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2.4圆锥曲线与方程小结(新人教A版选修2-1)


2.4圆锥曲线复习课

复习目标
1)掌握椭圆的定义,标准方程和椭圆的 几何性质

2)掌握双曲线的定义,标准方程和双曲 线的几何性质 3)掌握抛物线的定义,标准方程和抛物 线的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的 图形,并了解圆锥曲线的初步应用。

.求曲线的方程的步骤

一、知识回顾
圆 锥 曲 线

? ? ? ? ?

椭圆

标准方程

几何性质 第二定义

综合应用
双曲线 标准方程 几何性质 第二定义 统一定义 抛物线 标准方程 几何性质

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆 几何条件 标准方程 双曲线 抛物线
与一个定点和 一条定直线的距 离相等 与两个定点 与两个定点的 的距离的和等于 距离的差的绝对 常数 值等于常数

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b a b

y 2 ? 2 px ( p ? 0)

图 形

顶点坐标

(±a,0),(0,±b)

(±a,0)

(0,0)

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆 对称性
X轴,长轴长2a, Y轴,短轴长2b

双曲线
X轴,实轴长2a, Y轴,虚轴长2b

抛物线
X轴

焦点坐标
离心率 e= c/a 准线方程

(±c,0)

(±c,0)

(p/2,0)

c2=a2-b2

c2=a2+b2

0<e<1 x=±a2/c

e>1 x=±a2/c
y=±(b/a)x

e=1 x=-p/2

渐近线方程

椭圆的定义 图形 标准方程 范围 对称性 顶点 长轴 短轴 焦点 离心率
2

MF1 ? MF2 ? 2a(2a ? 2c ? 0) y M
F 1

y
F 2

o
2

F2

x

a ?c ?b
2 2
2

2

M

x y ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? a2 b
? a ≤ x ≤ a , ?b ≤ y ≤ b

B1 (0, ? b)、B2 (0, b)

关于 y 轴对称 、关于 x 轴对称 、关于原点对称 A1 (?a,0)、A2 (a,0) 长轴= 2a A1 (0, ?a )、A2 (0, a长轴= 2a )
短轴= 2b

F 1 y x ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b ?a ≤ y ≤ a , ?b ≤ x ≤ b

2

o

x

B1 ( ? b ,0)、B2 (b,0) 短轴= 2b

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

c PF e? ? (0 ? e ? 1) a d

双曲线的定义 图形

MF1 ? MF2 ? 2a

( F1 F2 ? 2c ? 2a ? 0)

焦点坐标 标准方程 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率

x ≥ a 或 x ≤ ?a,y ? R y ≥ a 或 y ≤ ?a,x ? R

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ? 2 ? 1 (a ? 0 ,b ? 0 ) 2 2 a b a b

关于x轴、y轴、原点对称 A1 (?a,0)、A2 (a,0) 实轴= 2a A1 (0, ?a )、A2 (0, a ) a b y?? x y?? x b a

c PF e? = a d

(e ? 1)

(c ? a ? b )
2 2 2

抛物线的定义 图形

﹒﹒ ﹒﹒
y
MF ? d

y

y

y

o

x

o

x

o

o

x

x

标准方程 y2=2px(p>0) 焦点坐标

x2=2py(p>0) y2= -2px(p>0) x2= -2py(p>0) p? p p?? ? p ( ? , 0) ? 0, ? ? 0, ? ? ( , 0) 2? 2?? 2 ? 2

准线方程

p x?? 2

p x? 2
原点(0,0)

p p y? y?? 2 2
关于 y 轴对称

对称性 顶点 离心率

关于 x 轴对称

e ? 1 (即 MF ? d )

(一)定义的应用
互动 练习
上一点 , F1和F2 是椭圆的左 x2 y2 ? ?1 右焦点,求: 25 16 d P (1) PF1 的最大值与最小值 F2 A2 A1 F1 (2) PF1 ? PF2 的最大值 1、已知点P 是椭圆

(1)解法一:(代入法)设P(x,y),易知:c=3, 得F1(-3,0), 由两点间距离公式得:

| PF1 |2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 16 ? x ? 6 x ? 9 ? ( 25 ? x 2 ) 25 9 2 3 ? x ? 6 x ? 25 ? ( x ? 5) 2 25 5
2

? ?5 ? x ? 5? PF1 |max ? 8, | PF1 |min ? 2 |

(一)定义的应用
互动 练习
上一点 , F1和F2 是椭圆的左 x2 y2 ? ?1 右焦点,求: 25 16 d P (1) PF1 的最大值与最小值 1、已知点P 是椭圆

(2) PF1 ? PF2 的最大值

A1 F1

F2 A2

(1)解法二:(参数法)设P(5cosθ,4sinθ), 易知:c=3, 得F1(-3,0),由两点间距离公式得:

| PF1 |2 ? (5 cos? ? 3) 2 ? (4 sin ? ) 2 ? 9 cos2 ? ? 30 cos? ? 25 ? (3 cos? ? 5) 2

? ?1 ? cos? ? 1 ?| PF1 |max ? 8, | PF1 |min ? 2

(一)定义的应用
互动 练习
上一点 , F1和F2 是椭圆的左 x2 y2 ? ?1 l 右焦点,求: 25 16 d P (1) PF1 的最大值与最小值 N F2 A2 A1 F1 (2) PF1 ? PF2 的最大值 1、已知点P 是椭圆

(1)解法三:(几何法)设l是已知椭圆与焦点F1相 应的准线,PN⊥l,垂足为N, 由椭圆第二定义得:
| PF1 | 3 3 3 25 ? ,即 | PF1 |? | PN |? ( x p ? ) | PN | 5 5 5 3

? ?5 ? x p ? 5

? x p ? 5时, | PF1 |max ?| A2 F1 |? 8, ? x p ? ?5时, | PF1 |min ?| A1 F1 |? 2

(一)定义的应用
互动 练习
1、已知点P 是椭圆 右焦点,求: 上一点 , F1和F2 是椭圆的左 x2 y2 ? ?1 25 16

(1) PF1 的最大值与最小值
(2) PF1 ? PF2 的最大值

P F1 F2

解 (2) 由椭圆定义得: |PF1|+|PF2|=10

思考题:怎样求 | PF1 | ? | PF2 | 2 |PF ? PF1 ? PF2 ? ( ) ? 25 |PF1|· 2|的最小 2 值?

? ? PF1 ? PF2 ?max ? 25

2.两个定点的距离为 6,点 M 到这两个定点的 距离的平方和为 26,求点 M 的轨迹方程.
解:如图以直线 AB 为 x 轴,AB 的中点为原点建立坐标系 (3,0) 其中 A、B 的坐标分别为 (?3,0) 、 y 设 M 的坐标分别为 ( x, y ) 2 2 依题意得 MA ? MB ? 26
∴ ( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y ? 26
2 2 2 2

化简整理得 x 2 ? y 2 ? 4 ∴点 M 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 4A .

?

?

M ( x, y )

0

?B

x

注:这种求轨迹方程的方法叫做直译法.

1. 在平面直角坐标中,一动点 P ( x, y) 到定点 A(?3,0), B(3,0) 的距离 之和为 10,求点 P 的轨迹方程.

2. 在平面直角坐标中,一动点 P ( x, y ) 到定点 M (0,8), N (0,?8) 的距 离之和为 20,求点 P 的轨迹方程.

3.平面内一个动点P,两点F1(-13,0),F2(13,0),

点P 到 F1,F2 的距离的差的绝对值等于 10,求动点的轨迹方程
自主解答:∵双曲线的焦点在 x 轴上, x2 y2 ∴设它的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0). ∵2a=10,∴a=5. 又 c=13,∴b2=132-52=144. x2 y2 ∴双曲线的标准方程为25-144=1.

例:一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切, 求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线。

Y

P O1

X

O2

例:一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切, 求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线。 解法1:如图:设动圆圆心为P(x,y), 半径为R,两已知圆圆心为O1、O2。 分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0 配方,得 (x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100
Y

P

X

O1

O2

当⊙P与⊙O1:(x+3)2+y2=4外切时,有|O1P|=R+2
当⊙P与⊙O2:(x-3)2+y2=100内切时,有|O2P|=10-R ①、②式两边分别相加,得 |O1P|+|O2P|=12




x2 y2 ? ?1 即 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12 化简整理得 : 36 27
所以,动圆圆心的轨迹是椭圆,它的长轴、短轴分别为 12、 3. 6

例:一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切, 求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线。

Y

P O1 O2

X

例:一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切, 求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线。 解法2:同解法1得方程

( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12

即,动圆圆心P(x,y)到点O1(-3,0)和点O2(3,0)距离的和是12,

所以点P的轨迹是焦点为(-3,0)、(3,0),长轴长等于 12的椭圆。
∵2c=6 ,2a=12 , ∴ c=3 , a=6 ∴b2=36-9=27

x2 y2 于是得动圆圆心的轨迹方程为 ? ?1 36 27

6 这个动圆圆心的轨迹是椭圆,它的长轴、短轴分别为 12、 3.

1. 点 P 与定点 A(2,0)的距离和它到定直线 x ? 8 的距离的比是 1:2,求点 P 的轨迹方程;

2.设 M ? x, y ? 与定点 F ? 5, 0 ? 的距离和它到直线 l :x ? 的距离的比是常数
5 4

16 5

,求点 M 的轨迹方程.

1. 点 P 与定点 A(2,0)的距离和它到定直线 x ? 8 的距离的比是 1:2,求点 P 的轨迹方程; 解法一:设 P( x, y) 为所求轨迹上的任一点,则
x2 y2 ? ? 1 ,故所 10 6
( x ? 2) 2 ? y 2 1 ? 化简得, | x ?8| 2

P 的轨迹是椭圆,
a2 A(2,0)所以 c ? 2 ,定直线 x ? 8 所以 x ? ? 5 解得 c

解法二:因为定点
2

x2 y2 ? ?1 a ? 10 ,故所求的轨迹方程为 10 6

2. 如图, M ? x, y ? 与定点 F ? 5, 0 ? 的距离和它到直线 l : ? 16 设 x
5

的距离的比是常数 5 ,求点 M 的轨迹方程.
4

解:设点 M ? x, y ? ,则 MF 离 d ? x ? 16 5 ,由

?

? x ? 5?

2

? y2

,M 到直线 l : x ? 16 的距
5

( x ? 5) 2 ? y 2 5 x2 y2 ? 1 ,即为点 M ? .化简得 ? 16 16 9 4 |x? | 5



轨迹方程。
a 2 16 16 解法二: 因为定点 F 5, 所以 c ? 5 , ( 0) 定直线 x ? 所以 x ? ? c 5 5

x2 y2 解得 a ? 16 ,故所求的轨迹方程为 ? ? 1 ,即为点 M 16 9
2

的轨迹

方程。


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