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湖北省宜昌市示范高中协作体2016届高三上学期期中联考数学[理]试题及答案


宜昌市部分示范高中教学协作体 2015 年秋期中联考
高三(理科)数学试题
一 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1. 已知集合 P ? {x x 2 ? 2 x ? 0}, Q ? {x 1 ? x ? 2} ,则(CRP)∩Q= ( A. [0,1) B. (0, 2] C. (1, 2) D. [1, 2] ( ) )

2.若 P : 2 x ? 1 , Q : lg x ? 0 ,则 P 是 Q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象 (

π 3

)

π 个单位长度 6 π C.向右平移 个单位长度 3
A.向右平移

π 个单位长度 6 π D.向左平移 个单位长度 3
B.向左平移 ( )

4. 设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x) 是 A.奇函数,且在 (0,1) 上是增函数 C.偶函数,且在 (0,1) 上是增函数
x

B.奇函数,且在 (0,1) 上是减函数 D.偶函数,且在 (0,1) 上是减函数 )

5. f ? x ? ? 3 ? 3 x ? 8 ,则函数 f ( x) 的零点落在区间( 参考数据: 3 A. (1,1.25)
1.25

? 3.9,

31.5 ? 5.2
C. (1.5, 2) D.不能确定 )

B. (1.25,1.5)

6.已知 sin ? +cos ? =

4 ? ?? , ? ? ? 0, ? ,则 sin ? -cos ? 的值为 ( 3 ? 4?
C.

A.

2 3

B. ?

2 3

1 3

D. ?

1 3

?( x ? a ) 2 , x ? 0, ? 7.设 f ( x) ? ? ,若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 a 的取值范围为 ( 1 x ? ? a , x ? 0 ? x ?
A. [-1,2] B. [-1,0] C. [1,2] D. [0,2]

)

8.已知函数 f ( x) ? ?

?(2a ? 1) x ? a, x ? 1 是 R 上的减函数,则实数 a 的取值范围是 ( ?log a x, x ? 1
1 B.(0, ) 2 1 C.(0, ) 4
1 所围图形的面积为 x
D. 2ln 2 (

)

1 1 A.[ , ) 3 2
1 2

1 1 D.( , ) 3 4
)

9.由直线 x ? , x ? 2, y ? 0 ,及曲线 y ? A.

15 4

B.

17 4

C. ln 2

1 2

10.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75 ? , 30 ? ,此时气球的高是 60m , 则河流的宽度 BC 等于( A. 120( 3 ? 1) m B. 180( 2 ? 1) m C. 240( 3 ? 1) m D. 30( 3 ? 1) m 11 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ,当 x ? ?3,4?时,f ( x) ? x ? 2 ,则( ) A. f (sin ) ? f (cos ) C. f (sin 1) ? f (cos1) )

1 2

1 2

B. f (sin

) ? f (cos ) 3 3 3 3 D. f (sin ) ? f (cos ) 2 2

?

?

12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著, 以其名命名的函数 f ( x) ? ? 为狄利克雷函数,则关于函数 f ( x) 有如下四个命题: ①f

? 1, x为有理数 被称 ?0,x为无理数

? f ? x ?? ? 0 ;

②函数 f ? x ? 是偶函数; ③任取一个不为零的有理数 T , f ? x ? T ? ? f ? x ? 对任意的 x ? R 恒成立; ④存在三个点 A ? x1 , f ( x1 ) ? , B ? x2 , f ( x2 ) ? , C ? x3 , f ( x3 ) ? ,使得 ?ABC 为等边三角形. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

二 填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分) 13. 函数 f ( x) ?

1 ? log 2 (2 x ? 1) 的定义域是____________. 1? x
? ?

?1 ? tan 22 ??1 ? tan 23 ? = 14. 求值:
2
15.已知函数 y ? 4sin(2 x ?



?
6

)(0 ? x ?

7? ) 的图像与一条平行于 x 轴的直线有三个交点,其横坐标 6

分别为 x1 , x2 , x3 ( x1 ? x2 ? x3 ), 则 x1 ? 2 x2 ? x3 ? __________。 16.角 ? 的顶点在坐标原点 O ,始边在 y 轴的正半轴上,终边与单位圆交于第三象限内的点 P ,且

3 tan ? ? ? ;角 ? 的顶点在坐标原点 O ,始边在 x 轴的正半轴上,终边与单位圆交于第二象限内的 4
点 Q ,且 tan ? ? ?2 。对于下列结论: ①点 P 的坐标为( ? , ? 其中正确结论的编号是

3 5

10 ? 2 5 5 4 3 2 ) ; ② PQ ? ; ③ cos ?POQ ? ? ; ④ S ?POQ ? 5 5 5 5


三 解答题(解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin ??x ? ? ? ? B , A ? 0, ? ? 0, ? ? 在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

?
2

?x ? ?
x

0

π 2

π

3π 2



x1
0

1 3

x2
0

7 3

x3
0

A sin ??x ? ? ? ? B

3

- 3

(Ⅰ)请求出上表中的 x1 、 x 2 、 x3 ,并直接写出函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)将 f ( x) 的图象沿 x 轴向右平移

2 个单位得到函数 g ( x) ,若函数 g ( x) 在 x ? [0, m] (其中 3

m ? (2, 4) )上的值域为 [? 3, 3] ,且此时其图象的最高点和最低点分别为 P, Q ,求 OQ 与 QP 夹
角 ? 的大小

18. (本小题满分 12 分)铁路运输托运行李,从甲地到乙地,规定每张客票托运费计算方法为:行 李质量不超过 50kg ,按 0.25 元 / kg 计算;超过 50kg 而不超过 100kg 时,其超过部分按 0.35 元 / kg 计算,超过 100kg 时,其超过部分按 0.45 元 / kg 计算.设行李质量为 xkg ,托运费用为 y 元. (Ⅰ)写出函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若行李质量为 56kg ,托运费用为多少?

19.(本小题满分 12 分)已知 a ? 5 3 cos x, cos x , b ? ?sin x,2 cos x ? ,记函数 f ( x) ? a ? b ? b (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 的对称中心; (Ⅱ)求 f ( x) 在 ?0,? ?上的单调递增区间.

?

?

2

20.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 a ? b, c ? 3 ,

cos 2 A - cos 2 B ? 3 sin A cos A - 3 sin B cos B.
(I)求角 C 的大小; (II)若 sin A ?

4 ,求 ?ABC 的面积. 5

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

ln x ?1. x

(Ⅱ)设 m ? 0 ,求 f ( x) 在区间 [m,2m] 上的最大值; (Ⅲ)证明:对 ?n ? N ? ,不等式 ln(

1? n e 1? n 成立. ) ? n n

22.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C1 的 极坐标方程为 ? ? 4 cos ? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos(? ? (1)求曲线 C1 的参数方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (2)记曲线 C1 与曲线 C2 交于 M、N 两点,求线段 MN 的长度.

?
4

)?2 2

宜昌市部分示范高中教学协作体 2015 年秋期中联考
高三(理科)数学参考答案
一.单项选择题

题号 答案

1 C

2 B
14. 1

3 B

4 A
15.

5 B
5? 3

6 B

7 D

8 A

9 D

10 A

11 C

12 C

? 1 ? 13. ? x ? x ? 1? ? 2 ?

16 .①②④

? ? ?1 ? ? 3? ?? ? 2 ?? ? 2 18. (1)由? ( 2? ) , 得? ? 7 3? ? ? ?? ? ?? ? 3 2 ? ?3

? ? ? ? 2 x1 ? 3 ? 0 ? ? ?? ? ? x2 ? ? ? , 3 ? 2 ? ? ? x ? ? 2? 3 ? 3 ?2 2 4 10 ? x1 ? ? , x 2 ? , x3 ? ( 5? ) 3 3 3
又? A ?

3, B ? 0

( 6? ) x? ); 2 3 2 ? 将 f ( x) 的图象向右平移 个单位后得到 g ( x) ? 3 sin x 3 2

f ( x) ? 3 sin(

?

?

由于 g ( x) 在 ?0,m?m ? ?2,4 ? 上的值域为 ? 3,3 , 则 m ? 3 ,故最高点为 P 1,3 ,最低点为 Q 3, ? 3 .

?

?

? ?

?

?

? 3 , QP ? ? 2, 2 3 ,则 cos ? ? 则 OQ ? 3,
故? ?

?

?

?

?

OQ ? QP OQ ? QP

??

3 2

5? .( 12? ) 6

19. (1)设行李质量为 xkg,托运费用为 y 元,则 ①若 0<x≤50,则 y=0.25x; ②若 50<x≤100,由 y=12.5+0.35(x-50); ③若 x>100,则 y=30+0.45(x-100),

所以,由①②③可知,

0.25 x 0 ? x ? 50 ? ? y ? ?12.5 ? 0.35? x ? 50 ? 50 ? x ? 100 ? 30 ? 0.45? x ? 100 ? x ? 100 ?

( 8? )

(2)因为 50kg<56kg<100kg,所以 y=12.5+6×0.35=14.6 元. ( 12? ) 20.解(Ⅰ) a ? b ? 5 3 cos x sin x ? 2 cos 2 x, b
2

? sin 2 x ? 4 cos 2 x

f ? x ? ? 5 3 cos x sin x ? sin 2 x ? 6 cos 2 x ?
?

5 3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ? 3?1 ? cos 2 x ? 2 2

? 5 3 sin 2x ? 5 cos 2x ? 7 ?? 7 ? 5 sin? 2x ? ? ? ? 2 6? ? ? 2 ( 4? )

解方程2x ?

?

6

? k?得x ?

k?
2

?

?

12

k ?Z

?T ?

? k? 2? ? ? ? ? ,f ?x ?的对称中心为? ? , 0? ? 2 12 ? ? 2 ?

k ? Z ( 6? )

(Ⅱ)解不等式 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2



? k? ?

?
3

? x ? k? ?

?

令k ? 0,? ? k ? 1,

?
3

?x?

?

6

( 10? )

6

,? 0 ? x ?

?
6

2? 7? 2? ? ? ? ? 2? ? ?x? ,? ? x ? ? ? ?0, ? ? 上的单调递增区间为 ?0, ?, ? , ? ? ( 12? ) 3 6 3 ? 6? ? 3 ?

21. (I)由题意得,

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 3 3 ? ? sin 2 A ? sin 2 B ,即 2 2 2 2

3 1 3 1 ? ? sin 2 A ? cos 2 A ? sin 2 B ? cos 2 B ,sin(2 A ? ) ? sin(2 B ? ) ,由 a ? b 得, A ? B , 2 2 2 2 6 6
又 A ? B ? ? 0, ? ? ,得 2 A ?

?

6 6 4 a c 8 (II)由 c ? 3 , sin A ? , 得a ? , ? 5 sin A sin C 5
由a ? c, 得A?C, 从而 cos A ?

? 2B ?

?

? ? ,即 A ? B ?

2? ? ,所以 C ? (6 分) 3 3

4?3 3 3 , 故 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C ? , 10 5

所以 ?ABC 的面积为 S ?

1 8 3 ? 18 .(12 分) ac sin B ? 2 25
1 ? ln x , x2

22. 解:(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ?( x) ? 由 f ?( x) ?

1 ? ln x ? 0 ,得 x ? e . x2
1 ? ln x 1 ? ln x ? 0 ;当 x ? e 时, f ?( x) ? ? 0. 2 x x2

当 0 ? x ? e 时, f ?( x) ?

所以函数 f ( x) 在 (0, e] 上单调递增,在 [e,??) 上单调递减. (3 分) (Ⅱ)(1)当 0 ? 2m ? e ,即 0 ? m ?

e 时, f ( x) 在 [m,2m] 上单调递增,所以 2

f ( x) max ? f (2m) ?

ln(2m) ? 1. 2m

(2)当 m ? e 时, f ( x) 在 [m,2m] 上单调递减,所以

f ( x) max ? f (m) ?

ln m ? 1. m
e ? m ? e 时, f ( x) 在 [m, e] 上单调递增,在 [e,2m] 上单调递减,所以 2
(7 分)

(3)当 m ? e ? 2m ,即

f ( x) max ? f (e) ?

1 ?1 e

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,当 x ? (0,??) 时, f ( x) max ? f (e) ?

1 ? 1 ,所以在 (0,??) 上,恒有 e

ln x 1 ln x 1 ? 1 ? ? 1 ,即 ? 且当 x ? e 时等号成立. x e x e 1 因此,对 ?x ? (0,??) ,恒有 ln x ? x . e 1? n 1? n 1? n 1 1? n 1? n 1? n 因为 ,即 e ln , ? 0, ? e ,所以 ln ? ? ? n n n e n n n 1? n e 1? n 所以 ln( . ) ? n n 1? n e 1? n 即对 ?n ? N ? ,不等式 ln( 成立. (12 分) ) ? n n f ( x) ?

? ? 4 cos ? ? ? ? 4 ? cos ? , 22 解: (1) 故曲线 C1 的方程为 x ? y ? 4 x ? 0 , 即 ( x ? 2) ? y ? 4 。
2 2 2 2 2

故 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ?

? x ? 2 ? 2 cos ? ? ( ? 为参数) ; 因 为 ? cos(? ? ) ? 2 2 , 故 4 ? y ? 2 sin ?

2 ( ? cos ? ? ? sin ? ) ? 2 2 ,即曲线 C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 2 ?x2 ? y 2 ? 4x ? 0 ?x ? 1 ?x ? 2 (2)由 ? ,解得 ? 或? ,故 MN ? 2 2 ? y ? 0 ? y ? ?2 ?x ? y ? 4 ? 0
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