【新课标I版】地区2015届高三数学(理)一轮复习参考试题：圆锥曲线

圆锥曲线
2015 2014 3 2013 2 2012 3

【2014 新课标 I 版（理）4】已知 F 为双曲线 C : x 2 ? my2 ? 3m(m ? 0) 的一个焦点，则点

F 到 C 的一条渐近线的距离为（
A.

）

3

B. 3

C.

3m

D. 3m

【答案】A 【2014 新课标 I 版（理）10】已知抛物线 C： y ? 8x 的焦点为 F，准线为 l ，P 是 l 上一点，
2

Q 是直线 PF 与 C 得一个焦点，若 PF ? 4FQ ，则 QF ? （ A.

）

7 2

B.

3

C.

5 2

D.

2

【答案】B 【2013 新课标 I 版（理）4】已知双曲线 C： 则 C 的渐近线方程为( A．y＝ ? )．
[来源:学科网 ZXXK]

x2 y2 5 ? 2 =1 (a＞0，b＞0)的离心率为 ， 2 a b 2

1 x 4

B．y＝ ?

1 x 3

C．y＝ ?

1 x 2

D．y＝±x

【答案】C 【2013 新课标 I 版（理）10】已知椭圆 E：

x2 y 2 ? =1 (a＞b＞0)的右焦点为 F(3,0)，过 a 2 b2
)．

点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为( A．

x2 y2 ? =1 45 36

B．

x2 y2 ? =1 36 27

C．

x2 y 2 ? =1 27 18

D．

x2 y 2 ? =1 18 9

【答案】 ：D 【2012 全国， 理 4】 设 F1， F2 是椭圆 E：

3a x2 y 2 ? 2 ? 1 (a＞b＞0)的左、 右焦点， P 为直线 x ? 2 2 a b
)

上一点，△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离 心率为( A．

1 2

B．

2 3

C．

3 4

D．

4 5
2

【答案】C 【2012 新课标 I 版（理）8】等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y ＝

16x 的准线 交于 A，B 两点， |AB| ? 4 3 ，则 C 的实轴长为( A． 2 【答案】C 【2014 新课标 I 版（理）20】(本小题满分 12 分） B． 2 2 C．4 D．8

)

x2 y 2 3 已知点 A (0, 2) ,椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ；F 是椭圆 E 的右焦点， a b 2
直线 AF 的斜率为

2 3 ，O 为坐标原点 3

（I）求 E 的方程； （II）设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点。当 ?OPQ 的面积最大时，求 l 的直线 方程. 【答案】

2 2 3 （I）设F (c, 0)，由条件知， = ，得c = 3. c 3 c 3 又 ? , 所以a=2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1. a 2 x2 故E的方程为 ? y 2 ? 1. 4

（II）当? ? x轴时不合题意，故设? : y =kx ? 2, P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ). 将y ? kx ? 2代入 x2 ? y 2 ? 1得 4

(1 ? 4k 2 ) x2 ?16kx ? 12 ? 0.
3 8k ? 2 4 k 2 ? 3 当? =16(4k 2 ? 3) ? 0, 即k 2 ? 时，x1,2 ? . 4 4k 2 ? 1 4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 3 . 4k 2 ? 1 2 又点O到直线PQ的距离d ? .所以?OPQ的面积 k 2 ?1 从而 PQ ? k 2 ? 1 x1 ? x2 ?

1 4 4k 2 ? 3 S?OPQ = d ? PQ ? . 2 4k 2 ? 1

设 4k 2 ? 3 ? t , 则t ? 0, S ?OPQ ?

4t 4 ? . t ?4 t? 4 t
2

因为t ?

4 7 ? 4, 当且仅当t ? 2，即k ? ? 时等号成立，且满足? ? 0. t 2 所以，当?OPQ的面积最大时，?的方程为 y? 7 7 x ? 2或y ? ? x?2 2 2
2

【2012 新课标 I 版（理）20】设抛物线 C：x ＝2py(p＞0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上 一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点． (1)若∠BFD＝90°，△ABD 的面积为 4 2 ，求 p 的值及圆 F 的方程； (2)若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标 原点到 m，n 距离的比值． 【答案】 （1）由对称性知： ?BFD 是等腰直角 ? ，斜边 BD ? 2 p

点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p
S?ABD ? 4 2 ? 1 ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2

圆 F 的方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 8 （2）由对称性设 A( x0 ,
2 p x0 )( x0 ? 0) ，则 F (0, ) 2 2p 2 x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p2 2p 2p 2

点 A, B 关于点 F 对称得： B(? x0 , p ?

3p p ? 3p 2 2 x ? p ? x ? 3y ? 3 p ? 0 ) ，直线 m : y ? 得： A( 3 p, 2 2 2 3p

x2 ? 2 py ? y ?

3p p x2 x 3 3 , ) ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( 3 6 2p p 3 3

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为

3p 3p : ?3。 2 6

错误！未指定书签。 ． （河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学（理）试题）已知 F1 , F2

分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的 左 右 焦 点 , 若 F2 关 于 渐 近 线 的 对 称 点 为 M , 且 有 a 2 b2
（ C． 2 2 D．2 ）

| MF1 |? c ,则此双曲线的离心率为
A． 2
【答案】D 错误！未指定书签。 ． （河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知

B． 3

抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上的点 P(m,-2)到焦点的距离为 4,则 m 的值为 （ A．4
【答案】 C 错误！未指定书签。 ． （河北省 唐山市 2014 届高三摸底考试数学（理）试题） 已知双曲线

）

B．-2

C．4 或-4

D．12 或-2

[来源:学科网 ZXXK]

x2 y 2 ? =1(a>0,b>0)的左、 右焦点分别为 Fl,F2,以 F1 F2 为直径的圆与 双曲线渐近线的 a 2 b2
一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为 A． （ C． ）

x2 y 2 ? ?1 16 9

B．

x2 y 2 ? ?1 3 4

x2 y 2 ? ?1 9 16

D．

x2 y 2 ? ?1 4 3

【答案】C 错误！未指定书签。 ． （河北省邯郸市武安三中 2014 届高三第一次摸底考试数学理试题）已知

抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,且经过点 M(2, y0 )若点 M 到焦点的距离为 3,则 OM = A． 2 2
【答案】B

（ B． 2 3 C ．4 D． 2 5

）

（河南省安阳市 2014 届高三第一次调研）抛物线 y ＝2px（p＞0）的焦点为 F，已知点 A， B 为抛物线上的两个动点，且满足

2

uuur ｜ MN ｜ ∠AFB＝90°．过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 uuu r 的最 ｜ AB ｜
大值为 A．

2 2

B．

3 2

C．1

D． 3

答案：A
错误！未指定书签。 ． （河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考数学（理）试题） F 1、

F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点,点 P 在双曲线上,若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9,则点 P 16 20

到焦点 F2 的距离等于________.
【答案】17 错误！ 未指定书签。 ． （河北省唐山市 2014 届高三摸底考试数学 （理） 试题） 抛物线 y =2px (p>0)
2

的准线截圆 x +y -2y-1=0 所得弦长为 2,则 p=_____________. 【答案】2
错误！未指定书签。 ． （河北省张家口市蔚县一中 2014 届高三一轮测试数学试题） 椭圆

2

2

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F,直线 x ? m 与椭圆相交 于 A,B 两点,若 ?FAB a2 b2
的周长最大时, ?FAB 的面积为 ab ,则椭圆的离心率为________.
【答案】

2 2

错误！ 未指定书签。 ． （河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学 （理） 试题） 已知 Q(2,1), F

为 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 , P 是 抛 物 线 上 一 个 动 点 , 则 | PF | ? | PQ | 的 最 小 值 为 _______. 【答案】3
错误！未指定书签。 ． （河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学（理）试题）已知定点

G(?3, 0) , S 是圆 C : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 72 上的动点, SG 的垂直平分线与 SC 交于点 E ,
设点 E 的轨迹为 M . (1)求 M 的方程; (2)是否存在斜率为 1 的直线 l ,使得 l 与曲线 M 相交于 A、B 两点,且以 AB 为直径的 圆恰好经过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

【答案】解:(1)由题知 | EG |?| ES | ,所以 | EG | ? | EC |?| ES | ? | EC |? 6

2
[来源:学科网

又因为 | GC |? 6 ? 6 2 ,所以点 E 的轨迹是以 G, C 为焦点,长轴长为 6 2 的椭圆.
ZXXK]

故动点 E 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1. 18 9

(2) 假设存在符合题意的直线 l 与椭圆 C 相交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点 , 其方程为

y ? x?m

? y ? x ? m, ? 由 ? x2 y 2 消去 y ,化简得 3x 2 ? 4mx ? 2m2 ? 18 ? 0 . ? 1, ? ? ?18 9
因为直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点, 所以 ? ? 16m2 ? 12(2m2 ? 18) ? 0 , 化简得 m2 ? 27 ,解得 ?3 3 ? m ? 3 3 所以 x1 ? x2 ? ?

2(m 2 ? 9) 4m , x1 ? x2 ? . 3 3

因为以线段 AB 为直径的圆 恰好经过原点, 所以 OA ? OB ? 0 ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 又 y1 y2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m ,
2

x1x2 ? y1 y2 ? 2x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ?
解得 m ? ?2 3 由于 ?2 3 ? (?3 3,3 3) ,

4(m2 ? 9) 4m2 ? ? m2 ? 0 , 3 3

所以符合题意的直线 l 存在,所求的直线 l 的方程为

y ? x?2 3或 y ? x?2 3
错误！未指定书签。 ． （河北省容城中学 2014 届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知点

A(-2,0),B(2,0),直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为 ? ， 记点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程. (2) 设 M,N 是曲线 C 上任意两点,且 OM ? ON ? OM ? ON ， 问是否存在以原点为圆心 且与 MN 总相切的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)设 P(x,y)

3 4

解得直线 MN 的方程为 x ? ?

12 . 7 12 . 7

∴原点 O 到直线 MN 的距离 d=

若直线 MN 斜率存在,设方程为 y=kx+m.

? y ? kx ? m, ? 由 ? x 2 y2 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. ?1 ? ? 3 ?4
∴ x1 ? x 2 ?

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

?8km 4m2 ? 12 , x x ? . ?*? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

错误！未指定书签。 ． （河北省正定中学 2014 届高三上学期第一次月考数学试题） 已知椭圆

1 x2 y 2 C: 2 ? 2 =1(a >b>0) 的一个焦点是 F(1,0) ,且离心率为 . 2 a b (1)求椭圆 C 的方程; (2) 设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M ，N 两点 , 线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0，y0 ) ,求 y0 的取值范围.

【答案】(1)设椭圆 C 的半焦距是 c. 依题意,得 c ? 1.

因为椭圆 C 的离心率为

1 2 2 2 ＝2， b ＝a － c ＝ 3.故 椭 圆 C 的 方 程 为 , 所 以 a＝2 c 2

x2 y 2 ? =1. 4 3
(2) 当 MN ? x 轴 时 , 显 然 y0＝0. 当 MN 与 x 轴 不 垂 直 时 , 可 设 直 线 MN 的 方 程 为

y＝k ( x－ 1)(k ? 0)．
y＝k x－ ， ? ? 2 2 由?x y ＋ ＝1， ? ?4 3

消去 y 并整理得

(3 ＋4 k2 x )2 － 8 k 2＋ x 4－ k (2 ＝ 3) 0.

设 M ( x1，y1 )，N ( x2，y2 )， 线段 MN 的中点为 Q( x3，y3 )， 则 x1 ? x2 ?

8k 2 . 3 ? 4k 2

所以 x3 ?

x1 ? x2 ?3k 4k 2 . ? , y3 ? k ( x3 ? 1) ? 2 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k

线段 MN 的垂直平 分线的方程为 y ?

3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ). 3 ? 4k 2 k 3 ? 4k 2

在上述方程中,令 x=0,得 y0 ?

k2 1 ? . 2 3 3 ? 4k ? 4k k
所以 ?

当 k<0 时 ,

3 3 ? 4k ? ?4 3; 当 k>0 时 , ? 4k ? 4 3. k k

3 ? y0 < 0或 12

0<y0 ?

3 . 12 3 3 , ]. 12 12

综上, y0 的取值范围是 [?

错误！未指定书签。 ． （河北省唐山市 2014 届高三摸底考试数学（理）试题）已知点 M 是椭圆

C:

x2 y 2 ? =1(a>b>0)上一点,F1、F2 分别为 C 的左、右焦点,|F1F2|=4, a 2 b2
o

∠F1MF2 =60 ,∠F1 MF2 的面积为

4 3 3

(I)求椭圆 C 的方程; ( II)设 N(0,2),过点 p(-1,-2)作直线 l,交椭圆 C 异于 N 的 A、B 两点,直线 NA、NB 的 斜率分别为 k1、k2,证明:k1+k2 为定值.

【答案】

错误！未指定书签。 ． （河北省保定市八校联合体2014届高三上学期第一次月考数学（理科）试

题） 已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于

1 ,它的一个顶点恰好是抛物线 2

x 2 ? 8 3y 的焦点.
(1)求椭圆C的方程; (2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,A、B是椭圆上位 于直线PQ两侧的动点, (i)若直线AB的斜率为

1 ,求四边形APBQ面积的最大值; 2

(ii)当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.

【答案】解:(1)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 b ? 2 3 . a2 b2

由

c 1 2 ? , a ? c 2 ? b 2 ,得 a ? 4 a 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 16 12
1 x?t, 2

(2)(i)解:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 y ? 代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得 x 2 ? tx ? t 2 ? 12 ? 0 16 12

由 ? ? 0 ,解得 ? 4 ? t ? 4 由韦达定理得 x1 ? x 2 ? ?t , x1 x 2 ? t ? 12 .
2

四边形 APBQ 的面积 S ? ∴当 t ? 0 , S max ? 12 3

1 ? 6 ? x1 ? x 2 ? 3 48 ? 3t 2 2

(ii)解:当 ?APQ ? ?BPQ ,则 PA 、 PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k 则 PB 的斜率为 ? k , PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2)

? y ? 3 ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 y 2 ?1 (2) ? ? ?16 12
2

(1)

(1)代入(2)整理得 (3 ? 4k ) x ? 8(3 ? 2k ) kx ? 4(3 ? 2k ) ? 48 ? 0
2 2

x1 ? 2 ?

8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2

同理 PB 的直线方程为 y ? 3 ? ? k ( x ? 2) ,可得 x 2 ? 2 ? ∴ x1 ? x2 ?

? 8k (?2k ? 3) 8k (2k ? 3) ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
[来源:学*科*网]

16k 2 ? 12 ?48k , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

k AB ?

y1 ? y 2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x 2 ? 2) ? 3 k ( x1 ? x 2 ) ? 4k 1 ? ? ? x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 2
1 2

所以 AB 的斜率为定值

错误！未指定书签。 ． （河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知,

? 3? 椭圆 C 过点 A?1， ?,两个焦点为(-1,0),(1,0). ? 2?
(1)求椭圆 C 的方程; (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线

EF 的斜率为定值,并求出这个定值.
【答案】解:(1)由题意 c=1,由定义|F1A|+|F2A|

=

9 4＋ + 4

9 =4=2a, 4

∴a=2,∴b= 3,∴椭圆方程为 + =1 4 3 3 x y (2) 设直线 AE 方程为:y=k(x-1)+ ,代入 + =1 2 4 3
2 2

x2 y2

?3 ? 得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4? －k?2-12=0 ?2 ? ? 3? 设 E(xE,yE),F(xF,yF),因为点 A?1， ?在椭圆上, ? 2? ?3 ?2 4? －k? －12 3 ?2 ? 所以 xE= ,yE=kxE+ -k 2 3＋4k 2
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以-k 代 k,

? 3 ?2 4? ＋k? －12 3 ?2 ? 可 得 xF= ,yF=-kxF+ +k 2 3＋4k 2
所以直线 EF 的斜率 kEF=

[来源:Zxxk.Com]

yF－yE －k(xF＋xE)＋2k 1 = = , xF－xE xF－xE 2

1 即直线 EF 的斜率为定值,其值为 2
错误！未指定书签。 ． （河北省邯郸市武安三中 20 14 届高三第一次摸底考试数学理试题）已知椭

圆

x2 ? y 2 ? 1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4

(I)求椭圆 C2 的方程. (II)设 O 为坐标原点,点 A.B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程.
【答案】解:(1)椭圆

的长轴长为 4,离心率为

∵椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率 ∴椭圆 C2 的焦点在 y 轴上,2b=4,为 ∴b=2,a=4

∴椭圆 C2 的方程为

;

(2)设 A,B 的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB), ∵ ∴O,A,B 三点共线,且点 A,B 不在 y 轴上 ∴设 AB 的方程为 y=kx 将 y=kx 代入 ,消元可得(1+4k )x =4,∴
2 2

将 y=kx 代入

,消元可得(4+k )x =16,∴

2

2

∵ ∴

,∴

=4

,

,解得 k=±1,

∴AB 的方程为 y=±x