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人教版高中数学必修2《点、线、面之间的位置关系1》师用


必修 2 第二章《点、直线、平面之间的位置关系》
§2.1.1
【知识要点】
1.平面:是一个只给出描述而未下定义的最基本的原始概念,对平面这一概念应从以下三个方面注 意理解:“平面”是平的;“平面”无厚度;“平面”无边界,可以向四面八方无限延展. 2.符号语言的记法 (1)关于平面的记法 用一个希腊字母表示一个平面,如平面 α、平面 β 平面的 用

平面上的三个点来表示,如平面 ABC,平面 BCD 记法 用平面上的四个点来表示,如平面 ABCD (2)点、线、面位置关系的符号记法 ? 点和直线、平面的位置关系 位置关系 点 P 在直线 a 上 点 P 不在直线 a 上 点 M 在平面 α 内 点 M 不在平面 α 内 直线 a 与直线 b 交于点 A ? 直线和平面的位置关系 位置关系 直线 a 在平面 α 内 公共点个数 符号表示 图形表示 符号表示

平面

P?a
P?a

M ??

M ??

a ?b ? A

无数个

a ??

直线 a 与平面 α 相交

有且只有一个公共点

a ?? ? A

直线 a 与平面 α 平行

0

a ∥?

?

平面和平面的位置关系 位置关系 公共点个数 符号表示 图形表示

两平面平行

0

? ∥?

有无数个公共点在 斜交 一条直线上 两平面相交 有无数个公共点在 垂直 一条直线上

? ?? ? a

? ??

? ?? ? a

3.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下: 公理 1 公理 2 公理 3

图形 语言

文字 语言

如果一条直线上的两点 在一个平面内,那么这条 直线在此平面内.
A ? l, B ? l ? ??l ?? A ?? , B ?? ?

过不在一条直线上的三点, 有 且只有一个平面.

如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么它们有且只有一条 过该点的公共直线.
?? ? ? ? l P ?? , P ? ? ? ? ?P ? l

符号 语言

A, B, C不共线 ? A, B, C确定平面?

【补充】公理 2 的三条推论: 【推论 1】 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 【推论 2】 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 【推论 3】 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 【例题精讲】 【例题 1】下列推理错误的是(


A. A ? l , A ? ? ; B ? l , B ? ? ? l ? ? . B. A ? ? , A ? ? ; B ? ? , B ? ? ? ? ? ? ? AB . C. l ? ? , A ? l ? A ? ? . D. A、B、C ? ? , A、B、C ? ? ,且 A、B、C 不共线 ? ? 与 ? 重合

【变式 1】下列说法不正确的是(



A. 空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形. B. 同一平面的两条垂线一定共面. C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内. D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.

【例题 2】如图正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,判下列命题是否正确,并说明理由.
(1) 直线 AC1 在平面 CC1 B1 B 内; (2) 设正方形 ABCD 与 A1B1C1D1 的中心分别为 O 、 O1 ,则平面 AAC 1 1C 与 平面 BB1D1D 的交线为 OO1 ; (3) 由点 A 、O、 C 可以确定一个平面; (4) 由 A 、 C1 、 B1 确定的平面是 ADC1B1 ; (5) 若直线 l 是平面 AC 内的直线,直线 m 是平面 D1C 上的直线,若 l 与 m 相交,则交点一定在直 线 CD 上; (6) 由 A 、 C1 、 B1 确定的平面与由 A 、 C1 、 D 确定的平面是同一平面.

【变式 1】如果 a ? ? , b ? ? , l ∩ ? =A, l ∩ b =B 那么下列关系成立的是(
A. l ?



?

B. l 不在 ? 内

C. l ∩ ? =A )

D. l ∩ a =B

【变式 2】平面 a 、 ? 的公共点多于两个,则正确的命题是(
A. ? 、 ? 重合 C. ? 、 ? 至少有一条公共直线

B. ? 、 ? 至少有 3 个公共点 D. ? 、 ? 至多有一条公共直线

【变式 3】已知△ ABC 的两边 AC、BC 分别交平面 ? 于点 E、F,又设直线 AB 交 ? 于点 M,则点
M 与直线 EF 的位置关系为 .

【变式 4】如下图所示, A 、 B 、 C 三点确定的平面与 D 、 E 、 F 三点确定的平面相于直线 l ,
且 AB 与 l 相交,EF 与 l 也相交.作出平面 ABD 与平面 CEF 的交线. 作法:(1)连结 AB 交 l 于 G,连结 EF 交于 H; (2)连结 DG 交 (3)连结 CH 交 (4)连结 于 于 ; ;

此于即为所作的交线.

【变式 5】在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
(1) AA1 与 CC1 是否在同一平面内? (2)点 B, C1 , D 是否在同一平面内? (3)画出平面 AC1 与平面 BC1 D 的交线,平面 ACD1 与平面 BDC1 的交线. 解:(1)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, ∵ AA1 // CC1 , ∴由公理 2 的推论可知, AA1 与 CC1 可确定平面 AC1 , ∴ AA1 与 CC1 在同一平面内. (2)∵点 B, C1 , D 不共线,由公理 3 可知,点 B, C1 , D 可确定平面 BC1 D , ∴ 点 B, C1 , D 在同一平面内. (3)∵ AC ? BD ? O , D1C ? DC1 ? E , ∴点 O ? 平面 AC1 , O ? 平面 BCD1 , 又 C1 ? 平面 AC1 , C1 ? 平面 BC1 D , ∴ 平面 AC1 ? 平面 BC1 D ? OC1 , 同理平面 ACD1 ? 平面 BDC1 ? OE .

【点评】确定平面的依据有公理 2(不在同一条直线上的三点)和一些推论(两条平行直线、两条
相交直线、直线和直线外一点) .

【例题 3】求证:两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.
已知:直线 AB, BC , CA 两两相交,交点分别为 A, B, C , 求证:直线 AB, BC , CA 共面. 证明:因为 A,B,C 三点不在一条直线上,所以过 A,B,C 三点可以确定平面 α. 因为 A∈α,B∈α,所以 AB α. 同理 BC α,AC α.

所以 AB,BC,CA 三直线共面.

【解析】先依据公理 2,由不共线的三点确定一个平面,再依据公理 1,证三条直线在平面内.注意
文字语言给出的证明题,先根据题意画出图形,然后给出符号语言表述的已知与求证.常根据三条 公理,进行“共面”问题的证明.

【变式 1】已知直线 b // c ,且直线 a 与 b, c 都相交,求证:直线 a, b, c 共面.

【基础达标】
1.两个平面若有三个公共点,则这两个平面( A.相交
【C】

) D.以上都不对

B.重合

C.相交或重合

2.E、F、G、H 是三棱锥 A-BCD 棱 AB、AD、CD、CB 上的点,延长 EF、HG 交于 P,则点 P( A.一定在直线 AC 上 C.只在平面 BCD 内
【B】



B.一定在直线 BD 上 D.只在平面 ABD 内

3.用一个平面截一个正方体,其截面是一个多边形,则这个多边形边数最多是( A.三
【C】



B.四

C.六

D.八

4.下列说法中正确的是(



A.空间不同的三点确定一个平面 B.空间两两相交的三条直线确定一个平面 C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
【D】

5. 给出下列说法: ①梯形的四个顶点共面; ②三条平行直线共面; ③有三个公共点的两个平面重合; ④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面.其中说法正确的序号依次是 6.已知空间四点中无任何三点共线,那么这四点可以确定平面的个数是 .4 .①④

【能力提高】

7. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E、 F、 G、 H、 K、 L 分别是 DC、DD1、A1 D1、 A1 B1、BB1、BC 的中点. 求 证:这六点共面. 证明:连结 BD 和 KF ,因为 E、L 是 CD、CB 的中点,所以 EL // BD . 又 矩形 BDD1 B1 中 KF // BD ,所以 KF // EL , 所以 KF、EL 可确定平面 ? ,所以 E、F、K、L 共面 ? , 同理 EH // KL ,故 E、H、K、L 共面 ? . 又 平面 ? 与平面 ? 都经过不共线的三点 E、K、L , 故 平面 ? 与平面 ? 重合,所以 E、F、G、H、K、L 共面于平面 ? . 同理可证 G ?? ,所以,E、F、G、H、K、L 六点共面. (证明共面问题常有如下两个方法:直接法:先确定一个平面,再证明其余元素均在这个平面 上;间接法:先证明这些元素分别在几个平面上,再证明这些平面重合.) 8.(1) ?ABC 在平面 α 外, AB ? ? ? P , BC ? ? ? Q , AC ? ? ? R ,求证:P,Q,R 三点共线.
B B1 A1 H C1 F G D1

K A E L C D

证明: (1)根据公理 2 易知 ?ABC 确定平面 β,且与 α 有交线 l,根据公理 3 易知,P,Q,R 三 点都在直线 l 上,即三点共线.

(2)已知四边形 ABCD 中,AB∥CD,四条边 AB,BC,DC,AD(或其延长线)分别与平面 α 相 交于 E,F,G,H 四点,求证:四点 E,F,G,H 共线. (2)? AB∥CD,? AB,CD 确定一个平面 β,易知 AB,BC,DC,AD 都在 β 内,由平面的性 质可知四点 E,F,G,H 都在 β 上,因而,E,G,G,H 必都在平面 α 与 β 的交线上,所以四点 E, F,G,H 共线.

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
【知识要点】

? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ?共面直线 ? ?平行直线:同一平面内,没有公共点; 1.空间两条直线的位置关系: ? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.
2.【公理 4(平行公理)】平行于同一条直线的两条直线互相平行.

【定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
3.异面直线 a , b 所成的角 定义:已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O 作直线 a? // a, b? // b ,把 a?, b? 所成的锐角(或

直角)叫异面直线 a , b 所成的角(或夹角). 注意: a?, b? 所成的角的大小与点 O 的选择无关,为了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上; 异面直线所成的角的范围为 (0,90?] ,如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直, 记作 a ? b .求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:选点→平移→定角→计算.

【例题精讲】 【例题 1】已知异面直线 a 和 b 所成的角为 50° ,P 为空间一定点,则过点 P 且与 a、b 所成角都是
30° 的直线有且仅有( A.1 条 ). B.2 条 C.3 条 D.4 条

解:过 P 作 a ? ∥a, b ? ∥b,若 P∈a,则取 a 为 a ? ,若 P∈b,则取 b 为 b ? . 这时 a ? , b ? 相交于 P 点,它们的两组对顶角分别为 50° 和 130° . 记 a ? , b ? 所确定的平面为 β,那么在平面 β 内,不存在与 a ? , b ? 都成 30° 的直线. 过点 P 与 a ? , b ? 都成 30° 角的直线必在平面 β 外,这直线在平面 β 的射影是 a ? , b ? 所成对顶角 的平分线.其中射影是 50° 对顶角平分线的直线有两条 l 和 l ? ,射影是 130° 对顶角平分线的直线不存 在.故答案选 B.

【例题 2】如图正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 D1C1 和 B1C1 的中点,P、Q 分别为 AC 与
BD、A1C1 与 EF 的交点. (1)求证:D、B、F、E 四点共面; (2)若 A1C 与面 DBFE 交于点 R,求证:P、Q、R 三点共线. 证明:(1)∵ 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BB1 // DD1 ,∴ BD // B1 D1 . 又 ∵ B1 D1C1 中,E、F 为中点, ∴ EF //

1 B1D1 . ∴ EF // BD , 即 D、B、F、E 四点共面. 2

(2)∵ Q ? 平面AC1 , Q ? 平面BE , P ? 平面AC1 , P ? 平面BE , ∴ 平面AC1 ? 平面BE ? PQ . 又 AC1 ? 平面BE ? R , ∴
R ? 平面 A C 1 , R ? 平面BE , ∴ R ? PQ .即 P、Q、R 三点共线.

【例题 3】已知直线 a//b//c,直线 d 与 a、b、c 分别相交于 A、B、C,求证:a、b、c、d 四线共面.
证明:因为 a//b,由公理 2 的推论,存在平面 ? ,使得 a ? ? , b ? ? . 又因为直线 d 与 a、b、c 分别相交于 A、B、C,由公理 1, d ? ? . 假设 c ? ? ,则 c ? ? ? C ,在平面 ? 内过点 C 作 c ? // b ,

因为 b//c,则 c // c ? ,此与 c ? c ? ? C 矛盾.故直线 c ? ? . 综上述,a、b、c、d 四线共面. 点评:证明一个图形属于平面图形,需要紧扣公理 2 及其三条推论,寻找题中能确定平面的已 知条件.此例拓展的证明先构建出一个平面,然后从假设出发,推出矛盾,矛盾的原因是假设不成 立,这就是证明问题的一种反证法的思路.

【例题 4】如图中,正方体 ABCD—A1B1C1D1,E、F 分别是 AD、AA1 的中点.
(1)求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小;(2)求直线 AB1 和 EF 所成的角的大小. 解:(1)如图,连结 DC1 , ∵DC1∥AB1, ∴ DC1 和 CC1 所成的锐角∠CC1D 就是 AB1 和 CC1 所成的角. ∵ ∠CC1D=45° , ∴ AB1 和 CC1 所成的角是 45° . (2)如图,连结 DA1、A1C1, ∵ EF∥A1D,AB1∥DC1,∴ ∠A1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角. ∵ΔA1DC1 是等边三角形, ∴ ∠A1DC1=60? ,即直线 AB1 和 EF 所成的角是 60? . 点评:求解异面直线所成角时,需紧扣概念,结合平移的思想,发挥空间想象力,把两异面直 线成角问题转化为与两相交直线所成角, 即将异面问题转化为共面问题, 运用化归思想将难化易. 解 题中常借助正方体等几何模型本身的性质,依照选点、平移、定角、计算的步骤,逐步寻找出解答 思路.

【例题 5】已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是 BC、CD 上的点,


CF CG 2 ? ? . 求证:(1)E、F、G、H 四点共面;(2)三条直线 EF、GH、AC 交于一点. CB CD 3

证明:(1) 在△ABD 和△CBD 中,∵ E、H 分别是 AB 和 CD 的中点, ∴ EH //

1 CF CG 2 2 BD. 又 ∵ ? ? , ∴ FG // BD. 2 CB CD 3 3

∴ EH∥FG. 所以,E、F、G、H 四点共面. (2)由(1)可知,EH∥FG ,且 EH ? FG,即直线 EF,GH 是梯形的两腰,所以它们的延长线必相交于一点 P. ∵ AC 是 EF 和 GH 分别所在平面 ABC 和平面 ADC 的交线,而点 P 是上述两平面的公共点, ∴ 由公理 3 知 P ? AC. 所以,三条直线 EF、GH、AC 交于一点. 点评:一般地,证明三线共点,可证明两条直线的交点在第三条直线上,而第三条直线又往往 是两平面的交线.

【基础达标】
1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( A.异面 B. 平行 C. 相交 ) D. 以上都有可能

【D】

2.教室内有一把尺子,无论怎样放置,地面上总有这样的直线与该直尺所在直线( A.平行
【B】



B.垂直

C.相交但不垂直

D.异面

3.两条直线 a,b 分别和异面直线 c,d 都相交,则直线 a,b 的位置关系是( A.一定是异面直线 C.可能是平行直线
【D】



B.一定是相交直线 D.可能是异面直线,也可能是相交直线

4.把两条异面直线称作“一对”,在正方体的十二条棱中,异面直线的对数为( A. 12
【B】



B.24

C.36

D.48

5.正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,AB 的中点为 M, DD' 的中点为 N,异面直线 B ' M 与 CN 所成的 角是( A.30°
【B】

) B.90° C.45° D.60°

6.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,直线 AB1 与 BC1 所成角为______度. 60° 7.右图是正方体平面展开图,在这个正方体中: ① BM 与 ED 平行; ② CN 与 BE 是异面直线;
N D C M

③ CN 与 BM 成 60? 角; ④ DM 与 BN 垂直. 以上四个说法中,正确说法的序号依次是 .③④
E B F

【能力提高】
8.已知空间四边形 ABCD 各边长与对角线都相等,求 AB 和 CD 所成的角的大小. 解:分别取 AC、AD、BC 的中点 P 、M 、N .连接 PM、PN,由三角形的 中位线性质知 PN∥AB,PM∥CD,于是∠MPN 就是异面直线 AB 和 CD 成 的角,如右图所示. 连结 MN、DN,设 AB=2,∴ PM=PN=1.而 AN=DN= 3 , 则 MN⊥AD,AM=1,得 MN= 2 , ∴ MN2=MP2+NP2,∴∠MPN=90° ,即异面直线 AB、CD 成 90° 角.

9.空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点,已知 EF 和 GH 交于 P 点,求证:EF、GH、AC 三线共点.
B _

证明:∵P ? EF,EF ? 面 ABC,∴P ? 面 ABC,同理 P ? 面 ADC, ∴P 在面 ABC 与面 ADC 的交线上,又面 ABC∩面 ADC=AC,
A _

E _

F _ C _ H _ D _ G _ P _

∴P ? AC,即 EF、HG、AC 三线共点. 10.A 是△BCD 平面外的一点,E、F 分别是 BC、AD 的中点, (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角. A F

解: (1)证明:用反证法.设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与 BC 共面,所以 A、B、C、D 在同一平面内,这与 A 是△BCD 平面外的一点相矛盾.故直线 EF 与 BD 是异面直线.

B E C G

D

(2)取 CD 的中点 G,连结 EG、FG,则 EG∥BD,所以相交直线 EF 与 EG 所成的锐角或直角即 为异面直线 EF 与 BD 所成的角. 在 Rt△EGF 中,求得∠FEG=45° ,即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45° .

§2.1.3 直线与平面、平面与平面的位置关系
【知识要点】
1.直线与平面的位置关系: ? ? ? 直线在平面内(有无数个公共点),记作: l ? ? ; 直线与平面相交(有且只有一个公共点),记作: l ? ? ? P ; 直线与平面平行(没有公共点),记作: l // ? .

2.两平面的位置关系: ? ? 平行(没有公共点),记作: ? // ? ; 相交(有一条公共直线),记作: ? ? ? ? l .

【基础达标】
1.直线 ? 与平面 ? 不平行,则( A. ? 与 ? 相交 【C】 2.正方体各面所在平面将空间分成( A.7 【D】 3.若两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数( ) B.15 )个部分. D.27 B. ? ? ? ) C.? 与 ? 相交或 ? ? ? D.以上结论都不对

C.21

A.有限个 【D】

B.无限个

C.没有

D.没有或无限个

4.E、F、G、H 是棱锥 A-BCD 棱 AB、AD、CD、CB 上的点,延长 EF、HG 交于 P 点,则点 P( A.一定在直线 AC 上 C.只在平面 BCD 内 【B】 5.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面( A.平行 【D】 6.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一平面的位置关系是 平行、在平面内 7.一个平面把空间分成 以把空间分成 部分,两个平面可以把空间分成 部分.2;3、4; 4、6、7、8. B.相交 C.平行或垂合 ). B.一定在直线 BD 上 D.只在平面 ABD 内



D.平行或相交



部分,三个平面可


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