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求轨迹方程的常用方法


(一)求轨迹方程的一般方法: 1. 定义法:如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛 物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹 方程。 2. 直译法:如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点 P 满足的等量关系易于建立,则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系,再用点 P 的 坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程。 3. 参数法:如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量 t,以此量作为参变数,分别建立 P 点坐标 x,y 与该参数 t 的函数关系 x=f(t) , y=g(t) ,进而通过消参化为轨迹的普通方程 F(x,y)=0。 4. 代入法(相关点法) :如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的,而该点的 运动规律已知, (该点坐标满足某已知曲线方程) ,则可以设出 P(x,y) ,用(x,y)表示 出相关点 P'的坐标,然后把 P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点 P 的轨迹方程。 5:交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这种问题通常 通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去 两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程) ,该法经常与参数法并用。 一:用定义法求轨迹方程 例 1:已知 ?ABC 的顶点 A,B 的坐标分别为(-4,0) , (4,0) ,C 为动点,且满足

sin B ? sin A ?

5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4

【解析】由 sin B ? sin A ?

5 5 sin C , 可知 b ? a ? c ? 10 ,即 | AC | ? | BC |? 10 ,满足椭 4 4
'2

圆的定义。令椭圆方程为

x2 a

?

y2 b
'2

? 1 ,则 a ' ? 5, c ' ? 4 ? b ' ? 3 ,则轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?5) ,图形为椭圆(不含左,右顶点) 。 25 9
【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 (1) 圆:到定点的距离等于定长 (2) 椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离) (3) 双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离) (4) 到定点与定直线距离相等。 【变式】 :已知圆 的圆心为 M1,圆 这两个圆外切,求动圆圆心 P 的轨迹方程。 解:设动圆的半径为 R,由两圆外切的条件可得: 。 ∴动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2 为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2,b =12。
2

的圆心为 M2,一动圆与





故所求轨迹方程为 2:一动圆与圆 O: x ? y ? 1 外切,而与圆 C: x ? y ? 6 x ? 8 ? 0 内切,那么动圆的圆
2 2 2 2

心 M 的轨迹是: A:抛物线 B:圆 C:椭圆 D:双曲线一支 【解答】令动圆半径为 R,则有 ?

?| MO |? R ? 1 ,则|MO|-|MC|=2,满足双曲线定义。故选 D。 ?| MC |? R ? 1

二:用直译法求轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。 例 2: 一条线段两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动, 且 BM=a, AM=b, 求 AB 中点 M 的轨迹方程? 解 设 M 点的坐标为 ( x, y ) 由平几的中线定理: 在直角三角形 AOB 中, OM=

1 1 AB ? ? 2a ? a, 2 2

? x 2 ? y 2 ? a, x 2 ? y 2 ? a 2
M 点的轨迹是以 O 为圆心,a 为半径的圆周. 【点评】此题中找到了 OM=

1 AB 这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下 2

列几种情况: 1)代入题设中的已知等量关系:若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出,则采用 直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。 2)列出符合题设条件的等式:有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设 条件列出等式,得出其轨迹方程。 3)运用有关公式:有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应 的恒等变换即得其轨迹方程。 4)借助平几中的有关定理和性质:有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何 中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其 数量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.

【变式】 : 动点 P (x,y) 到两定点 A (-3, 0) 和B (3, 0) 的距离的比等于 2 (即 求动点 P 的轨迹方程?
2 2 【解答】∵|PA|= ( x ? 3) ? y , | PB |?

| PA | ? 2) , | PB |

( x ? 3) 2 ? y 2

代入

( x ? 3) 2 ? y 2 | PA | ? 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4( x ? 3) 2 ? 4 y 2 ? 2得 2 2 | PB | ( x ? 3) ? y

化简得(x-5)2+y2=16,轨迹是以(5,0)为圆心,4 为半径的圆. 三:用参数法求轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。注意参数的 取值范围。 例 3.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 解法 1:设 M(x, y) , 设直线 l1 的方程为 y-4=k (x-2) , (k≠0)

1 由l1 ? l 2, 则直线l 2的方程为y ? 4 ? ? ( x ? 2) k 4 ? l1与x轴交点A的坐标为(2 ? , 0), k 2 l 2与y轴交点B的坐标为(0, 4 ? ), k
∵M 为 AB 的中点,

4 ? 2? ? k ? 1? 2 ?x ? ? 2 k ?? (k为参数) 2 ? 4? ? k ? 2? 1 y? ? 2 k ?
消去 k,得 x+2y-5=0。 另外,当 k=0 时,AB 中点为 M(1,2) ,满足上述轨迹方程; 当 k 不存在时,AB 中点为 M(1,2) ,也满足上述轨迹方程。 综上所述,M 的轨迹方程为 x+2y-5=0。 分析 2:解法 1 中在利用 k1k2=-1 时,需注意 k1、k2 是否存在,故而分情形讨论,能 否避开讨论呢?只需利用△PAB 为直角三角形的几何特性:

| MP |?

1 | AB | 2

解法 2:设 M(x,y) ,连结 MP,则 A(2x,0) ,B(0,2y) , ∵l1⊥l2,∴△PAB 为直角三角形

由直角三角形的性质,| MP |?

1 | AB | 2

1 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 4) 2 ? · (2 x) 2 ? (2 y) 2 2
化简,得 x+2y-5=0,此即 M 的轨迹方程。 分析 3: :设 M(x,y) ,由已知 l1⊥l2,联想到两直线垂直的充要条件:k1k2=-1,即 可列出轨迹方程,关键是如何用 M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上,由 M 为 AB 的中点,

易找出它们的坐标之间的联系。 解法 3:设 M(x,y) ,∵M 为 AB 中点,∴A(2x,0) ,B(0,2y) 。 又 l1,l2 过点 P(2,4) ,且 l1⊥l2 ∴PA⊥PB,从而 kPA·kPB=-1,

4?0 4 ? 2y ,k PB ? 2 ? 2x 2?0 4 4 ? 2y ? · ? ?1,化简,得x ? 2 y ? 5 ? 0 2 ? 2x 2 而k PA ?
注意到 l1⊥x 轴时,l2⊥y 轴,此时 A(2,0) ,B(0,4) 中点 M(1,2) ,经检验,它也满足方程 x+2y-5=0 综上可知,点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0。 【点评】 1) 解法 1 用了参数法,消参时应注意取值范围。解法 2,3 为直译法,运用了 kPA·kPB= -1, | MP |?

1 。 | AB | 这些等量关系。 2

用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角 度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等。也可以没有具体的意义,选定参变 量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围 【变式 3】过圆 O:x2 +y2= 4 外一点 A(4,0) ,作圆的割线,求割线被圆截得的弦 BC 的 中点 M 的轨迹。 解法一: “几何法” 设点 M 的坐标为(x,y),因为点 M 是弦 BC 的中点,所以 OM⊥BC, 2 2 2 所以|OM | +|MA| =|OA| , 即(x2 +y2)+(x -4)2 +y2 =16 化简得: (x-2)2+ y2 =4................................① 由方程 ① 与方程 x2 +y2= 4 得两圆的交点的横坐标为 1,所以点 M 的轨迹方程为 (x-2)2+ y2 =4 (0≤x<1) 。所以 M 的轨迹是以(2,0)为圆心, 2 为半径的圆在圆 O 内的部分。 解法二: “参数法” 设点 M 的坐标为(x,y) ,B(x1,y1),C(x2,y2)直线 AB 的方程为 y=k(x-4), 由直线与圆的方程得(1+k2)x2 -8k2x +16k2-4=0...........(*), 由点 M 为 BC 的中点,所以 x=

x1 ? x2 4k 2 ? ...............(1) , 2 1? k 2

又 OM ⊥ BC ,所以

k=

y .................(2)由方程(1) (2) x
1 ,所以 x<1. 3

消去 k 得(x-2)2+ y2 =4,又由方程(*)的△≥0 得 k2 ≤

所以点 M 的轨迹方程为(x-2)2+ y2 =4 (0≤x<1)所以 M 的轨迹是以(2,0)为圆心, 2 为半径的圆在圆 O 内的部分。 四:用代入法求轨迹方程 例 4. 点B是椭圆

x2 y2 ? ? 1上的动点,A (2a, 0)为定点, 求线段AB的中点M的 a2 b2

轨迹方程。 分析:题中涉及了三个点 A、B、M,其中 A 为定点,而 B、M 为动点,且点 B 的运动是有规 律的,显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的,可见 M、B 为相关点,故采用相关点法求动点 M 的轨迹方程。 【解析】设动点 M 的坐标为(x,y) ,而设 B 点坐标为(x0,y0) 则由 M 为线段 AB 中点,可得

? x 0 ? 2a ?x ? ? x 0 ? 2 x ? 2a ? 2 ?? ? ? y0 ? 2 y ? y0 ? 0 ? y ? ? 2
即点 B 坐标可表为(2x-2a,2y)

又 ? 点B( x0,y 0 )在椭圆
x y ? 02 ? 02 ? 1 a b
2 2

x2 y2 ? ? 1上 a2 b2
( 2 x ? 2a ) 2 ( 2 y ) 2 ? ? 1, a2 b2

从而有

4( x ? a) 2 4 y 2 整理, 得动点M的轨迹方程为 ? 2 ?1 a2 b
【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系 【变式】如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A、B 是圆上两动点,且满足∠ APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程
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y

B

Q

【解析】 : 设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 Rt△ABP 中, |AR|=|PR| 又因为 R 是弦 AB 的中点, 依垂径定理 在 Rt△OAR 2 2 2 2 2 中,|AR| =|AO| -|OR| =36-(x +y )
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R A

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o

P

x

又|AR|=|PR|= ( x ? 4) ? y
2

2

所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即 x2+y2-4x-10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在 所求的轨迹上运动
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设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= 代入方程 x2+y2-4x-10=0,得

x?4 y?0 , , y1 ? 2 2

x?4 2 y x?4 -10=0 ) ? ( )2 ? 4 ? 2 2 2 整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 (
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五、用交轨法求轨迹方程 例 5.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直 a 2 b2 x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

线交椭圆于 P1、P2,求 A1P1 与 A2P2 交点 M 的轨迹方程. 六、用点差法求轨迹方程 例 6. 已知椭圆

x2 ? y2 ? 1, 2

(1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 1? 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; 分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法. 解:设弦两端点分别为 M ?x1,y1 ? , N ?x2,y2 ? ,线段 MN 的中点 R?x,y ? ,则

?1 1? ? 2 2?

? x12 ? 2 y12 ? 2, ? 2 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 2, ? ? x1 ? x2 ? 2 x, ? y ? y ? 2 y, ? 1 2

① ② ③ ④

①-②得 ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 2? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 . 由 题 意 知 x1 ? x2 , 则 上 式 两 端 同 除 以 x1 ? x2 , 有

?x1 ? x2 ?2? y1 ? y2 ? y1 ? y2
x1 ? x2
将③④代入得 x ? 2 y

? 0,

y1 ? y2 ? 0 .⑤ x1 ? x2

(1) 将x?

y ? y2 1 1 1 ?? , ,y ? 代入⑤, 得 1 故所求直线方程为: 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . ⑥ x1 ? x2 2 2 2
2 2

2 将⑥代入椭圆方程 x ? 2 y ? 2 得 6 y ? 6 y ?

1 1 ? 0 , ? ? 36 ? 4 ? 6 ? ? 0 符合题意, 4 4

2 x ? 4 y ? 3 ? 0 为所求.
(2)将

y1 ? y2 ? 2 代入⑤得所求轨迹方程为: x ? 4 y ? 0 . (椭圆内部分) x1 ? x2

(3) 将

y1 ? y2 y ? 1 2 2 代入⑤得所求轨迹方程为: x ? 2 y ? 2 x ? 2 y ? 0 . (椭圆内部分) ? x1 ? x2 x ? 2

练习 1.在 ?ABC 中,B,C 坐标分别为(-3,0) , (3,0) ,且三角形周长为 16,则点 A 的轨迹方 程是_______________________________. 2.两条直线 x ? my ? 1 ? 0 与 mx ? y ? 1 ? 0 的交点的轨迹方程是 __________ .

3.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A,则弦的中点 M 的轨迹方程是 _____ 4.当参数 m 随意变化时, 则抛物线 y ? x ? ?2m ? 1? x ? m ? 1 的顶点的轨迹方程为______。
2 2

5:点 M 到点 F (4, 0) 的距离比它到直线 x ? 5 ? 0 的距离小 1, 则点 M 的轨迹方程为________。 6:求与两定点 O O1 , 0 、A 3, 0 距离的比为 1:2 的点的轨迹方程为_____________ 7.抛物线 y ? 4 x 的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于 A、B 两点,动点 C
2

?

?

?

?

在抛物线上,求△ABC 重心 P 的轨迹方程。

8.已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x=3 的距离之和等于 4,求点 P 的轨迹方程。

9.过原点作直线 l 和抛物线 y ? x ? 4 x ? 6 交于 A、B 两点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方 程。
2


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