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山东省高中数学(新课标人教A版)必修三《2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征》课件


2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征
【课标要求】 1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差. 2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法. 3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题. 【核心扫描】 1.求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.(重点) 2.准确求出样本的数字特征,并理解其意义.(难点)

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自学导引
众数、中位数、平均数的概念 1. 次数 (1)众数:一组数据中出现_____最多的数称为这组数据的 众数.一组数据中的众数可能不止一个,也可能没有.众 集中趋势 数反映了该组数据的_________.在频率分布直方图中, 中点 最高矩形的_____就是数据的众数. (2)中位数:一组数据按从小到大的顺序排成一列,处于 _____位置的数称为这组数据的中位数(或两个数据的平均 中间 数).一组数据中的中位数是唯一的,反映了该组数据的 集中趋势.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直 方图的面积_____ . 相等
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(3)平均数:一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数 x1+x2+?+xn x= n 据的平均数.数据 x1,x2,?,xn 的平均数_________________. 平均水平 平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的__________.

聘 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系是怎 样的? 提示 (1)众数是最高矩形中点的横坐标;(2)中位数左右 两边的直方图的面积应该相等;(3)平均数的估计值等于 频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点 的横坐标之和.

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标准差与方差 2. (1)标准差:标准差是样本数据到平均数的一种平均距 离,一般用s表示,通常用公式
1 [?x1- x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2] n s=___________________________________.

显然,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小, 数据的离散程度越小. (2)方差:标准差 s 的平方 s2,即

1 s =n[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2] ______________________________________
2

叫做这组数据的方差,同标准差一样,方差也是用来测量 样本数据的分散程度的特征数.
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名师点睛
对众数、中位数、平均数的理解 1. (1)众数通常用来表示样本数据的中心值,容易计算.但 是它只能表达样本数据中很少的一部分信息,通常用于描 述样本数据的中心位置. (2)中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数 据)的影响,容易计算,它仅利用了中间数据的信息.当 样本数据质量比较差,即存在一些错误数据时,应该用抗 极端性很强的中位数表示数据的中心值. (3)平均数受样本中的每一个数据的影响,“越离群”的数 据,对平均数的影响也越大.与众数和中位数相比,平均 数代表了数据更多的信息.当样本数据质量比较差时,使 用平均数描述数据的中心位置可能与实际情况产生较大的 误差.
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(4)如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许 多较大的极端值;反之说明数据中存在许多较小的极端 值.在实际应用中,如果同时知道样本中位数和样本平均 数,可以使我们了解样本数据中极端数据的信息.

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对标准差和方差的理解 2. (1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周围 的程度,标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周 围越集中;反之,标准差越大,表明各样本数据在样本平 均数的两边越分散. (2)若样本数据都相等,则s=0. (3)当样本的平均数相等或相差无几时,就要用样本数据 的离散程度来估计总体的数字特征,而样本数据的离散程 度,就由标准差来衡量.

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(4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描 述.极差反映了一组数据变化的最大幅度,它对一组数据 中的极端值非常敏感,方差则反映了一组数据围绕平均数 波动的大小.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅 度,通常用标准差——样本方差的算术平方根来描述. (5)标准差的大小不会越过极差. (6)方差、标准差、极差的取值范围:[0,+∞).当标准 差、方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动 幅度,数据没有离散性. (7)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大 了偏差的程度,所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的 分散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般采用标 准差.
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题型一

众数、中位数、平均数的简单应用

【例1】高一(3)班有男同学27名,女同学21名,在一次语文测 验中,男同学的平均分是82分,中位数是75分,女同学的 平均分是80分,中位数是80分. (1)求这次测验全班平均分(精确到0.01); (2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少 人? (3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是 什么? [思路探索] 根据各种数据的定义及意义解决.
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1 解 (1) 利 用 平 均 数 计 算 公 式 得 x = (82×27 + 48 80×21)≈81.13(分). (2)∵男同学的中位数是75, ∴至少有14人得分不超过75分.

又∵女同学的中位数是80, ∴至少有11人得分不超过80分. ∴全班至少有25人得分低于80分(含80分). (3)男同学的平均分与中位数的差别较大,说明男同学中 两极分化现象严重,得分高的和低的相差较大.

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规律方法 1.中位数的求法 (1)当数据个数为奇数时,中位数是按从小到大顺序排列 的中间那个数. (2)当数据个数为偶数时,中位数为排列的最中间的两个 数的平均数. 2.深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数 据上的特点,并结合实际情况,灵活应用.

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【变式1】某校在一次考试中,甲、乙两班学生的数学成绩统 计如下: 分数 人数 甲班 乙班 1 3 6 5 12 15 11 3 15 13 5 11 50 60 70 80 90 100

选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩.

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解 甲班平均分79.6分,乙班平均分80.2分,从平均分看 成绩较好的是乙班;甲班众数为90分,乙班众数为70分, 从众数看成绩较好的是甲班; 甲班的第25个和第26个数据都是80,所以中位数是80分, 同理乙班中位数也是80分,但是甲班成绩在中位数以上 (含中位数)的学生有31人,占全班学生的62%,同理乙班 27人,占全班学生的54%,所以从中位数看成绩较好的是 甲班. 如果记90分以上(含90分)为优秀,甲班有20人,优秀率为 40%,乙班有24人,优秀率为48%,从优秀率来看成绩较 好的是乙班.可见,一个班学生成绩的评估方法很多,需 视要求而定.如果不考虑优秀率的话,显然以中位数去评 估比较合适.
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题型二

标准差、方差的应用

【例2】甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验 质量,各从中抽取6件测量,数据为: 甲:99 100 98 100 100 103 乙:99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
[思路探索] 求平均数 ―→ 求?xi- x ?2 ―→ 求方差s2

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1 (1) x 甲= (99+100+98+100+100+103)=100, 6 1 x 乙= (99+100+102+99+100+100)=100. 6 2 1 s 甲 = [(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2 6 7 2 2 +(100-100) +(103-100) ]= , 3 2 1 s 乙 = [(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2 6 +(100-100)2+(100-100)2]=1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同, 又 s 甲 2>s 乙 2, 所以乙机床加工零件的质量更稳定. 解

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规律方法 1.几个性质:(1)若 x1,x2,?,xn 的平均数是 x , 那么 mx1+a,mx2+a,?,mxn+a 的平均数是 m x +a. (2)数据 x1,x2,?,xn 与数据 x1+a,x2+a,?,xn+a 的方 差相等. (3)若 x1,x2,?,xn 的方差为 s2,那么 ax1,ax2,?,axn 的 方差为 a2s2. 1 2 2.(1)方差的基本公式:s = [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- n x )2]. 1 2 (2)方差的简化公式:s = [(x12+x22+?+xn2)-n x 2)].或写 n 1 2 2 成 s = (x1 +x22+?+xn2)- x 2,即方差等于原数据平方的平 n 均数减去平均数的平方.
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【变式2】从甲、乙两种玉米苗中各抽10株,分别测得它们的 株高如下:(单位:cm) 甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问:(1)哪种玉米的苗长得高? (2)哪种玉米的苗长得齐?

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(1) x 甲=

1 (25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)= 10

1 ×300=30(cm), 10 1 x 乙= (27+16+44+27+44+16+40+40+16+40) 10 1 = ×310=31(cm).∴ x 甲< x 乙. 10 1 2 (2)s 甲 = [(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22- 10 30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2] 1 = (25+121+100+49+64+256+121+81+81+144) 10 1 = ×1 042=104.2(cm2), 10 1 1 2 2 2 2 2 2 s 乙 = [(2×27 +3×16 +3×40 +2×44 )-10×31 ]= ×1 10 10 288=128.8(cm2),∴s 甲 2<s 乙 2. 所以乙种玉米的苗长得高,甲种玉米的苗长得整齐.
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题型三

用频率分布表或直方图求数字特征

【例3】已知一组数据:125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表:
分组 [120.5,122.5) [122.5,124.5) [124.5,126.5) [126.5,128.5) [128.5,130.5] 合计 频数 频率

(2)作出频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众 数、中位数和平均数.
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审题指导 先由频数分别求出各组的频率,列出频率分布 表,画出频率分布直方图,再由频率分布直方图中数字特 征的意义作答. [规范解答] (1) 分组 [120.5,122.5) [122.5,124.5) [124.5,126.5) [126.5,128.5) [128.5,130.5] 合计 频数 2 3 8 4 3 20 频率 0.1 0.15 0.4 0.2 0.15 1

(4分)

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(2)

(8分)

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(3)在[124.5,126.5)中的数据最多,取这个区间的中点值作 为众数的近似值,得众数为125.5,事实上,众数的精确 值为125. 又∵前两个小矩形的频率和为0.25. ∴设第三个小矩形底边的一部分长为x. 则x×0.2=0.25,得x=1.25. ∴中位数为124.5+1.25=125.75. 事实上中位数为 125.5.使用“组中值”求平均数: x =
121.5×0.1 + 123.5×0.15 + 125.5×0.4 + 127.5×0.2 + 129.5×0.15=125.8,平均数的精确值为 x =125.75.(12 分)

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【题后反思】 利用频率分布直方图求数字特征; ①众数是最高的矩形的底边的中点. ②中位数左右两侧直方图的面积相等. ③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横 坐标. ④利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值,往往 与实际数据得出的不一致.但它们能粗略估计其众数、中 位数和平均数.

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【变式3】某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成 绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方 图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频 率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.

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求:(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数. (2)高一参赛学生的平均成绩. 解 (1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点 值作为众数的近似值,得众数为65,又∵第一个小矩形的 面积为0.3,∴设第二个小矩形底边的一部分长为x, 则x×0.04=0.2,得x=5,∴中位数为60+5=65. (2)依题意,平均成绩为55×0.3+65×0.4+75×0.15+ 85×0.1+95×0.05=67,∴平均成绩约为67.

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方法技巧

分类讨论思想的应用

在解决问题时,由于条件的变化,问题的结果有多种情 况,不能用同一标准或同一种方法解决,这就需要对条件 进行分类讨论,这就是分类讨论思想.

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【示例】 某班4个小组的人数为10,10,x,8,已知这组数据的中 位数与平均数相等,求这组数据的中位数. [思路分析] 从中位数的定义入手进行讨论,根据不同情况 分类求解.

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1 解 该组数据的平均数为 (x+28),中位数一定是其中两个 4 数的平均数,由于 x 不知是多少,所以要分几种情况讨论. (1)当 x≤8 时,原数据按从小到大的顺序排列为 x,8,10,10, 1 1 其中位数为 ×(10+8)=9.若 (x+28)=9,则 x=8,此时中 2 4 位数为 9. (2)当 8<x≤10 时,原数据按从小到大的顺序排列为 8, 1 1 1 x,10,10,其中位数为 (x+10).若 (x+28)= (x+10),则 x 2 4 2 =8,而 8 不在 8<x≤10 的范围内,所以舍去. (3)当 x>10 时,原数据按从小到大的顺序排列为 8,10,10,x, 1 1 其中位数为 ×(10+10)=10.若 (x+28)=10,则 x=12,此 2 4 时中位数为 10. 综上所述,这组数据的中位数为 9 或 10.
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方法点评 当在数据中有未知数x求其中位数时,因x的 取值不同,所以数据由大到小(或由小到大)的排列顺序不 同,故中位数也不同,这就是本题分类讨论的原因.

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