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英德市一中2013届高三理数强化训练试题(7)


英德市一中 2013 届高三理数强化训练(7)
一、选择题 1.已知集合 P ? x | y ? 1 ? x 2 , M ? ?a?,若 P ? M ? P ,则实数 a 的取值范围是( A. (-∞, -1] B.[1, +∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1] ∪[1,+∞)
甲 7 5 3 9 7 4 8 9 6 2 1 0 1 2 3 4 7 1 2 1 0 乙 8 1 0 0 5 3

?

?



2、某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛, 他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示,则 甲、乙两名运动员的中位数分别是 A. 19 、 13 3、若 B. 13 、 19 C. 20 、 18 D. 18 、 20

1 ? 2i ,则 ? a ? b i ( a, b ? R,i 是虚数单位) a ? b 等于 1 ? 2i 7 1 (A) ?7 (B) ? (C) ?1 (D) ? 5 5
4、设 a ,b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是 A. a ? ? , b // ? , ? ? ? B. a ? ? , b ? ? , ? // ?





C. a ? ? , b ? ? , ? // ?

D. a ? ? , b // ? , ? ? ? )

5、在区间 [0 , 1] 上任取两个数 a 、 b ,则方程 x 2 ? ax ? b2 ? 0 有实根的概率为 ( A.

1 8

B.

1 4

C.

1 2

D.

3 4
( )

6、已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a 2 ? 2a ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 据: lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4771 )A. 15 次

D.既不充分也不必要条件

7、抽气机每次抽出容器内空气的 60 %,要使容器内剩下的空气少于原来的 0.1 %,则至少要抽(参考数 B. 14 次 C. 9 次 D. 8 次

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 8、在 ?ABC 所在的平面上有一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则 ?PBC 与 ?ABC 的面积之比是

1 2 3 1 B. C. D. 2 3 4 3 9、设 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [ a, b] 上的两个函数,若对任意 x ? [a, b] ,都有 | f ( x) ? g ( x) |? 1成
A. 立,则称 f ( x ) 和 g ( x) 在 [ a, b] 上是“密切函数” ,区间 [ a, b] 称为“密切区间”.若 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 4 与 ,则其“密切区间”可以是( ) g ( x) ? 2 x ? 3 在 [a, b] 上是“密切函数” A. [1,4] B. [2,3] C. [2,4] D. [3,4]

x2 y 2 10、已知双曲线 C : 2 - 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 a b
A.

x2 y2 x2 y 2 x2 y 2 =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20

D.

x2 y2 =1 20 80

二、填空题

?lg x, ? 11、设 f ( x) ? ? a 2 ? x ? ?0 3t d t , ?

x?0 x?0

,若 f ( f (1)) ? 1 ,则 a ?



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1

12、一个总体共有 600 个个体,随机编号为 001,002,… ,600.采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 个个体分三组,从 001 到 300 在第 1 组,从 301 到 495 在第 2 组,从 496 到 600 在第 3 组.则这三组被抽中的个数依为 . D1 A1 E A D B B1 F C C1

2 7 13、 x( x ? ) 的展开式中, x 4 的系数是 x

(用数字作答).

14、5 名学生与两名教师站成一排照相,两名教师之间恰有两 名学生的不同站法有 种.

15、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是线段 A1B,B1C 上的不与 端点重合的动点,如果 A1E=B1F,下面四个结论:① EF ? AA1 ; ②EF//AC;③EF 与 AC 异面;④EF//平面 ABCD,其中一定正确 的结论序号是 16、若双曲线 .

x2 ? y 2 ? 1的离心率小于 2 ,则 k 的取值范围 k


是 17、如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为 ( 18、7、在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则

1 n

an ?
19、如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E , 使 AE ? 1 ,连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ?

D

C

π? ? 20、在极坐标系中,过点 ? 2 2 , ? 作圆 ? ? 4sin? 的切线,则切线的极坐 4? ? 标方程是 .
三、解答题

E

A

B

?π ? ?π ? 21、已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的图像经过点 ? , 0 ? 和 ? , 1? . ?3 ? ?2 ?
(Ⅰ)求实数 a 和 b 的值; (Ⅱ)当 x 为何值时, f ( x) 取得最大值. 22、某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数 N ? n1 n2 n3 n4 n5 n6 ,其 中 N 的 各 位 数 字 中 , n1 ? n6 ? 1 , nk ( k ? 2 , 3 , 4 , 5 ) 出 现 0 的 概 率 为

2 1 ,出现 1 的概率为 ,记 3 3

? ? n1 ? n2 ? n3 ? n4 ? n5 ? n,当该计算机程序运行一次时,求随机变量 ? 的分面列和数学期望. 6

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2

23、如图 1 所示,在边长为 12 的正方形 AA?A1?A1 中,点 B 、 C 在线段 AA ? 上,且 AB ? 3 ,
BC ? 4 ,作 BB1 ∥ AA1 ,分别交 A1 A1? 、 AA1? 于点 B1 、 P ,作 CC1 ∥ AA1 ,分别交 A1 A1? 、 AA1? 于点 C1 、 Q ,

将该正方形沿 BB1 、 CC1 折叠,使得 A?A1? 与 AA1 重合,构成如图 2 所示的三棱柱 ABC ? A1B1C1 . (Ⅰ)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,求证: AB ? 平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)求平面 APQ 将三棱柱 ABC ? A1B1C1 分成上、下两部分几何体的体积之比; (Ⅲ)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,求直线 AP 与直线 A1Q 所成角的余弦值.
B1 A1 Q Q P P A B C
图1

A1

B1

C1

A'1

C1

C

B

A'

A
图2

24、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有 72 立方米,第二种有 56 立方米, 假设生产每种产品都需要两种木料. 生产一只圆桌需用第一种木料 0.18 立方米, 第二种木料 0.08 立方米, 可获利润 60 元,生产一个衣柜需用第一种木料 0.09 立方米,第二种 0.28 立方米,可获利润 100 元,木 器厂在现有木料情况下,圆桌和衣柜应各生产多少,才能使所获利润最多.

25、已知数列 {an } 中, a1 ? 5 , an ? 2an?1 ? 2n ? 1 ( n ?N? 且 n ? 2 ) .

?a ? ? ? (Ⅰ)若数列 ? n n ? 为等差数列,求实数 ? 的值; ? 2 ?
(Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

26、已知函数 f ( x) ? e x ? x (其中 e 为自然对数的底) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值;

e ?1? ? 2? ? n ?1 ? ? n ? (Ⅱ)若 n ?N ,证明: ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ? ?? ? ? ?n? ?n? ? n ? ? n ? e ?1
n n n n
?

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3

27、已知抛物线 L : x2 ? 2 py ( p ? 0 )和点 M (2 , 2) ,若抛物线 L 上存在不同的两点 A 、 B

???? ???? ? ? 满足 AM ? BM ? 0 .
(Ⅰ)求实数 p 的取值范围; (Ⅱ)当 p ? 2 时,抛物线 L 上是否存在异于 A 、 B 的点 C ,使得经过 A 、 B 、 C 三点的圆和抛物线

L 在点 C 处有相同的切线?若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.

英德市一中 2013 届高三理数强化训练(7)参考答案 一、选择题 CABCB 二、填空题 11、1;12、 25,17, 8 13、 84 14、 960 ;15、 ①④ 16、 (?1, 0) ; ADCCA

17. n ? 6 ? ;18、18. 2 ? ln n ;19、 三、解答题

10 ;20. ? cos? ? 2 10

? ?f ? 21、解: (Ⅰ)依题意,有 ? ?f ? ?

3 1 ?π? a? b?0 ? ?? 2 ?3? 2 ? a ? 1, b ? ? 3 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知: ?π? ? ? ? a ?1 ?2?

π? π π 5π ? f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin ? x ? ? .因此,当 x ? ? 2kπ ? ,即 x ? 2kπ ? ( k ? Z )时, f ( x) 取 3? 3 2 6 ?
得最大值 2 . 22、解:依题意,知 ? 的可能取值为 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,其概率分别为

? 2 ? 16 ? ? 2 表示 nk ( k ? 2 , 3 , 4 , 5 )中全为零,故 P(? ? 2) ? C ? ? ? ? ; ? 3 ? 81
0 4

4

1 32 1 ?2? ? ? 3 表示 nk ( k ? 2 , 3 , 4 , 5 )中恰有一个 1,故 P(? ? 3) ? C4 ? ? ? ? ? ; ? 3 ? 3 81
2 ?2? ? ? 4 表示 nk ( k ? 2 , 3 , 4 , 5 )中恰有两个 1,故 P(? ? 4) ? C4 ? ? ? ?3? 2

3

24 ?1? ; ?? ? ? 3? 81 ?
3

2

8 3 ? 2? ?1? ? ? 5 表示 nk ( k ? 2 , 3 , 4 , 5 )中恰有三个 1,故 P(? ? 5) ? C4 ? ? ? ? ? ? ? ; ? 3 ? ? 3 ? 81 1 ?1? ? ? 6 表示 nk ( k ? 2 , 3 , 4 , 5 )中全部为 1,故 P(? ? 6) ? C ? ? ? ? . ? 3 ? 81
4 4 4

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4

因此, ? 的分布列为

?

2

3

4

5

6

P
? 的数学期望为

16 81
E? ? 2 ?

32 81

24 81

8 81

1 81

16 32 24 8 1 10 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? . 81 81 81 81 81 3

23、解: (Ⅰ)证明:因为 AB ? 3 , BC ? 4 ,所以 AC ? 5 ,从而有 AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ,即 AB ? BC . 又因为 AB ? BB1 ,而 BC ? BB1 ? B ,所以 AB ? 平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)因为 BP ? AB ? 3 , CQ ? AC ? 7 ,所以 SBCQP ? 从而 VA? BCQP

( BP ? CQ) ? BC (3 ? 7) ? 4 ? ? 20 , 2 2 1 1 1 ? ? SBCQP ? AB ? ? 20 ? 3 ? 20 . 又因为 VABC ? A1B1C1 ? S ABC ? AA1 ? ? 3 ? 4 ?12 ? 72 , 3 3 2

所以平面 APQ 将三棱柱 ABC ? A1B1C1 分成上、 下两部分几何体的体积之比为

V上 72 ? 20 52 13 ? ? ? V下 20 20 5



(Ⅲ)如图建立空简直角坐标系,则

A(3 , 0 , 0) 、 P(0 , 0 , 3) 、 A1 (3 , 0 ,12) 、 Q(0 , 4 , 7) ,
所以 AP ? (?3 , 0 , 3) , AQ ? (?3 , 4 , ? 5) .设直线 AP 与直线 A1Q 所成角为 ? ,则 1

??? ?

???? ?

??? ???? ? ? | AP ? A1Q | 6 1 ? ? cos? ? ??? ???? ? ? . | AP | ? | A1Q | 3 2 ? 5 2 5
24、设圆桌和衣柜的生产件数分别为 x、y,所获利润为 z,则 z=6x+10y.

?0.18 ? 0.09 y ? 72 ?2 x ? y ? 800 ?0.08x ? 0.28y ? 56 ?2 x ? 7 y ? 1400 ? ? 作出可行域.解 即? ? x?0 x?0 ? ? ?y ? 0 ?y ? 0 ? ?
?2 x ? y ? 800 ? x ? 350 即 M(350,100).当直线 6x 得? ? ?2 x ? 7 y ? 1400 ? y ? 100
+10y=0 即 3x+5y=0 平移到经过点 M(350,100)时,z=6x+10 最大

答:圆桌和衣柜应各生产 350 只和 100 个,才能使所获利润最多. an ? ? 2an ?1 ? 2n ? 1 ? ? n ?
25、 (Ⅰ) 解: 因为 an ? 2an?1 ? 2 ? 1 n ? N 且 n ? 2 ) 所以 ( , 显然,当且仅当

2

n

?

2

n

?

an ?1 ? ? 1? ? ?1? n . n ?1 2 2

1? ? ?a ? ? ? ? 0 ,即 ? ? ?1 时,数列 ? n n ? 为等差数列; n 2 ? 2 ?

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a ?1 ? a ? 1? (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论知:数列 ? n n ? 是首项为 1 ? 2 ,公差为 1 的等差数列, 2 ? 2 ?
故有

an ? 1 .因此,有 ? 2 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 ,即 an ? (n ? 1) ? 2n ? 1 ( n ?N? ) 2n

Sn ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n , 2Sn ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2n ,

两式相减,得 ?Sn ? 4 ? (22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ,整理,得 Sn ? n(2n?1 ? 1) ( n ? N? ) .
x x ? ? ? 26、 (Ⅰ) 解: 因为 f ( x) ? e ? x , 所以 f ( x) ? e ? 1. 显然, x ? 0 时,f ( x) ? 0 ; x ? 0 时,f ( x) ? 0 . 当 当 因

此 , f ( x) 在 (?? , 0) 上 单 调 递 减 , 在 (0 , ? ?) 上 单 调 递 增 . 因 此 , 当 x ? 0 时 , f ( x) 取 得 最 小 值

f (0) ? 1 ? 0 ? 1 ; (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知:当 x ? 0 时,有 f ( x) ? 1 ,即 x ? 1 ? e x ,故
n?k k ?k ? ? n?k ? ? ? n ? e ? ?1 ? ? ?e n n n n ? ? n ? ? ? ?1? ? 2? ? n ?1 ? ? n ? n ? ? ?n? ? ? e ( k ? 1, 2 , ? , n ) ,从而有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?n? ?n? ? n ? ?n? n n n

1 e(1 ? e n ) e n ? 1 e e 1 ? n ? ? . (e ? e2 ? ? ? en ) ? n ? n e 1? e e e ?1 e ?1 e ???? ???? ? ? 27、解 : Ⅰ ) 由 AM ? BM ? 0 知 : M 是 线 段 AB 的 中 点 . 设 直 线 AB : y ? 2 ? k ( x ? 2) , (

?

? y ? 2 ? k ( x ? 2) x ? xB 2 ? kp ? 2 ? k ? . ……① ? x2 ? 2kpy ? 4 p(k ? 1) ? 0 .依题意,有 xM ? A ? 2 2 p ? x ? 2 py
2 2 2 4 8 又由 ? ? 4k p ? 16 p(k ? 1) ? 0 ? k p ? 4k ? 4 ? 0 ,由此及①可得 ? ? 4 ? 0 ,即 p ? 1 ; p p

(Ⅱ)若存在满足条件的点 C ,则因为 M 是线段 AB 的中点,所以 CM ? AB ,即 CM 经过 ?ABC 的外接圆圆心,故 CM 与抛物线 L 在点 C 处的切线垂直,即直线 AB 与抛物线 L 在点 C 处的切 线平行. 当 p ? 2 时,由①知:直线 AB 的斜率 k ? 为 1,故由 y? ?

2 ? 1 ,从而抛物线 L 在点 C 处的切线的斜率 p

1 1 x ? 1 ? x ? 2 , y ? x 2 ? 1 知:点 C 的坐标为 (2 , 1) . 2 4

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