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数学(理)一轮教学案:第十章第5讲 圆锥曲线的综合应用 Word版含解析


第 5 讲 圆锥曲线的综合应用 考纲展示 命题探究 考点一 轨迹与轨迹方程 1 “曲线的方程”与“方程的曲线” 在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合 或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关 系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线. 2 求动点的轨迹方程的步骤 (1)建系——建立适当的坐标系; (2)设点——设轨迹上的任一点 P(x,y); (3)列式——列出动点 P 所满足的关系式; (4)代换——依关系式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其 转化为关于 x、y 的方程,并化简; (5)证明——证明所得方程即为符合条件的动点轨迹方程. 注意点 求轨迹与轨迹方程时的注意事项 (1)区分“求轨迹”与“求轨迹方程”的不同 一般来说,若遇“求轨迹方程”,求出方程就可以了;若是“求 轨迹”,求出方程还不够,还应指出方程所表示的曲线的类型,有时 候,问题仅要求指出轨迹的形状,如果应用“定义法”求解,可不求 轨迹方程. (2)求出动点的轨迹方程后,要检验一些特殊点,通常是轨迹与 已知曲线的交点,这些点往往是满足轨迹方程的,但不是所求轨迹上 的点. 1.思维辨析 (1)f(x0, y0)=0 是点 P(x0, y0)在曲线 f(x, y)=0 上的充要条件. ( (2)方程 x2+xy=x 的曲线是一个点和一条直线.( y2.( ) (4)方程 y= x与 x=y2 表示同一曲线.( 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× ) x2 y2 B.144+169=1(x≠0) x2 y2 D.25+169=1(y≠0) ) ) ) (3) 到两条互相垂直的直线距离相等 的点的轨迹方程是 x2 = 2.设点 M(0,-5),N(0,5),△MNP 的周长为 36,则△MNP 的 顶点 P 的轨迹方程为( x2 y2 A.25+169=1(x≠0) x2 y2 C.169+25=1(y≠0) 答案 解析 B |PM|+|PN|=36-10=26>|MN|,但 P 不与 M,N 共线,所 以 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的且去掉长轴端点的椭圆,又 c=5,a =13,所以 b2=169-25=144.故选 B. 3.已知动点 P 在曲线 2x2-y=0 上移动,则点 A(0,-1)与点 P 连线中点的轨迹方程是( A.y=2x2 1 C.y=4x2-2 答案 解析 C 设 AP 中点为(x,y),则 P(2x,2y+1)在 2x2-y=0 上,即 ) B.y=8x2 1 D.y=4x2+2 1 2(2x)2-(2y+1)=0,所以 y=4x2-2. [考法综述] 求曲线的轨迹方程,并对所求的曲线进一步拓 展探求其他相关问题,综合性很强,难度较大. 命题法 求曲线的轨迹或轨迹方程 典例 已知两个定圆 O1 和 O2,它们的半径分别是 1 和 2,且 |O1O2|=4.动圆 M 与圆 O1 内切,又与圆 O2 外切,建立适当的坐标系, 求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线. [解] 如图所示,以 O1O2 的中点 O 为原点,O1O2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系. 由|O1O2|=4,得 O1(-2,0)、O2(2,0).设动圆 M 的半径为 r,则由 动圆 M 与圆 O1 内切, 有|MO1|=r-1; 由动圆 M 与圆 O2 外切,有|MO2|=r+2.

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