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抽象函数专题练习试卷及解析


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抽象函数专题练习试卷及解析

1.2015 年辽宁大连教育学院高一第一学期期末考试文科数学试卷第 8 题 下列结论:①函数 y ?

x 2 和 y ? ( x )2 是同一函数;②函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [1, 2] ,
3 ] ;③函数 y ? log2 ( x2 ? 2x ? 3) 的递增区间为 (?1, ??) ; 3

则函数 f (3x 2 ) 的定义域为 [0,

④若函数 f (2 x ? 1) 的最大值为 3 ,那么 f (1 ? 2 x) 的最小值就是 ?3 其中正确的个数为 ( A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 备注:答案在文档后面 2.2015 年辽宁省沈阳市二中高一上学期 10 月月考数学试卷第 12 题 )

? 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( 0 )

0f , x (? f )

?x ( 1?


) f

x 1 1, ? (f ) x ,且 (当 ) 5 2

0 ? x1 ? x2 ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (
1 2 1 B. 16 1 C. 32 1 D. 64
A.

1 ) 等于( 2007

3.2013 年辽宁省铁岭市六校协作高三第一次联合考试理科数学试卷第 11 题

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已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,且 f ( x ? )[1 ? f ( x)] ? 1 ? f ( x) , f (2) ? 3 ? 2 ,则

3 2

f ? 2009? 值为(
A. 2 ? 3 B. 2 ? 3 C.



3?2

D. ?2 ? 3

4.2013 年山东省聊城三中高三上学期第二次(期中)检测数学理科试题第 11 题

? f? ( x? 2) 已 知 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), f (x ) , 方 程 f ( x ) ? 0 在 [0,1] 内 有 且 只 有 一 个 根
x? 1 ,则 f ( x) ? 0 在区间 ?0, 2013? 内根的个数为( 2


A. 2011 B. 1006 C. 2013 D. 1007

5.2015 年安徽省合肥市高三第三次教学质量检测文科数学试卷第 14 题

) ( 2 ? .若存在整数 m , 已知函数 f ( x ) 对任意实数 x ,y 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且 f1
使得 f (?2) ? m ? m ? 4 ? 0 ,则 m 取值的集合为______.
2

6.2015 年辽宁省沈阳市二中高一上学期 10 月月考数学试卷第 16 题 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 ,且函数 f ( x ? 1) 为奇函数,对于下列

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命题: ①函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 4) ? f ( x) ;②函数 f ( x ) 图象关于点 (1, 0) 对称;③函数 f ( x ) 的图 象关于直线 x ? 2 对称;④函数 f ( x ) 的最大值为 f (2) ;⑤ f (2009) ? 0 . 其中正确的序号为_________.

7.2013 年江苏省启东中学高二下学期期中考试文科数学试卷第 18 题 已知函数 f ( x ) 定义在 (?1,1) 上,对于任意的 x, y ? (?1,1) ,有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 .

x? y ), 1 ? xy

(1) 验证函数 f ( x) ? ln

1? x 是否满足这些条件; 1? x a?b a ?b ) ? 1, f ( ) ? 2 ,且 | a |? 1,| b |? 1,求 f (a), f (b) 的值. (2) 若 f ( 1 ? ab 1 ? ab 1 1 (3) 若 f ( ? ) ? 1 ,试解关于 x 的方程 f ( x) ? ? . 2 2

8.2013 年福建省厦门一中高一上学期期中数学试卷第 21 题 已知函数 f ( x)( x ? R) 满足: 对于任意实数 x, y , 都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 且当 x ? 0 时, f ( x) ? ?

1 恒成立, 2

1 恒成立; 2

(1) 求 f (0) 的值,并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数;
(2) 判定函数 f ( x) 在 R 上的单调性,并加以证明;

?a, (a ? b) (3) 若函数 F ( x) ? f (max{? x, 2x ? x2}) ? f (?k ) ? 1 (其中 max{a , b} ? ? )有三个 ?b, (a ? b)
零点 x1 , x2 , x3 ,求 u ? ( x1 ? x2 ? x3 ) ? x1 ? x2 ? x3 的取值范围.

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9.2015 年重庆市南开中学高三 9 月月考理科数学试卷第 22 题 已知函数 f ( x ) 满足对任意实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1成立,且当 x ? 0 时,

f ( x) ? ?1 , f (1) ? 0 .

(1) 求 f (5) 的值;
(2) 判断 f ( x) 在 R 上的单调性,并证明;

(3) 若 对 于 任 意 给 定 的 正 实 数 ? , 总 能 找 到 一 个 正 实 数 ? , 使 得 当 | x ? x0 |? ? 时 ,

| f ( x )? f ( x | ? ,则称函数 f ( x) 在 x ? x0 处连续. 0 )?
试证明: f ( x ) 在 x ? 0 处连续.

10.2013 年重庆第十八中学高一上 10 月月考数学试卷第 20 题 已知函数 f ( x ) 满足对一切 x1 , x2 ? R 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ,且 f (1) ?0 ,当

x ? 1 时有 f ( x) ? 0 .

(1) 求 f (?1) 的值;
(2) 判断并证明函数 f ( x) 在 R 上的单调性;

(3) 解不等式: [ f ( x2 ? 2x)]2 ? 2 f ( x2 ? 2x ?1) ?12 ? 0 .

11.2013 年辽宁沈阳同泽女中高二下学期期中考试文科数学试题第 21 题 定义在 R 上的函数 f ( x ) , f (0) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 1 ,且对任意实数 a , b ,有

f ( a ? b) ? f ( a) ? f ( b),求证:

(1) f (0) ? 1
(2) 证明: f ( x) 是 R 上的增函数;

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(3) 若 f ( x) ? f (2x ? x2 ) ? 1 ,求 x 的取值范围.

12.2013 年北京市东城区(南片)高一上学期期末考试数学试题第 21 题 已知函数 f ( x ) 对任意实数 x , y 都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y) , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,

f (?1) ? ?2 ,求 f ( x) 在 [?2,1] 上的值域.

13.2013 年浙江苍南求和中学高一上学期期中考试数学试题第 18 题 已知 f ? x ? 是定义在 (0, ??) 上的增函数,且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? ?1

1 2

(1) 求证: f (2) ? 1
(2) 求不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 1 的解集.

答案和解析
1.2015 年辽宁大连教育学院高一第一学期期末考试文科数学试卷第 8 题 答案:A 分析:因为函数 y ?

x 2 的定义域为 R , y ? ( x )2 的定义域为 x ? [0, ??) 所以①不成立.

2 2 由函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [1, 2] ,所以 0 ? x ? 1 ? 1 所以函数 f (3x ) 要满足 0 ? 3x ? 1 ,

所以函数 f (3x ) 的定义域为 [?
2 2

3 3 , ] 故②不成立,因为函数 y ? log2 ( x2 ? 2x ? 3) 的定 3 3

义域为 x ? 2 x ? 3 ? 0,? x ? ?3 或 x ? 1 所以递增区间为 (?1, ??) 不正确,所以③不成立. 因为函数 y ? f (2 x ? 1) 与函数 y ? f (1 ? 2 x) 的图像关于 y 轴对称,所以④不正确.故选 A

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2.2015 年辽宁省沈阳市二中高一上学期 10 月月考数学试卷第 12 题 答案:C

1 x 1 , f (1) ? 1 ,又 f ( ) ? f ? x ? , 2 5 2 1 1 4 1 1 4 ? f ( ) ? , f ( ) ? ,又 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,所以若 x ? [ , ] , 5 2 5 2 5 5 1 x 1 1 4 1 1 1 4 f ( x) ? , f ( ) ? f ( x) , 则 在 [ n , n ] 区 间 上 f ( x ) ? n , 又 ?[ 5 , 5 ] , 2 5 2 5 5 2 2007 5 5 1 1 ?f( )? . 2007 32
分析:由 f (0) ? 0, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 ,得 f ( ) ?

1 2

3.2013 年辽宁省铁岭市六校协作高三第一次联合考试理科数学试卷第 11 题 答案:A 分析:∵ f ( x ? )[1 ? f ( x)] ? 1 ? f ( x) ,? f ( x ? ) ?

3 2

3 2

3 1 ? f ( x) ,令 x ? x ? 代入上式得, 2 1 ? f ( x)

1? 3 1? 1? f (x ? ) 1? 2 ?? f ( x ? 3) ? 3 1? 1? f (x ? ) 1? 2 1?

f ( x) 1 f ( x) ?? , 令 x ? x?3 代 入 上 式 得 , f ( x) f ( x) f ( x)

f ( x ? 6) ? ?

1 ? f ( x) ,? 函数 f ( x ? 3) 1 1 ? ? 2 ? 3 ,故选 A . f (2) 3?2

的周期 T ? 6 ,? f (2009) ? f (6 ? 334 ? 5) ? f (5) ? ?

4.2013 年山东省聊城三中高三上学期第二次(期中)检测数学理科试题第 11 题 答案:C 分析: f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ( x ? 2) ∴ f ( x ) 是一个周期为 2 的函数

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f ( x) ? f (? x ? 2) ? f (? x)
∴ f ( x ) 是一个偶函数

1 , 2 1 则 f ( x) ? 0 在 [?1, 0] 内有且只有一个根 x ? ? 2
∵ f ( x) ? 0 在 [0,1] 内有且只有一个根 x ? 又∵ f ( x ) 周期为 2 ,∴ f ( x ) 在 [1, 2] 内有且只有一个根 x ?

3 2

[0, 2] 为 f ( x) 的一个周期函数,有 2 根
2013 ? 1006T ? 1

[2012, 2013] 等价于 [0,1] 也只有1 根
故 [0, 2013] 内根的个数为 2013 个

5.2015 年安徽省合肥市高三第三次教学质量检测文科数学试卷第 14 题 答案: {?1, 0} 分析:

6.2015 年辽宁省沈阳市二中高一上学期 10 月月考数学试卷第 16 题 答案:①②③⑤

(x ? 2 ) ? 2 ] ?? (f x? 2 ) ? ( f) x 分析: 由 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 得 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 则 f[



所以 f ( x ) 的周期为 4 ,则①对,由 f ( x ? 1) 为奇函数得 f ( x ) 的图像关于点 (1, 0) 对称,则 ②对,由 f ( x ? 1) 为奇函数得 f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,令 x ? x ? 1 得 f (? x ? 2) ? ? f ( x) , 又 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , ? f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 则 ③ 对 , 由 f (? x ? 1) ? ?f ( x ? 1) 得

f (1) ? 0 ,故 f (2009) ? f (1) ? 0 .

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7.2013 年江苏省启东中学高二下学期期中考试文科数学试卷第 18 题 答案:见解析 分析: (1) 由

1? x ? 0 可得 ?1 ? x ? 1 ,即其定义域为 (?1,1) 1? x

又 f ( x) ? f ( y) ? ln

1? x 1? y 1? x 1? y ? ln ? ln( ? ) 1? x 1? y 1? x 1? y
1?

x? y 1 ? x ? y ? xy x? y 1 ? xy ? ln ? ln ? f( ) x? y 1 ? x ? y ? xy 1 ? xy 1? 1 ? xy
又当 x ? 0 时, 1 ? x ? 1 ? x ? 0 ,∴ 故 f ( x) ? ln

1? x 1? x ? 1 ,∴ ln ?0 1? x 1? x

1? x 满足这些条件. 1? x

(2) 令 x ? y ? 0 ,∴ f (0) ? 0 ,令 y ? ? x ,有 f (? x) ? f ( x) ? f (0) ? 0 ,
∴ f ( x ) 为奇函数 由条件得 ?

? f (a) ? f (b) ? 1 3 1 ,解得 f (a ) ? , f (b) ? ? . 2 2 ? f (a) ? f (b) ? 2
x1 ? x2 ? 0, 1 ? x1 x2

(3) 设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 x1 ? x2 ? 0,1 ? x1 x2 ? 0,

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( ∴ f ( x ) 在 (?1,1) 上是减函数 ∵ f ( ? ) ? 1 ,∴ f ( ) ? ?1

x1 ? x2 ) ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 1 ? x1 x2

1 2

1 2

原方程即为 2 f ( x) ? ?1 ? f ( x) ? f ( x) ? f ( ∴

2x 1 )? f( ), 2 1? x 2

2x 1 ? ? x2 ? 4x ? 1 ? 0 ? x ? 2 ? 3 2 1? x 2

又∵ x ? (?1,1) ,∴ x ? 2 ? 3

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故原方程的解为 x ? 2 ? 3 .

8.2013 年福建省厦门一中高一上学期期中数学试卷第 21 题 答案: (1) f ( x ) ? x ?

1 ; (2) 函数 f ( x ) 在 R 上单调递增; (3) 0 ? u ? 2 2 1 1 ? f (0) ? ? 2 2

分析: (1) 取 x ? y ? 0 代入题设中的 式得: f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ? 特例: f ( x ) ? x ? (验证

1 2

1 1 1 1 1 1 1 f ( x) ? x ? , f ( y ) ? y ? , f ( x ? y ) ? x ? y ? ? ( x ? ) ? ( y ? ) ? ? f ( x) ? f ( y ) ? 2 2 2 2 2 2 2
)

(2) 判定: f ( x) 在 R 上单调递增
证明:任取 x1 , x2 ? R, 且 x1 ? x2 ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (( x2 ? x1 ) ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ? 0( 2 1 2

1 ? f ( x1 ) 2

∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴ f ( x2 ? x1 ) ? ? ). ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x ) 在 R 上单调递增

(3) 由 F ( x) ? 0 ? f (max{? x, 2x ? x2}) ? f (?k ) ? 1 ? 0
? f (max{? x, 2 x ? x 2 }) ? f (?k ) ?
又由 (2) 知 f ( x ) 在 R 上单调递增, 所以 f (max{? x, 2x ? x } ? (?k )) ? f (0) ? max{? x, 2x ? x } ? (?k ) ? 0
2 2

1 1 ?? 2 2

? k ? max{? x, 2x ? x2}.

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2

构造 g ( x) ? max{? x, 2x ? x2}, 由 ? x ? 2 x ? x ? x ? 0 或 x ? 3 ,∴ g ( x) ? ?

?? x, x ? (??,0) ? (3, ??) ,于是,题意等价于: 2 ?2 x ? x , x ?[0,3]

y ? k 与 y ? g ( x) 的图象有三个不同的交点 ( 如上图,不妨设这三个零点 x1 ? x2 ? x3 ) ,
则 0 ? k ? 1, x1 ? ?k , x2 , x3 为 2 x ? x ? k 的两根, 即 x2 , x3 是一元二次方程 x ? 2 x ? k ? 0
2 2

的两根,∴ ?

? x2 ? x3 ? 2 , ? x2 ? x3 ? k

∴ u ? ( x1 ? x2 ? x3 ) ? x1x2 x3 ? 2 ? k ? (?k )k ? 2 ? k ? k 2 , 0 ? k ? 1 (变量归一法), 由u ? 2? k ? k ?
2

9 1 ? (k ? ) 2 在 k ? (0,1) 上单调递减,于是可得: 0 ? u ? 2 . 4 2

9.2015 年重庆市南开中学高三 9 月月考理科数学试卷第 22 题 答案:见解析 分析: (1) f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1 ,? f (5) ? f (1) ? 4 ? 4 ;

(2) 设 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? 1 ? ?1 ? f ( x2 ) ?1 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

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? f ( x) 在 R 上单调递增;

(3) 令 y ? 0 ,得 f ( x) ? f ( x) ? f (0) ? 1 ,? f (0) ? ?1 ,对任意 n ? N * ,
1 n ?1 1 n?2 f (1) ? f ( ) ? f ( ) ?1 ? 2 f ( ) ? f ( )?2? n n n n 1 1 ? nf ( ) ? f (0) ? n ? nf ( ) ? n ? 1 , n n 1 1 ? f ( ) ? ? 1 , f (n) ? f (n ?1) ? 1 ? f (n ? 2) ? 2 ? f (1) ? n ?1 ? n ?1 , n n
又 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 1 ,? f (? x) ? ?2 ? f ( x) , 要证 | f ( x) ? f ( x0 ) |? ? ?| f ( x ? x0 ) ? 1|? ? ? ?? ?1 ? f ( x ? x0 ) ? ? ?1 ,对任意 ? ? 0 , 当 ? ? N 时,取 ? ? ? ,则当 | x ? x0 |? ? 即 ?? ? x ? x0 ? ? 时,由 f ( x ) 单增可得
*

f (?? ) ? f ( x ? x0 ) ? f (? ) 即 ?2 ? (? ?1) ? f ( x ? x0 ) ? ? ?1 ;
当 ? ? N 时,必存在 m ? N , n ? N * 使得 m ?
*

1 1 1 ? ? ? m ? ,取 ? ? m ? ,则当 n ?1 n n ?1

| x ? x0 |? ?
1 1 1 1 ? x ? x0 ? m ? ) ? f ( x ? x0 ) ? f (m ? ), 时,有 f (?m ? n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 1 1 1 1 ) ? m? ? 1 ? ? ? 1 , f (?m ? ) ? ?m ? ? 1 ? ?? ? 1 而 f (m ? n ?1 n ?1 n ?1 n ?1
即 ?m ?

??? ?1 ? f ( x ? x0 ) ? ? ?1,综上, f ( x) 在 x ? x0 处连续.

10.2013 年重庆第十八中学高一上 10 月月考数学试卷第 20 题 答案: (1) f (?1) ? 4 ; (2) 见解析; (3) {x | ?1 ? x ? 0 ,或 2 ? x ? 3} 分析: (1) 令 x1 ? x2 ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) ? 2 , f (0) ? 2 , 再令 x1 ? ?1, x2 ? 1 ,得 f (?1 ? 1) ? f (?1) ? f (1) ? 2 , 即 2 ? f (?1) ? 2 ,从而 f (?1) ? 4 .

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(2) 任取 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 , ?x ? x2 ? x1 ? 0 ,

?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? f (?x) ? 2
? f (?x ? 1 ? (?1)) ? 2 ? f (?x ? 1) ? f (?1) ? 4 ? f (?x ? 1) .
∵ ?x ? 0 ,?1 ? ?x ? 0,? f (1 ? ?x) ? 0 ,即 ?y ? 0 .

? f ( x) 在 R 上是减函数.

(3) 由条件知, f ( x ? 1) ? f ( x) ? f (1) ? 2 ? f ( x) ? 2 ,
设 t ? x ? 2 x ? 1 ,则 f 2 (t ? 1) ? 2 f (t ) ?12 ? 0 ,即 [ f (t ) ? 2]2 ? 2 f (t ) ?12 ? 0 ,
2

整理,得 f 2 (t ) ? 2 f (t ) ? 8 ? 0 , ?2 ? f (t ) ? 4 , 而 ?2 ? ?2 ? f (1) ? f (1) ? f (2), 4 ? f (?1) ,不等式即为 f (2) ? f (t ) ? f (?1) , 又因为 f ( x ) 在 R 上是减函数,??1 ? t ? 2 ,即 ?1 ? x ? 2 x ? 1 ? 2 ,
2

? x2 ? 2 x ? 0 ,从而所求不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 0 ,或 2 ? x ? 3} . ? 2 ?x ? 2x ? 3 ? 0

11.2013 年辽宁沈阳同泽女中高二下学期期中考试文科数学试题第 21 题 答案:见解析 分析: (1) 令 a ? b ? 0, 则 f (0) ? ? f (0) ? ∵ f (0) ? 0 ∴ f (0) ? 1
2

(2)





x2 ? x1





f(

2

?x )

01 f? ,

x

2

( ? ∴ )x 1 ?

0x

,

f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 )
∴ f ( x ) 在 R 上是增函数 8
2 2 (3) f ( x)(2 x ? x 2 ) ? f ? ? x ? (2 x ? x ) ? ? ? f ? ? x ? 3x ? 又 1 ? f (0) , f ( x) 在 R 上递增

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∴ 由 f (3x ? x2 ) ? f (0) 得: x ? x ? 0 ? 0 ? x ? 3
2

12.2013 年北京市东城区(南片)高一上学期期末考试数学试题第 21 题 答案:见解析 分析:设 x, x ? R ,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,由条件当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ,所以

f ( x2 ? x1 ) ? 0
又 f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ,所以 f ( x ) 为增函数. 令 y ? ? x ,则 f (0) ? f ( x) ? f (? x) 又令 x ? y ? 0 得 f (0) ? 0 ,所以 f (? x) ? ? f ( x) .即 f ( x ) 为奇函数. 所以 f (1) ? ? f (?1) ? 2, f (?2) ? 2 f (?1) ? ?4 所以 f ( x ) 在 [?2,1] 上的值域为 [?4, 2] .

13.2013 年浙江苍南求和中学高一上学期期中考试数学试题第 18 题 答案: (1) 见解析

(2) ?x | 3 ? x ? 6?
分 析 : ( 1 )由 题 意 得 f (1) ? f (1?1) ? f (1) ? f (1) ? 2 f (1) ? f (1) ? 0 , 进 一 步 得 到

1 1 f (1) ? f (2 ? ) ? f (2) ? f ( ) ? 0 . 2 2

(2) 不等式化为 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 1 ∵ f (2) ? 1 ∴ f ? x ? ? f ( x ? 3) ? f ? 2? ? f (2x ? 6)
∵ f ? x ? 是 (0, ??) 上的增函数∴解得 ?x | 3 ? x ? 6?


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(打五份)抽象函数专题训练
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