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绵阳南山中学2014自主招生试题


保密★启用前 绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试

数学试题
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本套试卷分试题卷和答题卷两部份,试题卷共 6 页,答题卷共 6 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考试号用 0.

5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写 在答题卷与机读卡对应位置上,并认真核对姓名与考号; 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效; 3.非选择题(主观题)用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对 应的位置上,答在试题卷上无效.作图一律用 2B 铅笔或 0.5 毫米黑色签字笔; 4.考试结束后,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.

第一卷 (选择题,共 36 分)
一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.下列计算正确的是( (A)a ? a ? a
2 3 6

) (C)(a3b)2 ? a6b2 (D)a 2 ? a3 ? a(a ? 0)

(B)(x ? y)2 ? x2 ? y 2

2.方程组 ?

?| x ? 1|? 4
2 ?x ? 2x ? 3

的解是(



(A)-1 (B)3 (C)-1 或 3 N (D)-5 或 3 M P 3.如右图所示,图①表示正六棱柱形状的高大建筑物,图②中的 阴影部分表示该建筑物的俯视图,P、Q、M、N 表示小明在地面上 Q 的活动区域(各区域均不含边界) ,若小明想同时看到该建筑物的 ① ② 第3题图 三个侧面,他应在( ) (A)P 区域 (B)Q 区域 (C)M 区域 (D)N 区域 4.小李骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度 行驶,与以上事件吻合得最好的图像是( )

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距学校的距离

距学校的距离

距学校的距离

距学校的距离

O

(A)

时间 O

(B)

时间 O

(C)

时间

O

(D)

时间

5.南山中学高一年级有四名学生 A、B、C、D 参加了校团委举办的“南山中学百佳、百杰学生” 的选举,已知候选人 D 得票比 B 得票多,候选人 A、B 得票之和超过 C、D 得票之和,候选人 A、 C 得票之和与 B、D 得票之和相等,则这四人得票数由高到低的次序排列,他们依次为( ) (A)A、D、C、B (B)D、B、A、C (C)D、A、B、C (D)A、D、B、C 6. 南山中学数学建模小组的同学们在研究 15、 12、 10 这三个数的倒数时发现:

1 1 1 1 ? ? ? , 12 15 10 12

他们就将具有这样性质的有序的三个数称之为调和数.若 x、y、2 (x、y 均为正整数)是一组 调和数,则 x、y 的值( ) (A)有一组 (B)有两组 (C)有三组 (D)有无数组 7.如下图所示,在 Rt△ABC 中,AC=3,BC=4,D 为斜边 AB 上一动点,DE⊥BC, DF⊥AC, 垂足分别为 E、F,当线段 EF 最小时, cos ?EFD 的值等于( ) (A)

3 5

(B)

4 5
B D E

(C)
D

3 4
F C

(D)

7 4

E

A

F C 第7题图

A

第8题图

B

8.如上图所示,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 BC、CD 上,且使得△AEF 为等边三角 形,则△AEF 与梯形 ABCF 的面积之比为( ) (A) 3 ? 1 (B)

3 2

(C)

2 3

(D) 4 ? 2 3

2 9.已知函数 y ? x , y ? x 和 y ?

1 在同一直角坐标系内的图象如下图所示,给出下列结论: x

1 ? a ? a 2 ,那么 0 ? a ? 1 ; a 1 2 ②如果 a ? a ? ,那么 a ? 1 ; a 1 2 ③如果 ? a ? a ,那么 ? 1 ? a ? 0 ; a
①如果
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2 ④如果 a ?

1 ? a 时,那么 a ? ?1 . a
(C)①②③ (D)①②④

则其中正确结论的序号为( ) (A)①④ (B)②③

y=x2

y y=x y= O 1 x x

入口

第9题图

1

2

3 4 第1 0题 图

5

6

10. 上右图为一个污水净化塔内部, 污水从上方入口进入后流经形如等边三角形的净化材枓表面, 流向如图中箭头所示, 每一次水流流经三角形两腰的机会相同, 经过五层净化后流入底部的六个 出口中的一个.下列判断: ①六个出口的出水量相同; ②2 号出口的出水量与 5 号出口的出水量相同; ③1,2,3 号出水口的出水量之比约为 1∶5∶10; ④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比, 则更换最慢的一个三角形材枓使用的时 间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的 16 倍. 其中,正确的判断个数是( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 11.如下图所示,在 Rt△ABC 中,∠A=2∠B,CD 为∠C 的内角平分线,若 AD=2,则 CD 等于 ( ) (A) 2 3 (B) 3 (C) 2 6 (D) 6

C
A E D

B

D 第11题图

A

B

O 第12题图

C

12. 如上图所示, 点 A、 D 在以 BC 为直径的半圆上, D 是弧 ? AC 的中点,AC 与 BD 交于点 E.若

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AE=3,CD= 2 5 ,则 BC 等于( (A)6 (B)8

) (C)10 (D)12

第二卷 (非选择题,共 114 分)
二.填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分.将答案填写在答题卡相应的横线上) 13.按下图程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个 x”到“结果是否>10”为一次操作.若操作 进行三次才停止,则 x 的取值范围是___________.
输入 x ×3

-2

>10 否

是 停止

第13题图

14. 如下图所示, 直线 l1、 l2、 l3、 l4 及 m1、 m2、 m 3、 m4 分别平行, 且 S四边形ABCD =100, S四边形EFGH ? 20 , 则 S四边形PQRS = __________.
l1 A P E Q B 第14题图 F H G R C S l2 l3 l4 D m4

m3 m2

m1

第1 5题 图

15.如上图所示,在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为 1cm 的圆形,使之恰好围成一个 圆锥,则圆锥的高为________________. 16.小明每天下午 5 点放学回家时,爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家.有一天,学校提 前 1 小时放学, 小明自己步行回家, 在途中遇到开车接他的爸爸, 结果比平时早了 20 分钟到家. 则 小明步行______________分钟遇到来接他的爸爸. 17.已知关于 x 的一元二次方程 x2 ? a 2 ? 2a ? 2 ? x ? (m ? 1) ? 0 对 任意的实数 a 均有实数根,则实数 m 的取值范围是____________. 18.如右图所示,矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,已知
L

?DAC ? 60? ,边 CD 上有一点 S,满足

DS AD ? .线段 OC 上有一 SC AC

D

S M O

C

点 M,OS 与 MB 交于点 L,联结 CL、SM.给出以下结论: ①SM//BD 与 SM//CL 等价;

CM AC ? ②若 ,则点 L 在 AD 的延长线上; MO AO
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A

B 第18题图

③若

SM 1 ? ,则 AD=DL; CL 3

④若

S?SCM ? k ,则方程 x2 ? 3kx ? 1 ? 0 无等根. S?BCM

其中,正确的结论有____________(填所有正确结论的序号) . 三.解答题(本大题共 7 个小题,共 90 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 19. (本题共 2 个小题,每小题 8 分,共 16 分)解答下列各题: (1)计算: ( )?1 ? | sin30? ? 1| ?( ? 1)106 ? 3 8 ? (2014 ? ? )0 ;

1 3

(2)计算:

20142 ? 1 2013 20142 ? 2014 ? 2 ? ? . 20142 ? 4028+1 2015 2016

20. (本小题满分 12 分)做服装生意的唐老板经营甲、乙两个店铺.每个店铺在同一段时间内都 能售出 A、B 两种款式的服装合计 30 件,并且每售出一件 A 款式和 B 款式服装,甲店铺获利润 分别为 30 元和 40 元,乙店铺获利润分别为 27 元和 36 元.某日,唐老板进 A 款式服装 35 件, B 款式服装 25 件,怎样分配给每个店铺各 30 件服装,使得在保证乙店铺获利润不小于 950 元的 前提下,唐老板获取的总利润最大?最大总利润是多少? 21. (本小题满分 12 分)一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“百”、“年”、“经”、“典”、“南”、 “山”的六个小球,除汉字不同之外,小球没有任何区别,每次摸球前先搅拌均匀再摸球. (Ⅰ)若从中任取一个球,求球上的汉字刚好是“南”的概率; y (Ⅱ)从中任取一球,不放回,再从中任取一球,请用树状图的 D 方法,求取出的两个球上的汉字恰能组成 “经典”或“南山”的概 率 P 1; A (Ⅲ)从中任取一球,记下汉字后再放回袋中,然后再从中任取 C O x 一球,记取出的两个球上的汉字恰能组成 “经典”或“南山”的概 B 率为 P2,指出 P1,P2 的大小,并证明你的结论. 22. (本小题满分 12 分)如右图所示,已知点 A(4,0) ,点 B 在 y 轴上, 经过 A、 B 两点的直线与反比例函数 y ?
第22题图

k (k ? ?1) 在 x

y A B C D

第四象限的图像只有一个公共点.又一次函数 y ? x ? 2k 的图像与 x 轴、y 轴分别交于点 C、D 两点.当四边形 ABCD 的面积最小时,求 k 的值及面积的最小值.

23. (本小题满分 12 分)如右图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,多 O 边形 OABCDE 的顶点分别为 O(0,0) ,A(0,6) ,B(4,6) ,C(4,
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第23题图

E

x

4) ,D(6,4) ,E(6,0) .已知直线 l 经过点 M,分别与边 OA、DE 相交,且将多边形 OABCDE 分成面积相等的两部分. (Ⅰ)若点 M (0,

11 ) ,求直线 l 的函数表达式; 3

(Ⅱ) 是否存在一点 M, 使得过点 M 有无数条直线 l 将多边形 OABCDE 分成面积相等的两部分? 若存在,求出 M 的坐标;否则,说明理由. 24. (本小题满分 12 分) 如下图所示,? O1 与 ? O2 外 切于点 O,直线 l 分别与 ? O1 、 ? O2 外切于点 A、B, 分别与 x 轴、y 轴交于点 M (2 3,0) 、 C (0, 2) . (Ⅰ)求 ? O1 的半径长; (Ⅱ)在直线 l 上找一点 P,使得 ?MO1P 与 ?MOB 相似,并求出点 P 的坐标.

l A

y C B O1 O O2 M x

第24题图

25. (本小题满分 14 分)如下图所示,过 y 轴上一点 M(0,1)作直线与二次函数 y ?

1 2 x 的图 4

像交于 A、B 两点,过 A、B 两点分别作 y 轴的垂线,垂足为 C、D,直线 l 过点 M 关于原点 O 的对称点 N,且与 y 轴垂直.过点 A 作 l 的垂线,垂足为 E. (Ⅰ)当 A 点的横坐标是-1 时,证明 AM=AE; (Ⅱ)当直线 AB 变化时(点 A 与点 O 不重合) ,求 OC ? OD ? AC ? BD 的值; (Ⅲ)当直线 AB 变化时(点 A 与点 O 不重合) ,试判断直线 l 与以 AB 为直径的圆的位置关系, 并证明你的结论.

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y D M A O E N 第25题图 l C x

B

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