疆

符号语言: a ? b ? P ? 存在唯一的平面 ? ,使得 a, b ? ? 图形语言: 推论 3 文字语言: 经过两条平行直线有且只有一个平面

a b

a

?

b

符号语言: a // b ? 存在唯一的平面 ? ,使得 a, b ? ? 图形语言: 说明:公理 2 及其三个推论中均出现“有且只有一个” , “有且只有一个”的含义分两 部分理解, “有”说明图形存在,但不唯一, “只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但 不保证符合条件的图形存在, “有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯 一性.在数学语言的叙述中, “确定一个” , “可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是 同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证. 公理 2 及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径,而确定平面是将空间问 题转化为平面问题的重要条件, 这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用 平面几何的知识来解决,是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法. 用途:①确定平面;②证明两个平面重合 ③证明点、线共面 公理 3 文字语言: 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的 集合是一条过这个公共点的直线 ? A ?? ? 符号语言: ? ? A?l ? ? ? ? A? ? ? a 图形语言:
?

剖析: 公理 3 的内容反映了平面与平面的位置关系。 公理的条件简言之是 “两面共一点” , 结论是“两面共一线,且过这一点,线唯一” ,公理 2 说明对于两个不重合的两个平面,只 要它们有公共点,它们就是相交的位置关系,交集是一条直线。公理 3 揭示了两个平面相交 的主要特征,是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法. (今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)) 用途:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上 (3)

二、典型例题分析与方法总结
问题一:平面的概念及表示的理解 通过类比直线来理解平面的概念,抓住平面的两个基本特征:一是“平” ,二是“无限延 展” 。观察、类比形成对平面概念的感性理解 例 1、 判断下列说法是否正确?并说明理由 (1)平行四边形是一个平面; (2)任何一个平面图形都是一个平面; (3)空间图形中先画的线是实线,后画的线是虚线;

解: (1)不正确。平行四边形它仅是平面上四条线段构成的图形,它是不能无限延伸的。 (在立体几何中,我们通常用平行四边形表示平面,但绝不是说平行四边形就是平面) (2)不正确。平面图形和平面是两个完全不同的两个概念,平面图形是有大小的,它是不 可能无限延伸的。要严格区分“平面图形”与“平面”这两个概念。 (3)不正确。立体几何中遵循被平面遮住的部分画虚线,能够看得见的线画成实线(无论 是题中原有的,还是引入的辅助线) 。 问题二:借用集合符号反映空间点、线、面 的位置关系 准确使用符号语言表示空间点、线、面 的位置关系,文字语言、符号语言、图形语言 互译问题 例 2、 用符号语言表示下列语句,并画出图形 (1)三个平面 ? 、 ? 、 ? 相交于一点 P,且平面 ? 与平面 ? 交于 PA,平面 ? 与 ? 平面交于 PB ,平面 ? 与平面 ? 交于 PC ;

(2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD,平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC

问题三:平面的基本性质的应用 1、证明若干点共线问题 只需证明这些点同在两个相交平面内即可,根据公理 2,找出相关的平面与平面的交线, 说明这些点都在两个平面的交线上。

例 3、 已知 ? ABC 在平面 ? 外,它的三边所在的直线分别交 ? 于 P 、 Q 、 R ,求证: P 、
Q 、 R 在同一直线上。

A C B

?
R Q P

评注:在空间中,证明点共线的问题,常转化为证明点在直线上,而证明点在直线上,可设 法找两个平面,使该直线是这两个平面的交线,再证明该点是这两个平面的公共点,由公理 2 知,两个平面的公共点必在这两个平面的公共直线上。 2、 证明三线共点问题

只需证明其中两线相交,然后证另一条也过交点 ,由公理 2,可以证明交点在过第三条 直线的两个平面上。 例 4、 点 A ? 平面 BCD , E , F , G, H 分别是 AB, BC, CD, DA 上的点,若 EH 与 FG 交于

P。
求证: P 在直线 BD 上
王新敞
奎屯 新疆

A E B H D G F C P

证明:∵ EH ? FG ? P ,∴ P ? EH , P ? FG , ∵ E , H 分别属于直线 AB, AD , ∴ EH ? 平面 ABD ,∴ P ? 平面 ABD , 同理: P ? 平面 CBD , 又∵平面 ABD ? 平面 CBD ? BD , 所以, P 在直线 BD 上。 3、证明点线共面问题 方法有二: 法一:先用部分点、线确定一个平面,再证余下的点线都在此平面内; 法二:分别用部分点线确定两个平面,再证它们重合 例 5、已知一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面。 变式:不共点的四条直线两两相交,求证:四条直线在同一个平面内

评注: 分别由某些直线确定出平面, 然后证明这几个平面重合是证明线共面问题的常用方法, 根据是公理 2 及其推论, 由唯一性证明重合; 证明线共面还可以用部分条件先确定一个平面, 再证其余的线在该平面内。 问题四:关于空间图形的截面问题 例 6、如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 8cm , M 、 N 、 P 分别是 AB 、 A1 D1 、 BB1 的 中点, (1)画出过 M 、 N 、 P 三点的平面与平面 A1 B1C1 D1 的交线以及与平面 BB1C1C 的交线; (2)设过 M 、 N 、 P 三点的平面与 B1C1 交于 Q ,求 PQ 长。
D
C

A

M
B

P
N
A1 D1 C1

B1

问题六:立体几何中的计数问题 例 7、 (1)直线与平面公共点的个数可能为_____________; (2)一条直线和这条直线外不共线的三点能确定的平面的个数为_____________; (3)四条平行直线最多能确定_____________个平面; (4)同时过空间四点可以作_____________个平面; (5)四条直线相交于一点,它们能确定的平面的个数为_____________;

本讲小结:平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础.平面,是现实世界存在着 的客观事物形态的数学抽象, 在立体几何中是只描述而不定义的原始概念, 但平面是把三维 空间图形转化为二维平面图形的主要媒介, 在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁 作用. “平面”也是空间图形的基本元素,很多空间图形的面都是平面图形,平面图形及其性 质是初中平面几何的主要学习内容,因此,要建立起“空间问题平面化”的观点.


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