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高三数学轨迹方程复习


知识点 1:求曲线方程基本练习
1、已知椭圆 C :
1 3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,且离心率 e ? 。求椭圆方程; 2 2 2 a b

2、已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且在 x 轴上的顶点分别为 2 a b 2

A1(-2,0),A2(2,0)。求椭圆的方程;

3、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的 最大值为 3;最小值为 1。求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的三点,其中点 A (2 3,0) a 2 b2 ??? ??? ? ? ??? ? ???? 是椭圆的右顶点,直线 BC 过椭圆的中心 O,且 AC ? ? 0 , BC ? 2 AC ,如图。 BC

4、已知点 A、B、C 是椭圆 E:

(I)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程;

1

5、 已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 它的一个顶点恰好是抛物线 y ? 的焦点,离心率为
2 5 .求椭圆 C 的标准方程。 5

1 2 x 4

6、已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组 成的四边形为正方形,两准线间的距离为 4。求椭圆的方程。

7、 (21) M -2, 和 N 2, 是平面上的两点, 如图 图, ( 0) ( 0) 动点 P 满足:PM ? PN ? 6.

求点 P 的轨迹方程

8、双曲线 C 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,直线 y= 3x 为 C 的一条渐近线。 8 4

求双曲线 C 的方程。

2

y 2 x2 5 9、已知双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率 e ? ,顶点到渐近 a b 2

线的距离为

2 5 。求双曲线 C 的方程 5

10、点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小于 1,则点 M 的轨迹方 程是 11、线段AB 过x 轴正半轴上一点M(m,0)(m>0) ,端点A、B 到x 轴距离之 积为2m,以x 轴为对称轴,过A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为
x2 y2 ? 2 ? 1 ,抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) .如图 4 所示, 2b 2 b

12、设 b ? 0 ,椭圆方程为

过点 F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线 在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1 .求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
y F G F1 A O 图4 B x

知识点 2:轨迹方程
例 1:方程
x2 y2 ? ? 1所表示的曲线为( 2 sin ? ? 3 sin ? ? 2

)

A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线

B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线

练习:1、P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆上一点,过焦点 F2 作∠F1PF2 外角平分线的 垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
3

2、设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a,b>0)两焦点为 F1、 2,点 Q 为双曲线上除顶点外 、F a2 b2

的任一点, 过焦点 F1 作∠F1QF2 的平分线的垂线, 垂足为 P, P 点轨迹是 则 A.椭圆的一部分; B.双曲线的一部分; C.抛物线的一部分; D.圆的一部分

(

)

求轨迹方程的的基本方法:直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向 量法等。 1.直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简 单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含 x,y 的等式,就得到轨迹方程,这种 方法称之为直接法;
2 2 例 1、已知直角坐标系,点 Q(2,0) ,圆 C 方程为 x ? y ? 1 ,

y N

M

动点 M 到圆 C 的切线长与 的轨迹。

MQ

的比等于常数 ? (? ? 0) ,求动点 M
O Q x

【练习】如图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1, O1O2 ? 4 . 过动点 P 分别作圆 O2 、圆
N O 2 的切线 PM , ( M , 分别为切点) PN ,使得 PM ? 2PN .

试建立适当的坐标系,并求动点 P 的轨迹方程.

4

2.定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义) ,可从曲 线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方 程。
p ?p ? 例 2、已知动圆过定点 ? ,0 ? ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 . 2 ?2 ?

求动圆圆心 C 的轨迹的方程;
?p ? ? ,0? ?2 ?

x??

p 2

【练习】1、 已知圆 O 的方程为 x +y =100,点 A 的坐标为(-6,0) 为圆 O 上 ,M 任一点,AM 的垂直平分线交 OM 于点 P,求点 P 的方程。

2

2

2、已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线 l 于点 A, 又过 B、C 作⊙O′异于 l 的两切线,设这两切线交于点 P,求点 P 的轨迹方程.

5

3、 相关点法: 动点所满足的条件不易表述或求出, 但形成轨迹的动点 P(x,y) 却随另一动点 Q(x’,y’)的运动而有规律的运动,且动点 Q 的轨迹为给定或容 易求得,则可先将 x’,y’表示为 x,y 的式子,再代入 Q 的轨迹方程,然而整理 得 P 的轨迹方程,代入法也称相关点法。 例 3、如图,从双曲线 x2-y2=1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线,垂足为 N。求 线段 QN 的中点 P 的轨迹方程。

【练习】已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 、 a2 b2

F2(c,0) 是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点, ,Q 点 T 在线段 F2Q 上,并且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. 求点 T 的轨迹 C 的方程;

6

4、参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则 可借助中间变量 (参数) 使 x,y 之间建立起联系, , 然而再从所求式子中消去参数, 得出动点的轨迹方程。 例 4、在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=x2 上异于坐标原点 O 的两不同动点 A、B 满足 AO⊥BO(如图 4 所示).求△AOB 的重心 G(即三角形三条中线的交点) 的轨迹方程;

练习:如图,设抛物线 C : y ? x 2 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运 动,过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. 求△APB 的重心 G 的轨迹方程.
y B A O P l G x

总结:1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型,由于选参灵活,技巧性强, 也是学生较难掌握的一类问题。 2.选用什么变量为参数, 要看动点随什么量的变化而变化, 常见的参数有: 斜率、 截距、定比、角、点的坐标等。

7

五、交轨法:求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线 的交点时常用此法,也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然而消去参数得 到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。
2 例 5 、抛物线 y ? 4 px( p ? 0) 的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB,求抛物线的顶

点 O 在直线 AB 上的射影 M 的轨迹。

6、向量法:
例6 、 (1995 全国理)已知椭圆如图 6,

x y x2 y2 ? =1,P 是 L =1,直线 L: ? 12 8 24 16

上一点,射线 OP 交椭圆于点 R,又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点 P 在 L 上移 动时,求点 Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线

图6

8

作业
1. 点 M(x,y)与定点 F(1,0)的距离和它到直线 x=4 的距离的比为 2, 则动点 M 的 轨迹方程为 ( ). 2 2 x y x2 y2 A. B. ? ?1 ? ?1 4 3 4 3 C. 3x2-y2-34x+65=0 D. 3x2-y2-30x+63=0 2 . P 是椭圆 程为( A. ).
x2 y2 ? ?1 9 16 x2 y2 ? ? 1 上的动点, 作 PD⊥y 轴, D 为垂足, 则 PD 中点的轨迹方 16 9 x2 y2 ? ?1 64 9 x2 y2 ? ?1 9 4 x2 y2 ? ?1 4 9

B.

C.

D.

3. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,(a>0,b>0), A1、A2 是双曲线实轴的两个端点, MN 是 a2 b2

垂直于实轴所在直线的弦的两个端点, 则 A1M 与 A2N 交点的轨迹方程是( A.
x2 y2 ? ?1 a2 b2 x2 y2 ? ?1 a2 b2 y2 x2 B. 2 ? 2 ? 1 a b

).

C.

D.

y2 x2 ? ?1 a2 b2

4. 抛物线的准线 l 的方程是 y=1, 且抛物线恒过点 P (1,-1), 则抛物线焦点 弦的另一个端点 Q 的轨迹方程是( ). 2 2 A. (x-1) =-8(y-1) B. (x-1) =-8(y-1) (x≠1) 2 C. (y-1) =8(x-1) D. (y-1)2=8(x-1) (x≠1) 5. △ABC 中, A(0,-2), B(0,2), 且 CA , AB , CB 成等差数列, 则 C 点的轨迹方 程是 . 6. 若 A 点是圆(x-2)2+(y-2)2=1 上的动点, 点 B(1,0), M 分 AB 的比为 2:1, 则 M 点的轨迹方程是 . x y ? 1 与 x、y 轴交点的中点的轨迹方程 7. 直线 ? a 2?a 是 .

9

8、如图,定直线 l 是半径为 3 的定圆 F 的切线,P 为平面上一动点,作 PQ⊥l 于 Q,若|PQ|=2|PF|.点 P 在怎样的曲线上?并求出该曲线 E 的标准方程; l
Q F P

9、如图,已知点 F (1,0) ,直线 l:x=-1,P 为平面上的动点,过 P 作直线 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? l 的垂线,垂足为点 Q ,且 QP ? QF ? FP ? FQ 。 求动点 P 的轨迹 C 的方程;

10、设圆 C 与两圆 ( x ? 5)2 ? y2 ? 4 , ( x ? 5)2 ? y2 ? 4 中的一个内切,另一个外 切.求 C 的圆心轨迹 L 的方程;

10


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