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2015届高考数学(新课标) 题型全归纳 用构造法求数列的通项公式要点讲解


用构造法求数列的通项公式
求数列的通项公式是高考重点考查的内容,作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接 根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列,之后再 应用各自的通项公式求解,体现化归思想在数列中的具体应用。 例 1:(06 年福建高考题)数列 A. 2
n n

?a n ?中, a1 ? 1,

a n?1 ? 2a n ? 1则a n
C. 2 ? 1
n

?

( D. 2
n ?1

)

B. 2 ? 1

解法 1:

a n ?1 ? 2a n ? 1

? an ?1 ? 1 ? 2an ? 2 ? 2(an ? 1)
又 a1 ? 1 ? 2

?

a n ?1 ? 1 ?2 an ? 1

?a n ? 1?是首项为 2 公比为 2 的等比数列
a n ? 1 ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n ,? a n ? 2 n ? 1 ,所以选 C
解法 2 归纳总结:若数列

?a n ? 满足 a n?1 ? pa n ? q( p ? 1, q 为常数) a ? ? ? p(a n ? ? ) 来 ,则令 n ?1

构造等比数列,并利用对应项相等求 ? 的值,求通项公式。 例 2:数列 解:

?a n ?中, a1 ? 1, a 2 ? 3, a n? 2 ? 3a n?1 ? 2a n ,则 a n

?



a n ? 2 ? a n ?1 ? 2(a n ?1 ? a n ) ? ?a n ? a n ?1 ? 为首项为 2 公比也为 2 的等比数列。

? a 2 ? a1 ? 2

a n ? a n ?1 ? 2 n ?1 , (n>1)
n>1 时

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ?? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ?? ? 2 ? 1 1 ? 2n ? ? 2n ? 1 1? 2
显然 n=1 时满足上式

an ? 2n ? 1
-1-

小结:先构造

?a n?1 ? a n ? 等比数列,再用叠加法,等比数列求和求出通项公式, ?a n ?中 a1 ? 5, a2 ? 2, an ? 2an ?1 ? 3an ? 2 , (n ? 3) 求这个数列的通项公式。

例 3:已知数列 解:

? a n ? 2a n ? 1 ? 3a n ? 2

? a n ? a n ?1 ? 3(a n ?1 ? a n ? 2 )
又 则 又

a1 ? a 2 ? 7, ?a n ? a n ?1 ? 形成首项为 7,公比为 3 的等比数列,
a n ? a n ?1 ? 7 ? 3 n ? 2 ………………………①

a n ? 3a n ?1 ? ?(a n ?1 ? 3a n ? 2 ) ,

a 2 ? 3a1 ? ?13 , ?a n ? 3a n ?1 ?形成了一个首项为—13,公比为—1 的等比数列


a n ? 3a n ?1 ? (?13) ? (?1) n ? 2 ………………………② 4a n ? 7 ? 3 n ?1 ? 13 ? (?1) n ?1

①? 3 ? ②

? an ?

7 n ?1 13 ? 3 ? (?1) n ?1 4 4

小结:本题是两次构造等比数列,属于构造方面比较级,最终用加减消元的方法确定出数列 的通项公式。 例 4:设数列

?a n ?的前项和为 Sn , 若2an ? 2n ? Sn 成立,(1)求证: ?an ? n ? 2n ?1?是等比数列。

(2) 求这个数列的通项公式 证明:(1)当 n ? 1, b ? a1 ? 2 ? (b ? 1)a1 ,? a1 ? 2 又

? b ? a n ? 2 n ? (b ? 1) ? S n ………………………①

? b ? a n ?1 ? 2 n ?1 ? (b ? 1) ? S n ?1 ………………………②
②—①

b ? a n ?1 ? b ? a n ? 2 n ? (b ? 1) ? a n ?1

? a n ?1 ? b ? a n ? 2 n
当 b ? 2 时,有

a n ?1 ? 2a n ? 2 n

? a n ?1 ? (n ? 1) ? 2 n ? 2a n ? 2 n ? (n ? 1) ? 2 n ? 2 ? (a n ? n ? 2 n ?1 )
又 a1 ? 2
1?1

?1

? a n ? n ? 2 n ?1

?

?为首项为 1,公比为 2 的等比数列,
-2-

(2)

a n ? n ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ,? a n ? (n ? 1) ? 2 n ?1

小结:本题构造非常特殊, 要注意恰当的化简和提取公因式,本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力,同时也彰显 构造思想在高考中的地位和作用。 例 5:数列

?a n ?满足 a1 ? 3, a n?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n?1 ,则 a n
n

?
D. (3n ? 2) ? 2
n ?1

A. (3n ? 1) ? 2

B. (6n ? 3) ? 2

n ?1

C. 3(2n ? 1) ? 2

n ?1

解:

? a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n ?1 ,?

a n ?1 a n ? ?3 2 n ?1 2 n

?

a n ?1 a n a 3 ? n ? 3, 又 1 ? n ?1 2 2 2 2

?a ? 3 ?? n n ? ? 2 ? 构成了一个首项这 2 ,公差为 3 的等差数列,

?

an 3 3 ? ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? n 2 2 2

3 a n ? 2 ? 2 n ?1 ? (3n ? ) ? (6n ? 3) ? 2 n ?1 2 所以选 B。

an a n ?1 n n ?1 小结:构造等比数列,注意形 2 ,当 n ? n ? 1 时,变为 2 。
例 6 : 已 知 函 数 f ( x) ? ( x ?

2 ) 2 , ( x ? 0) , 又 数 列 ?a n ? 中 a1 ? 2 , 其 前 项 和 为

S n , (n ? N ? ) ,对所有大于 1 的自然数都有 S n ? f ( S n ?1 ) ,求数列 ?a n ? 的通项公式。
解:

? f ( x) ? ( x ? 2 ) 2 , S n ? f ( S n ?1 ) ? ( S n ?1 ? 2 ) 2

? S n ? S n ?1 ? 2 ,? S n ? S n ?1 ? 2

? S1 ? a1 ? 2
?

? S ?是首项为
n

2 ,公差为 2 的等差数列。


S n ? 2 ? (n ?!) 2 ? 2n,? S n ? 2n 2

2 2 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2n ? 2(n ? 1) ? 4n ? 2

且当 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 4 ? 1 ? 2

符合条件
-3-

通项公式为

a n ? 4n ? 2

例 7: (2006 山东高考题)

?a ? a ,a 已知 a1 ? 2 ,点( n n ?1 )在函数 f ( x) ? x ? x 的图象上,其中 n ? 1,2,3, ?? 求数列 n
2

的通项公式。 解:? f ( x) ? x ? 2 x
2



? (a n , a n ?1 ) 在函数图象上
2

a n ?1 ? a n ? 2a n a n ?1 ? 1 ? a n ? 2a n ? 1 ? (a n ? 1) 2
? lg(a n ?1 ? 1) ? 2 lg(a n ? 1) lg(a n ?1 ? 1) ? 2,? lg(a1 ? 1) ? lg 3 lg(a n ? 1)
2

?lg(a n ? 1)? 是首项为 lg 3 公比为 2 的等比数列
lg a n ?1 ? 2 n ?1 ? lg 3 ? lg 3 2 ? an ? 1 ? 32 an ? 32
n ?1 n ?1 n ?1

?1 Sn
为等差数列,并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式,

小结:前一个题构造出 后一个题构造

?lg?a n ? 1?? 为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高
* ?a n ?满足 a1 ? 2, a n?1 ? ?a n ? ?n?1 ? (2 ? ? ) ? 2 n , (n? N )

考的重点与热点,因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识,以它的概念与性质 为纽带,架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系,从而有效地解决数列问题。 例 8: (2007 天津高考题)已知数列 其中 ? ? 0 ,求数列的通项公式 方法指导:将已知条件中的递推关系变形,应用转化成等差数列形式,从而为求 公式提供方便,一切问题可迎刃而解。 解:

?a n ? 的通项

a n ?1 ? ?a n ? ?n ?1 ? (2 ? ? ) ? 2 n , (n ? N *, ? ? 0)

?

a n ?1

?

n ?1

?

an

?

n

2 2 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ? 1

?

?

-4-

?

a n ?1

?

n ?1

a 2 2 ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n ? 1, n

?

?

?



a1 2 2 n ?1 ? ? a n 2 n? ? a n ?1 ? ( ) ? ? ( ) ? 1 , ? ? ?0 n ? 1 n ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 2 n? ? an ? n ?( ) ? ? ? 为等差数列,其首项为 0,公差为 1; ? 所以 ?

?

an

?

n

2 ? ( ) n ? n ? 1,? a n ? (n ? 1)?n ? 2 n

?

例 9:数列

?a n ?中,若 a1 ? 2 ,
16 B. 15

a n ?1 ?

an 1 ? 3a n ,则 a 4 ?
8 C. 5 3 D. 4

2 A. 19

? a n ?1 ?
解:

an 1 ? 3a n 1 1 ,? ? ? ?3 1 ? 3a n a n ?1 an an
1 是首项为 2 公差 3 的等差数列。



1 1 ?1? ? ,? ? ? a1 2 ? a n ?

1 1 5 6n ? 5 2 ? ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? ? ,? a n ? an 2 2 2 6n ? 5
? a4 ? 2 2 ? 6 ? 4 ? 5 19

所以选 A

变式题型:数列

?a n ?中,

a1 ? 2, a n ?1 ?

2a n 1 ? 3a n ,求 a n ?

? a n ?1 ?
解:

2a n 1 ? 3a n 3 1 1 1 ,? ? ? ? ? 1 ? 3a n a n ?1 2a n 2 2 an
1 1 ? 3 ( ? ? ), 则 ? ? ,? ? ? ?3 2 an 2 2

?令 1

1 a n ?1

?? ?

?

a n ?1

?3?

1 1 1 5 ( ? 3), 又 ? 3 ? ? 2 an a1 2

-5-

?1 ? 5 1 ? ? ? 3? ? a ? n ? 是首项为 2 公比为 2 的等比数列
1 5 1 1 5 1 ? 3 ? ? ( ) n ?1 ,? ? 3 ? ( ) n ?1 an 2 2 an 2 2

? an ?

1 5 1 3 ? ( ) n ?1 2 2

小结 :

an ?1 ? f (an ) 且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数

列,发散之后,两种构造思想相互联系,相互渗透,最后融合到一起。 总之,构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式,是求通项公式的重要方法也是高考重 点考查的思想,当然题是千变万化的,构造方式也会跟着千差万别,要具体问题具体分析,需 要我们反复推敲归纳,从而确定其形式,应该说构造方法的形成是在探索中前进,在前进中 探索。

-6-


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