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课件2-2-2反证法


第 二 章

推理与证明

2.2

直接证明与间接证明

2.2.2

反证法

目标导航

[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.

[目标解读] 1.重点是体会反证法的思考过程、特点,培养逆向思维能 力. 2.难点是利用反证法证明数学命题.

情境切入
著名的“道旁苦李”的故事:王戎小时候,爱和小朋友在路 上玩耍.一天,他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一 哄而上,去摘李子,独有王戎没动.等到小朋友摘了李子一尝, 原来是苦的.他们都问王戎:“你怎么知道李子是苦的呢?”王 戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这棵树上却结 满了李子,所以李子一定是苦的.”你知道王戎运用了什么思想 方法吗?

提示:王戎运用了反证法的思想.

自主预习

感悟教材

学与思

(对应学生用书 P52)

间接证明 的一种基本方法. 1.反证法是___________ 不成立 , 2. 假设原命题_________ 经过正确的推理, 最后得出矛盾, 原命题成立,这种证明方法叫 因此说明假设错误,从而证明了___________
做反证法. 3.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可

定义、公理、 已知条件 矛盾,或与_______ 假设 矛盾,或与_____________ 以是与__________ 定理、事实矛盾等. ___________

问题探究:在证明命题“若 p 则 q”的过程中,虽然否定了 结论 q,但在证明过程中,没有把“綈 q”当作条件利用,也推

出了矛盾或证得了结论,这种证明是反证法吗?

提示:不是,反证法是在假设原结论不成立的条件下推出矛 盾的,也就是说,之所以推出了矛盾,就是因为我们假设了原结 论不成立,故在用反证法时,必须把结论的否定作为条件使用, 否则,就不是反证法.

特别提醒
适合于用反证法证明的数学问题有否定性命题、 唯一性命题、 至少、至多问题以及一些必然性命题和一些基本定理等.

互动课堂

核心突破

导与练

(对应学生用书 P52)

要点一 反证法证明否(肯)定式命题 结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反证法, 通 过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命 题,然后用转化后的命题作为条件进行推理,很容易推出矛盾, 从而达到证题的目的.

例 1 已知数列{an}的通项公式是 an=n+ 3, 求证: 数列{an} 中任意不同的三项都不可能是等比数列. 【思路启迪】 该问题是一个否定性命题,可假设在{an}中 存在某不同的三项构成等比数列,然后推得矛盾,从而证明原命 题的正确性.

【证明】 假设{an}存在不同的三项 ap,aq,ar(p、q、r 互 不相等)构成等比数列.则 a2 ar, q=ap· 即(p+ 3)· (r+ 3)=(q+ 3)2, ∴pr+ 3(p+r)+3=q2+2 3q+3, ∴(pr-q2)+ 3(p+r-2q)=0,由于 p,q,r∈N*, ∴pr-q2=0 且 p+r-2q=0. p+r 2 于是 pr-( ) =0,得(p-r)2=0,故 p=r=q. 2

这与 p、q、r 互不相等相矛盾, 因此假设不成立,即{an}中任意不同的三项都不可能是等比 数列.

方法指导
(1) 当要证结论中含有 “ 不 ”“ 不是 ”“ 不可能 ”“ 不存 在”等词语的命题, 此类问题的反面比较具体, 适于应用反证法. (2)常见否定词语的否定形式

否定词语 否定词语的否定形式 没有 不大于 不等于 不存在 有 大于 等于 存在

x-2 已知 f(x)=a + (a>1),证明方程 f(x)=0 没有负数根. x+1
x

证明:假设 x0 是 f(x)=0 的负数根, x0-2 则 x0<0 且 x0≠-1 且 ax0=- , x0+1 x0-2 由 0<ax0<1?0<- <1, x0+1 1 解得2<x0<2,这与 x0<0 矛盾,所以假设不成立. 故方程 f(x)=0 没有负数根.

要点二 反证法证明唯一性命题 当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式 出现的命题时,由于反设结论易于导出矛盾,所以用反证法证明 唯一性比较简单.

例 2 用反证法证明: 过已知直线 a 外一点 A 有且只有一条直 线 b 与已知直线 a 平行. 【思路启迪】 由平行直线的定义可知过直线外一点至少可 以作一条已知直线的平行线.而“只有一条”可通过假设过点 A 有两条直线与直线 a 平行,由平行公理推出矛盾.

【证明】 由两条直线平行的定义可知,过点 A 至少有一条 直线与直线 a 平行. 假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直线 a 平行, 即 b∩b′ =A,b′∥a. 因为 b∥a, 由平行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′=A 矛盾, 所以假设错误,原命题成立.

方法指导
“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两 层意思.证明后一层意思时,采用直接证法往往会相当困难,因 此一般情况下都采用间接证法,即用反证法 ( 假设 “ 有另外一 个”,推出矛盾)证明.

过平面 α 内的一点 A 作直线 α,使得 a⊥α,求证:直线 a 是唯一的.

证明:假设这样的直线 a 不唯一,则过点 A 至少还有一条直 线 b,使得 b⊥α. ∵直线 a、b 是相交直线, ∴两直线 a、b 可以确定一个平面 β.设 α 和 β 相交于过点 A 的直线 c.∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.这样在平面 β 内,过点 A 就有两条直线 a、 b 垂直于直线 c, 这与平面内过直线上一点只能 作一条该直线的垂线矛盾, 所以假设不成立, 故直线 a 是唯一的.

要点三 反证法证明“至多”“至少”型命题 对于结论中含有“至多”、“至少”等词语的命题,若直接 从条件推证,解题方向不明确,过程不可推测,不易证明,则可 考虑用反证法证明. 反证法证明“至少”、“至多”型命题,可减少讨论情况, 目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么,避免出现错 误. 需仔细体会“至少有一个”、 “至多有一个”等表达的意义.

例 3 已知 a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 1 不能同时大于 . 4 1 1 【思路启迪】 不能同时大于 ,亦即至少有一个不大于 , 4 4 因此可用反证法证明.

1 【证明】 证法一:假设三式同时大于 , 4 1 1 1 即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> , 4 4 4 1 三式相乘,得(1-a)a· (1-b)b· (1-c)c> . 64 1-a+a 2 1 又(1-a)a≤( )= . 2 4 1 1 同理,(1-b)b≤ ,(1-c)c≤ . 4 4

1 以上三式相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤ , 64 1 这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c> 矛盾,故结论得证. 64

1 证法二:假设三式同时大于 .∵0<a<1,∴1-a>0. 4 ?1-a?+b ≥ ?1-a?b> 2 1 1 = . 4 2

?1-b?+c 1 ?1-c?+a 1 同理, ≥ , ≥ . 2 2 2 2 3 3 三式相加得 > ,矛盾,∴原命题成立. 2 2

方法指导
(1)当命题出现“至多”“至少”“唯一”等形式时,适合用 反证法. (2)“至多”“至少”“都”等词语的否定形式.

1+x 1+y 已知 x,y>0,且 x+y>2.试证: y , x 中至少有一个小 于 2.

1+x 1+y 证明:假设 , 都不小于 2,则 y x ?x+1 ? ≥2, y ? ?1+y ? x ≥2, ? ?x>0, ?y>0, ? ? ?1+x≥2y, ?1+y≥2x, 即? ?x>0, ? ?y>0,

得 x+y≤2.

这与 x+y>2 矛盾,故假设是错误的, 1+x 1+y 所以 y , x 中至少有一个小于 2.

易错盘点
(对应学生用书 P54)

易错点 反证法的推理中未用到结论的反设 典例已知实数 p 满足不等式(2p+1)(p+2)<0, 用反证法证明: 关于 x 的方程 x2-2x+5-p2=0 无实数根.

【错解】 假设方程 x2-2x+5-p2=0 有实数根,由已知实 1 数 p 满足不等式(2p+1)(p+2)<0,解得-2<p<-2,而关于 x 的 方程 x2-2x+5-p2=0 的根的判别式 Δ=4(p2-4). 1 1 2 ∵-2<p<- ,∴ <p <4,∴Δ<0,即关于 x 的方程 x2-2x 2 4 +5-p2=0 无实数根.

【错因分析】 论,故不是反证法.

错解在解题的过程中并没有用到假设的结

【正确解答】 假设方程 x2-2x+5-p2=0 有实数根,则该 方程的根的判别式 Δ=4-4(5-p2)≥0,解得 p≥2 或 p≤-2① 而由已知条件实数 p 满足不等式(2p+1)(p+2)<0,解得- 1 2<p<- ② 2 数轴上表示①②的图形无公共部分,故假设不成立,从而关 于 x 的方程 x2-2x+5-p2=0 无实数根.

误区警示
利用反证法进行证明时,首先对所要证明的结论进行否定性 的假设,并以此为条件进行归谬,得到矛盾,则原命题成立.

1 2 试判断: 抛物线 y=2x -1 上是否存在着关于直线 y=x 对称 的两点?证明你的结论.

证明:抛物线上不存在关于直线 y=x 对称的两点. 1 2 证明如下:假设抛物线 y= x -1 上存在着关于直线 y=x 2 对称的两点 P(a,b)和 Q(b,a),这里 a,b 是不相等的实数,则 ? 1 2 ?b=2a -1, ? ?a=1b2-1. ② ? 2 ①

1 2 2 ②-①,得 a-b=2(b -a ),则(a-b)(a+b+2)=0. ∵a≠b,∴a-b≠0.那么 a+b+2=0. ∴b=-a-2.代入①得 a2+2a+2=0.

∵Δ=22-4×1×2<0,∴方程没有实数根,这与 a 是实数矛 1 2 盾.因此抛物线 y=2x -1 上不存在关于直线 y=x 对称的两点.

要点归纳
1.反证法是通过证明命题的否定“若 p,则綈 q”为假,从 而达到证明原命题为真的目的.因此,在用反证法证题时,一定 要把命题的否定求对,命题的否定是保留条件,只否定结论.

2.用反证法证明问题时要注意以下三点: (1)必须先否定结论, 即肯定结论的反面, 当结论的反面呈现 多样性时,必须罗列出各种可能结论,缺少任何一种可能,反证 都是不完全的; (2)反证法必须从否定结论进行推理, 即当把结论的反面作为 条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从 结论的反面出发进行推理,就不是反证法; (3)推导出的矛盾可能多种多样, 有的与已知矛盾, 有的与假 设矛盾,有的与事实矛盾等,推导出的矛盾必须是明显的.

成功体验
(对应学生用书 P54)

1.否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时,正确的反设 为( ) A.a,b,c 都是奇数 B.a,b,c 都是偶数 C.a,b,c 中至少有两个偶数 D.a,b,c 中或都是奇数或至少有两个偶数

解析:对“恰有一个 ”的否定是“一个也没有或至少有两 个”,故选 D.

答案:D

2.如果两个实数之和为正数,则这两个数( A.一个是正数,一个是负数 B.两个都是正数 C.至少有一个数是正数 D.两个都是负数

)

解析:假设两个数都是负数或零,或一负数一零,则其和必 为负数或零,这与已知矛盾.故选 C.

答案:C

3.用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大 于 60° ”时,应假设( )

A.三角形三个内角都不大于 60° B.三角形三个内角都大于 60° C.三角形三个内角至多有一个大于 60° D.三角形三个内角至多有两个大于 60°

解析:因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”,所以 “三角形三个内角至少有一个不大于 60° ”的否定是“三角形三 个内角一个也没有不大于 60° ” 即 “ 三角形三个内角都大于 60° ”,故选 B.

答案:B

4.命题“a,b 是实数,若|a-1|+|b-1|=0,则 a=b=1” 用反证法证明时应假设为________.

解析:“a=b=1”即“a=1 且 b=1”,其否定为“a≠1 或 b≠1”.

答案:a≠1 或 b≠1

5.设实数 a,b,c 满足 a+b+c=1,则 a,b,c 中至少有 一个数不小于________.

1 解析:假设 a,b,c 都小于 ,则 a+b+c<1,与 a+b+c= 3 1 矛盾. 1 故 a,b,c 中至少有一个不小于 . 3
1 答案:3

请做:课时作业(十八)


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