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基本不等式中“1的妙用”


基本不等式中“1 的妙用” 一、考法解法 命题特点分析 此类题目主要特点是:1、两个变量是正实数(使用基本不等式的前提) ,2、有一个代数式?的值已知,求另一 个代数式?的最小值,其中两个代数式一个是整式 ax ? by ,一个是分式 解题方法荟萃 主要是凑出可以使用基本不等式的形式: m n ? ,当然会在此基础上进行变形。 x y ?y x ? ?x y 的形式,多数情况下是让两个代数式相乘。 二、典型题剖析 例 1: (1)已知 x, y ? R? , x ? 2 y ? 1 ,求 1 2 ? 的最小值; x y 1 2 ? 的最小值; x y (2)已知 x, y ? R? , x ? 2 y ? 3 ,求 (3)已知 x, y ? R? , ? 3 2 ? ? 2 ,求 6 x ? 2 y 的最小值; x y (4)已知 x, y ? R , x ? 2 y ? xy ,求 x ? 2 y 的最小值; 【解析】这四个题目中, (1)是“1 的替换”的最基础题目,已知整式的值为 1,求分式的最小值, (2)是将已知值变 成了 3,需要调节系数, (3)是已知分式的值求整式的最值, (4)对分式进行等价变换。 【答案】 (1) 1 2 1 2 2x 2 y ? ? ( x ? 2 y)( ? ) ? 1 ? ? ? 4 ? 5? 2 4 ? 9 x y x y y x 1 2x 2 y ? 即 x ? y ? 时取等号 3 y x 当且仅当 (2) 1 2 1 1 2 1 2x 2 y 1 ? ? ( x ? 2 y)( ? ) ? ( 1? ? ? 4) ? (5 ? 2 4) ?3 x y 3 x y 3 y x 3 1 2x 2 y ? 即 x ? y ? 时取等号 3 y x 当且仅当 (3) 6 x ? 2 y = 1 3 2 3y 6x ( ? )(6 x ? 2 y) ? 9 ? ? ? 2 ? 18 ? 6 2 2 x y x y 当且仅当 6x 3y 3 2+2 ? 即 2x ? y ? 时取等号 y x 2 1 (4)因为 x ? 2 y ? xy ,所以 1 2 1 2 x 4y ? ? 1 ,然后 x ? 2 y =(x +2y)( + )= ? ?4?8 y x y x y x 当且仅当 x 4y 即 x ? 2 y ? 4 时取等号 ? y x 1 2 的最小值; ? x ?1 y ? 3 例 2: (1)已知 x, y ? R? , x ? y ? 1 ,求 (2)已知 x, y ? R? , x ? y ? 1 ,求 x2 y2 的最小值; ? x ?1 y ?1 1 2 的最小值; ? 2x ? y y ? 3 1 2 ? 的最小值; x? y y ?3 (3)已知 x, y ? R? , x ? y ? 1 ,求 (4)已知 x, y ? R? , 2 x ? 3 y ? 1 ,求 【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目: (1)是分式的分母分别加上一个常数,为了能够使用基本不等式,我 们需要对整式也进行相应的变形; (2)在上一题的基础上,是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项,需要分离 出一个代数式,变成熟悉的形式; (3)在(1)的情况下分母进一步变化,不是加一个常数,而是混搭的形式; (4)在 上一题的基础之上不再是直接观察出结果,而是需要配凑一个系数。 【答案】 (1)整式变形成 x ? 1 ? y ? 1 ? 3 , 1 2

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