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新东方高考数学选择、填空突破(集合、常用逻辑用语、函数、导数)


广州新东方优能中学教育

郭可(GK)

【集合与常用逻辑用语】
考点一: 考点一:集合与集合的关系 1、2011 浙江 10) a, b, c 实数,f ( x ) = ( x + a ) ( x + bx + c), g ( x) = ( ax + 1)( ax + bx + 1) . ( 设
2 2

记集合 S= x f ( x ) = 0, x ∈ R , T = x g ( x) = 0, x ∈ R ,若 S , T 分别为集合元素 S,T 的 元素个数,则下列结论不可能的是( ... A. S =1 且 T =0 B. S = 1且 T =1 ) C. S =2 且 T =2 D. S =2 且 T =3

{

}

{

}

2、 (2011 年安徽 8)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S ? A 且 S I B ≠ φ 的集合 S 的个数是( ) (A)57 (B) 56 (C)49
2

(D)8

3、 (2011 年广东 2)已知集合 A =

{( x, y ) ∣ x, y 为实数,且 x
) D.3

+ y 2 = 1} , B = {( x, y ) x, y

为实数,且 y = x} ,则 A ∩ B 的元素个数为( A.0 B.1 C.2

4、 (2010 年福建 9)对于复数 a, b, c, d ,若集合 S={ a, b, c, d }具有性质“对任意 x,y ∈ S,

必有 xy ∈ S”,则当 A. 1 B.-1

时, b + c + d 等于( C.0

) D.i

5、2010 年四川 16) S 为复数集 C 的非空子集. ( 设 若对任意 x, y ∈ S , 都有 x + y,x ? y,xy ∈ S , 则称 S 为封闭集。下列命题: ①集合 S = a + bi a, b为整数,i为虚数单位 为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0 ∈ S ; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S ? T ? C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是_________________ (写出所有真命题的序号) 考点二: 考点二:集合的运算 1、设集合 M = y y = cos x ? sin x , x ∈ R , N = ? x x ?
2 2

{

}

{

}

? ?

? 1 < 2 , i为虚数单位,x ∈ R ? , i ?

则 M ∩ N 为( A. (0,1)

) (2011 年陕西 7) B. (0,1] C.[0,1) D.[0,1]

1

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2、 已知集合 A = x ∈ R | x + 3 + x ? 4 ≤ 9 , B = ? x ∈ R | x = 4t + ? 6, t ∈ (0, +∞) ? , 则集 合 A ∩ B =________.(2011 年天津 13)

{

}

? ?

1 t

? ?

考点三:命题及关系 1、 (2011 年安徽 7)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是( .. (A) 所有不能被 2 整除的整数都是偶数 (B) 所有不能被 2 整除的整数都不是偶数 (C) 存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 (D) 存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 )

2

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2、 (2011 年安徽 15)在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为整点。下 列命题中正确的是 .(写出所有正确的编号) 。

①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点 ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 ④直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 3、 (2010 年安徽 11)命题“对任何 x ∈ R, | x ? 2 | + | x ? 4 |> 3 ”的否定是 .

考点四: 考点四:充分条件与必要条件 1、(2011 年湖北 9)若实数 a,b 满足 a ≥ 0, b ≥ 0, 且 ab = 0 ,则称 a 与 b 互补,记

? (a, b) = a 2 + b 2 ? a ? b, ,那么 ? ( a, b ) = 0 是 a 与 b 互补的(
A.必要而不充分的条件 C.充要条件 B.充分而不必要的条件



D.即不充分也不必要的条件

2、 (2010 年山东 9)设 {a n } 是等比数列,则“ a1 < a 2 < a 3 ”是“数列 {a n } 是递增数列” 的( ) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

3、 (2010 年湖北 10)记实数 x1 , x2 ,…… xn 中的最大数为 max { x1 , x2 ,......xn } ,最小数为 min { x1 , x2 ,......xn } 。 已 知 ABC 的 三 边 长 位 a,b,c ( a ≤ b ≤ c ) 定 义 它 的 倾 斜 度 为 ,

?a b c ? ?a b c ? l = max ? , , ? .min ? , , ? , 则“ l =1”是“ ? ABC 为等边三角形”的( ?b c a ? ?b c a ?
A.必要而不充分的条件 C.充要条件 B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要条件



【函数】
考点一: 考点一:函数的基本概念

3

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1、(2010 年福建 10)对于具有相同定义域 D 的函数 f(x)和 g(x) ,若存在函数 h(x)=kx+b (k,b 为常数) ,对任给的正数 m,存在相应的 x0 ∈ D,使得当 x ∈ D 且 x>x0 时,总有

则称直线 l:y=kx+b 为曲线 y=f(x)与 y=g(x)的“分渐近线” 。给 出定义域均为 D= x x > 1 的四组函数如下: ①f(x)=x ,g(x)=
2

{

}

x;

②f(x)=10 +2,g(x)=

-x

2x ? 3 ; x

③f(x)=

x2 + 1 x ln x + 1 ,g(x)= ; x ln x

④ f ( x) =

2x2 -x ,g(x)=2(x-1-e ). x +1


其中,曲线 y=f(x)与 y=g(x)存在“分渐近线”的是( A.①④ B.②③ C. ②④ D. ③④

考点二: 考点二:函数的表示方法 : 1、 (2011 年天津 8)对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ” a ? b = ?

?a, a ? b ≤ 1, 设函数 ?b, a ? b > 1.

f ( x) = ( x 2 ? 2 ) ? ( x ? x 2 ) , x ∈ R. 若函数 y = f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点, 则实
数 c 的取值范围是( )

A. ( ?∞, ?2] ∪ ? ?1, ?

? ?

3? 2?

B. ( ?∞, ?2] ∪ ? ?1, ?

? ?

3? ? 4?

C. ? ?1, ? ∪ ?

? ?

1? 4?

?1 ? , +∞ ? ?4 ?

D. ? ?1, ?

? ?

3 ? ?1 ? ? ∪ ? , +∞ ? 4 ? ?4 ?

?| lg x |, 0 < x ≤ 10, ? 2、 (2011 年全国新课标 11)已知函数 f ( x ) = ? 1 若 a, b, c 互不相等,且 ? ? 2 x + 6, x > 10. ? f (a ) = f (b) = f (c), 则 abc 的取值范围是(
(A) (1,10) (B) (5, 6) ) (D) (20, 24)

(C) (10,12)

3、 (2010 年陕西 10)某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表 ,当各 班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表,那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 ... x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]( [x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( A. y = ? )

?x? ?10 ? ?

B. y = ?

? x + 3? ? 10 ? ?

C. y = ?

? x + 4? ? 10 ? ?

D. y = ?

? x + 5? ? 10 ? ?

4

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4、 (2009 年山东 10)定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x) = ?

?log 2 (1 ? x), x ≤ 0 ,则 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x > 0

f (2009) 的值为(
(A)-1 (B) 0

) (C) 1 (D) 2

5、 (2008 年山东 4)设函数 f ( x) = x + 1 + x ? a 的图象关于直线 x = 1 对称,则 a 的值为 ( ) A.3 B.2 C.1 D. ?1

函数 f ( x) = ? 6、 (2011 年江苏 11) 已知实数 a ≠ 0 , 则 a 的值为________。 7、(2010 年重庆 15)已知函数 f ( x ) 满足:

?2 x + a , x < 1 , f (1 ? a ) = f (1 + a ) , 若 ?? x ? 2 a , x ≥ 1

f (1) =

1 ,4 f ( x) f ( y ) = f ( x + y ) + f ( x ? y )( x, y ∈ R ) ,则 f (2010) = __________. 4

考点三: 考点三:函数的定义域

考点四: 考点四:函数的单调性 1、 (2011 年辽宁 11)函数 f (x) 的定义域为 R , f (?1) = 2 ,对任意 x ∈ R , f ′( x) > 2 ,则

f ( x) > 2 x + 4 的解集为(
A. ? 1 ,1) (

) B. ? 1 ,+ ∞ ) ( C. ? ∞ , ? 1 ) ( D. ? ∞ ,+ ∞ ) (

2、 (2008 年辽宁 12)设 f ( x ) 是连续的偶函数,且当 x > 0 时 f ( x ) 是单调函数,则满足

f ( x) = f (
A. ?3

x+3 ) 的所有 x 之和为( x+4
B. 3 C. ?8 D. 8

)

考点五: 考点五:函数的奇偶性 1、 (2011 年福建 9)对于函数 f ( x ) = a sin x + bx + c (其中,a,b ∈ R,c ∈ Z),选取 a,b,c 的一 组值计算 f (1) 和 f (?1) ,所得出的正确结果一定不可能是( ..... A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 ) D.1 和 2

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2、 (2009 年山东文 12)已知定义在 R 上的奇函数 f (x ) ,满足 f ( x ? 4) = ? f ( x ) ,且在区间 [0,2]上是增函数,则( A. f ( ?25) < f (11) < f (80) C. f (11) < f (80) < f ( ?25) ). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B. f (80) < f (11) < f ( ?25) D. f ( ?25) < f (80) < f (11)

3、 (2007 年安徽文 11)定义在 R 上的函数 f (x)既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正 周期.若将方程 f (x)=0 在闭区[-T,T]上的根的个数记为 n,则 n 可能为( (A)0 (B)1 (C)3 (D)5 ) )

4、 (2009 全国 11)函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x + 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则(

(A) f ( x ) 是偶函数 (B) f ( x ) 是奇函数 (C) f ( x ) = f ( x + 2) (D) f ( x + 3) 是奇函数

考点六:二次函数、 考点六:二次函数、幂函数

? x 2, ≥ 1, ? x 1、2007 年浙江 10) f ( x) = ? ( 设 g ( x) 是二次函数, f ( g ( x)) 的值域是 [ 0, ∞) , 若 + ? x, < 1, ? x
则 g ( x) 的值域是( A. ( ?∞, 1] U [1, ∞) ? + C. [ 0, ∞) + ) B. ( ?∞, 1] U [ 0, ∞) ? + D. [1, ∞) +

2、 (2008 年浙江 15)已知 t 为常数,函数 y = x 2 ? 2 x ? t 在区间[0,3]上的最大值为 2, 则 t = _______。

?2 x≥2 ? , 3、 (2011 年北京 13)已知函数 f ( x ) = ? x 若关于 x 的方程 f ( x ) = k 有两个不同 ?( x ? 1)3 , x < 2 ?
的实根,则数 k 的取值范围是_______。 1 4、 (2008 年上海 11)方程 x 2 + 2 x ? 1 = 0 的解可视为函数 y=x+ 2的图像与函数 y= 的图

x

4 4 像交点的横坐标,若 x +ax ? 4 = 0 的各个实根 x1,x2,…,xk (k≤4)所对应的点(xi , )(i

xi

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=1,2,…,k)均在直线 y=x 的同侧,则实数 a 的取值范围是 考点七: 考点七:指数与指数函数 1、2009 年江苏 10) ( 已知 a 则 m, n 的大小关系为
x

.

=

5 ?1 x , 函数 f ( x ) = a , 若实数 m, n 满足 f ( m) > f ( n ) , 2
.
x

2、 (2007 年上海 4)方程 9 ? 6 ? 3 ? 7 = 0 的解是 _____ 。

考点八: 考点八:对数与对数函数

1、 (2010 浙江 10) 设函数的集合 P = { f ( x ) = log 2 ( x + a ) + b | a = ? ,0, 平面上点的集合 Q = {( x, y ) | x = ?

1 3

1 ,1; b = ?1,0,1} , 2

1 1 ,0, ,1; y = ?1,0,1} ,则在同一直角坐标系中,P 中函 2 2
) (D)10

数 f ( x ) 的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是( .. (A)4 (B)6 (C)8

2、2010 全国 10) ( 已知函数 f ( x ) =| lg x | ,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 ) ( (A) (2 2, +∞ ) (B) [2 2, +∞) (C) (3, +∞) (D) [3, +∞)

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3、2008 年天津 16) a > 1 , ( 设 若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x ∈ [a,2a ] , 都有 y ∈ a, a 满足方程 log a x + log a y = c ,这时, a 的取值的集合为 .

[

2

]

考点九: 考点九:函数的图像 1、(2011 年新课标 12)函数 y = 交点的横坐标之和等于( A.2 B.4

1 的图像与函数 y = 2sin π x ( ?2 ≤ x ≤ 4) 的图像所有 1? x
C.6 D.8



2、 (2011 年江西 10)如右图,一个直径为 l 的小圆沿着直径为 2 的 大圆内壁的逆时针方向滚动,M 和 N 是小圆的一条固定直径的两 个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点 M,N 在大 圆内所绘出的图形大致是( )

3、 (2010 年山东 11)函数 y = 2 x ? x 2 的图象大致是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

8

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考点十: 考点十:函数的值域与最值 1、 (2011 年湖南 8)设直线 x = t 与函数 f ( x) = x 2 , g ( x) = ln x 的图像分别交于点 M , N ,

则当 | MN | 达到最小时 t 的值为(

)A.1

B.

1 2

C.

5 2

D.

2 2

2、 (2009 年宁夏海南 12)用 min{a, b, c} 表示 a,b,c 三个数中的最小值。设

f ( x) = min {2 x , x + 2,10 ? x} (x ≥ 0),则 f ( x ) 的最大值为(
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7



3、 (2011 年上海 13) g ( x ) 是定义在 R 上、 1 为周期的函数, f ( x ) = x + g ( x ) 在 [3, 4] 设 以 若 上的值域为 [ ?2, 5] ,则 f ( x ) 在区间 [ ?10,10] 上的值域为 。

4、 (2010 年江苏 14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中 一块是梯形,记 S =
2 (梯形的周长) ,则 S 的最小值是________。 梯形的面积

考点十一: 考点十一:函数与方程 1、 (2011 年重庆 10)设 m,k 为整数,方程 mx ? kx + 2 = 0 在区间(0,1)内有两个不同的
2

根,则 m+k 的最小值为(

)A.-8

B.8

C.12

D.13

2、 (2011 年山东 16) 已知函数 f(x) log a x + x ? b( a>0,且a ≠ 1). 当 2<a<3<b<4 时, = 函数 f(x) 的零点 x0 ∈ ( n, n + 1), n ∈ N * , 则n= .

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【导数】
考点一: 考点一:导数的概念及其几何意义 1、 2010 江西 5) ( 等比数列 {an } 中, 1 = 2 , 8 =4, a a 函数 f ( x ) = x( x ? a1 )( x ? a2 ) L ( x ? a8 ) , 则f
'

( 0) = (



A. 2

6

B. 2

9

C. 2

12

D. 2

15

2、 (2007 年浙江 8)设 f ′( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y = f ( x) 和 y = f ′( x ) 的图象画在 同一个直角坐标系中,不可能正确的是( y y ) y y

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

3、 (2009 年湖北 14)已知函数 f ( x ) = f '( ) cos x + sin x, 则 f ( ) 的值为

π

π

4

4

.

考点二: 考点二:函数的单调性 1、 (2008 年湖北 7)若 f ( x ) = ? 围是( ) A. [ ?1, +∞)

1 2 x + b ln( x + 2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范 2
B. (?1, +∞) C. (?∞, ?1] D. (?∞, ?1)

考点三: 考点三:函数的极值与最值 1、 (2011 年江苏 12)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x ) = e x ( x > 0) 的图象 上的动点,该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是_____________。 考点四: 考点四:导数的综合运用 1、 (2007 年陕西 11) f(x)是定义在 (0, ±∞) 上的非负可导函数, 且满足 xf ' ( x ) + f ( x ) ≤ 0 , 对任意正数 a、b,若 a<b,则必有( A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b) ) C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)

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部分参考答案 【集合与常用逻辑用语】 考点一:1、D;2、B;3、C;4、B;5、①② 考点二:C; {x ? 2 ≤ x ≤ 5};C;C;D;B;D 考点三:1、D;2、①③⑤ 考点四:C;C;A 【函数】 考点一:C 考点三:B 考点二:B;C;B;C;A; ? 考点四:B;C
3 1 ; 4 2

考点五:D;D;D;D;B 考点六:C;1; (0,1) ; (? ∞,?6) ∪ (6,+∞ )
? 1? 考点七: m < n ; x = log 3 7 ; ? 0, ? ;7 个 ? 4? ? 3? 考点八:B;B;C; {2}; ?1, ? ? 2?

考点九:D;A;A;B;A; 1 : (?6) : 5 : (?8) 考点十:D;C; [? 15,11] ; 考点十一:D;2 【导数】 考点一:C;D;1 考点三:
e 1 + 2 2e

32 3 3

考点二:C 考点四:A; ?
15 2

11


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