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2012年新课标版高考题库考点26 不等关系与不等式


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考点 26
一、选择题

不等关系与不等式


1.(2012·浙江高考理科·T9)设 a>0,b>0.( (A)若 2a+2a=2b+3b,则 a>b (C)若 2a-2a=2b-3b,则 a>b

(B)若 2a+2a=2b+3b,则 a<b (D)若 2a-2a=2b-3b,则 a<b

【解题指南】构造函数,利用其单调性建立不等式. 【解析】选A.设 f ( x) ? 2 x ? 2 x ,则 f ( x) ? 2 x ? 2 x 为增函数, 而 ? 2a ? 2a ? ? ? 2b ? 2b ? ? b ? 0 ,∴ a ? b ,故选项A正确. 2.(2012·浙江高考文科·T10)设 a>0,b>0,e 是自然对数的底数( (A)若 ea+2a=eb+3b,则 a>b (B)若 ea+2a=eb+3b,则 a<b (C)若 ea-2a=eb-3b,则 a>b (D)若 ea-2a=eb-3b,则 a<b 【解题指南】构造函数,转化为函数值之间的大小关系. 【解析】选 A.设 f(x)=ex+2x,则 f(x)=ex+2x 为增函数,而 (ea ? 2a)-(eb ? 2b)=b ? 0, ∴a ?b. 3.(2012·湖南高考文科·T7)设 a>b>1, c ? 0 ,给出下列三个结论:
c c c c ① a > b ;② a < b ;③ logb (a ? c) ? log a (b ? c) .



其中所有的正确结论的序号是

.
-1-

(A)①

(B)①②

(C)②③

(D)①②③

【解题指南】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图象与性质、 对数函数的图象与性质、不等关系,考查了数形结合的思想.函数概念与基本初 等函数Ⅰ是常考知识点.由不等式的性质可得①正确,幂函数的单调性可得②正 确,引入中间变量
log a (a - c )

可得③正确.

1 1 c c ? 【解析】选 D. 由 a>b>1 知 a b ,又 c ? 0 ,所以 a > b ,①正确;由指数函数

的图象与性质知②正确;由 a>b>1, c ? 0 知 a ? c ? b ? c ? 1 ? c ? 1 ,由对数函数的 图象与性质知③正确.故选 D. 二、填空题 4.(2012·浙江高考理科·T17)设 a∈R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1) ≥0,则 a=__________. 【解题指南】要使不等式成立,需两个因式同正同负. 【解析】对 a 进行分类讨论,通过构造函数,利用数形结合解决. (1)当 a=1 时,不等式可化为:x>0 时均有 x2-x-1 ? 0,由二次函数的图象 知,显然不成立,?a ? 1. (2)当 a<1 时,?x>0,?(a-1)x-1<0,不等式可化为:x>0 时均有 x2-ax-1 ? 0,
?二次函数 y=x -ax-1 的图象开口向上,?x>0 时不等式 x -ax-1 ? 0
2 2

不能均成立,?a<1 不成立. (3)当 a>1 时,令 f ( x) =(a-1)x-1, g( x) = x2-ax-1,两函数的图象均过定 点(0,-1),?a>1,? f ( x) 在(0,+∞)上单调递增,且与 x 轴交点为( 0),即当 x∈(0,
1 , a ?1

1 1 )时, f ( x) <0,当 x∈( ,+∞)时, f ( x) >0. a ?1 a ?1
-2-

又?二次函数 g( x) = x2-ax-1 的对称轴为 x= >0,则只需 g( x) = x2-ax-1 与 x 轴的
1 ,0)重合,如图所示, a ?1 1 则命题成立,即( ,0)在 g( x) 的图 a ?1 1 a 象上,所以有( )2-1=0,整理 a ?1 a ?1 3 得 2a2-3a=0,解得 a= ,a=0(舍去). 2 3 综上可知 a= . 2 a 2

右交点与点(

3 【答案】 2

x2 ? 9 ?0 5.(2012·江西高考文科·T11)不等式 x ? 2 的解集是___________.

【解题指南】将分式不等式等价转化为整式不等式,再用“穿根法”得不等式 的解集.
x ? 3) ? ,用穿根法求得不等式的解集为 0 【解析】不等式可化为 ( x ? 3)(x ? 2)(

? ?3, 2? ? ? 3,??? .
【答案】 ?
?3, 2 ? ? ? 3, ?? ?

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-3-


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