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高三数学一轮复习专题专题4


专题四 不等式
【课标要求】 1.课程目标 (1) 不等关系:了解现实世界和日常生活中的一些不等关系. (2) 一元二次不等式:能从实际情境中抽象出一元二次不等式;了解一元二次不等 式与相应函数、方程的联系;掌握一元二次不等式的解法. (3) 二元一次不等式组与简单线性规划问题:能从实际情境中抽象出二元一次不等 式组;了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一

次不等式组;能从实 际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题;并能加以解决(一般的最优整数解问题 不作要求) . (4) 基本不等式 ab ≤
a?b a?b (a≥0,b≥0) :掌握基本不等式 ab ≤ (a≥0, 2 2

b≥0) ;能用基本不等式证明简单不等式(指只用一次基本不等式即可解决的问题) ;能 用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(指只用一次基本不等式即可解决的问题) . 2.复习要求 (1)不等式是作为描述、刻画现实世界中不等关系的一种数学模型介绍给学生的, 复习中要淡化解不等式的技巧性要求,突出不等式的实际背景及其应用,注意不要偏重 于从数学到数学的纯理论探讨. (2)求解一元二次不等式,首先可求出相应方程的根,然后根据相应函数的图象 求出不等式的解;也可以运用代数的方法求解.复习中,应注意融入算法的思想,让学 生更加清晰地认识不等式求解过程. (3) 不等式有丰富的实际背景, 二元一次不等式组是刻画平面区域的重要工具. 刻 画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤,复习中应注意从实际背景中抽象出二元一 次不等式组. (4)线性规划是优化模型之一.教师应引导学生体会线性规划的基本思想,用图 解法解决一些简单的线性规划问题,不必引入过多名词.简单的线性规划问题指约束条 件不超过四个(x≥0 也看作一个约束条件)的线性目标函数的最大(小)值问题.实际 问题中经常会涉及最优整数解问题,复习中可向学生作一些介绍,但在训练和考查中不 作要求. 3.复习建议 (1)重视数学思想方法的复习 ① 在复习不等式的解法时,加强等价转化思想的训练力度. ② 加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中,如遇到含有参的 问题,这时可能要对参数进行不重不漏的讨论. ③ 加强函数与方程思想在不等式中的应用训练. ④ 在不等式的证明中,要加强化归思想的复习. (2) 强化不等式的应用
4—1

在复习时应用加强这方面知识和能力的训练,提高应用意识,总结不等式的应用规 律,如在实际问题应用中,主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法,在 求最值时要注意等号成立的条件,避免不必要的错误,同时还要注意实际情况的限制. 【典型例题】 例 1(填空题)
1 ? ( ) x ? 2 ,则函数 y ? 2 x 的值域是 4 x ? 0; ? x ? 2, ( 2 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ? 0. ? ? x ? 2,

(1)若 2 x

2

?1

. 则 不 等 式 f ( x) ? x 2 的 解 集



. (3)已知函数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象经过点 ( ?1, 3) 和 (1,1) 两点,若 0 ? c ? 1 ,

则 a 的取值范围是 (4)不等式组 ?


2 2 ? ? x ? 2 x ? 3 ? x ? 2 x ? 3, 2 ? ?x ? x ? 2 ? 0

的解集为__________________.

(5)若关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围 是 . (6)已知 | a ? b |? ?c(a ,b ,c ? R) ,给出下列不等式:① a ? ?b ? c ;② a ??b? c ; | |b ? | c | ? |b |?c. 其 中 一 定 成 立 的 不 等 式 是 ③ a ? b?c ; ④ | a ? ; ⑤ |a ? (注:把成立的不等式的序号都填上) . 2 ( 7 ) 若 a, b, c ? 0 且 a ? 2ab ? 2ac ? 4bc ? 12 , 则 a ? b ? c 的 最 小 值 是 . (8)定义在 (0, ??)的函数f ( x)满足f ( x) ? f ( y) ? f ( xy) ,且 x ? 1时f ( x) ? 0 ,若不等式
f ( x2 ? y2 ) ? f ( xy ) ? f (a) 对 任 意 x, y ? (0, ??) 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围




1 x 1 y

(9)已知两正数 x,y 满足 x+y=1,则 z= ( x ? )( y ? ) 的最小值为



(10)三个同学对问题“关于 x 的不等式 x 2 +25+| x 3 -5 x 2 |≥ ax 在[1,12]上恒成立, 求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” . 乙说: “把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值” . 丙说: “把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像” . 参 考上述 解题 思路, 你认 为他们 所讨 论的问 题的 正确结 论, 即 a 的取 值范围 是 .

4—2

例2

已知命题 p : 4 ? x ? 6,q : x2 ? 2x ? 1 ? a2 ? 0(a ? 0) .若非 p 是 q 的充分不必要

条件,求 a 的取值范围.

例 3 已知适合不等式 x2 ? 4x ? p ? x ? 3 ? 5 的 x 的最大值为 3,求 p 的值.

例4 一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有 4 5cm 2 的面积,应如何设计十字型宽 x 及长 y ,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁 芯上的铜线最节省.

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例 5 已知函数 f ? x ? 在 R 上有定义, 对任何实数 a ? 0 和任何实数 x , 都有 f ? ax ? ? af ? x ? . (Ⅰ)证明 f ? 0? ? 0 ; (Ⅱ)证明 f ? x ? ? ?
? kx, x ? 0, 其中 k 和 h 均为常数; ?hx, x ? 0.
1 ? f ? x ? ( x ? 0) ,讨论 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 内的单 f ? x?

(Ⅲ)当(Ⅱ)中的 k ? 0 时,设 g ? x ? ? 调性并求极值.

例 6 已知函数 f ? x ? ? x2 ? x . (1)数列 ?an ? 满足: a1 ? 0 ,an ?1 ? f ? ? an ? , 若? 取值范围; (2)数列 ?bn ? 满足: b1 ? 1 ,bn ?1 ? f ? bn ? ? n ? N ? , 记 cn ?
Tk 为数列 ?cn ? 的前 k 项积,求证 ?
k ?1 n

1 1 ? 对任意的 n ? N 恒成立, 试求 a1 的 2 i ?1 1 ? ai 1 ,Sk 为数列 ?cn ? 的前 k 项和, 1 ? bn

n

Tk 7 ? . S k ? Tk 10

4—4

【新题备选】 1.已知 ?ABC 的三边长 a, b, c 满足 b ? c ? 2a , c ? a ? 2b ,求
b 的取值范围. a

2.四棱锥 S-ABCD 的所有棱长均为 1 米,一只小虫从 S 点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每 一顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行 n 米后恰好回到 S 点的概率为 Pn (1)求 P2 、 P3 的值; S (2)求证: 3Pn ?1 ? Pn ? 1(n ? 2, n ? N ) (3)求证: P2 ? P3 ? ? ? Pn >
6n ? 5 (n ? 2, n ? N ) 24
C A B D

2 3.设函数 f(x)=logb x ? 2x ? 2 (b>0 且 b≠1), 1 ? 2ax (1)求 f(x)的定义域; (2)当 b>1 时,求使 f(x)>0 的所有 x 的值.

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4.设 f ( x) 是定义在[ ? 1,1]上的奇函数,且对任意 a,b∈[ ? 1,1],当 a+b≠0 时,都有
f (a) ? f (b) ?0. a?b (1)若 a>b,试比较 f (a) 与 f (b) 的大小;
1 1 (2)解不等式: f ( x ? ) ? f ( x ? ) ; 2 4 (3)证明:若-1≤c≤2,则函数 g(x)=f(x ? c)和 h(x)=f(x ? c2) 存在公共定义域,并求 出这个公共定义域.

4—6

【专题训练】 一、填空题: 1.设满足不等式
a( x ? 2) ? 2 的解集为 A,且 1? A ,则实数 a 的取值范是 x?3
xx 1 ? 0 的两个实根,那么 1 2 的最大值 x1 ? x2 4



2.已知 x1 , x2 是关于 x 的方程 x 2 ? ax ? a 2 ? a ?

为 。 3.若关于 x 的不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 有解,则实数 a 的取值范围是________.
1 4.当 0 ? x ? 1时, ax ? x3 ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为 2



5. 设 M 是△ABC 内一点,且 AB AC ? 2 3 ,∠BAC=30? ,定义 f(M)=(m,n,p), 1 4 1 其中 m、n、p 分别是△MBC、△MCA、△MAB 的面积,若 f(M)=( ,x,y),则 ? x y 2 的最小值为 .
y 的取值范围是 x ? 12

6. 若实数 x, y满足y ? 2x ? 3, 且y ? x2 , 则



7. 已知点 P(a, b)与点Q (1,0)在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧,则下列说法: (1) 2a ? 3b ? 1 ? 0 ; (2) a ? 0 时,
b 有最小值,无最大值; a

(3) ?M ? R? , 使 a2 ? b2 ? M 恒成立 (4) a ? 0且 a ? 1 , b ? 0时 , 则
b 1 2 的取值范围为(- ?, ? ) ? ( , ? ?) a ?1 3 3

其中正确的是 (把你认为所有正确的命题的序号都填上) . 8. 在 4×□+9×□=60 的两个□中,分别填入两自然数,使它们的倒数和最小,应分 别填上 和 . 9. 关于 x 的不等式:2-x2>|x-a|至少有一个负数解,则 a 的取值范围是 . 10. 已知 x, y ? R?,且x ? 4 y ? 1,则xy 的最大值为 . .

11. 若实数 a,b,c 满足 a2b2 ? (a 2 ? b2 )c 2 ? c 4 ? 4, 则ab ? c 2 的最大值为 12.函数 f ( x) ?
x2 ? x ? 1 的值域为 x2 ? 1



? ? 13.设 m 为实数,若 ?( x, y ) ? ?

? x ? 2 y ? 5 ? 0? ? ? 2 2 ? 3 ? x ? 0 ? ? {( x, y ) | x ? y ? 25} ,则 m 的取值范围是 ? mx ? y ? 0 ? ? ?
4—7

_____________.

14.把数列一次按第一个括号一个数,按第二个括号两个数,按第三个括号三个数,按第四 个括号一个数?,循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23) ?,则第 50 个括号 内各数之和为_____. 二、解答题 15.解关于 x 的一元二次不等式 x 2 ? (3 ? a) x ? 3a ? 0 .

16.二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的图象开口向下,且满足 ?a, b, c 是等差数列,
a, b, ? a ? c ? 是等比数列,试求不等式 f ( x) ? 0 的解集.

17. 已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a(a<0), 且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1, 3). (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 18.对于在区间 [m , n ] 上有意义的两个函数 f ( x) 与 g ( x) ,如果对任意的 x ? [m , n ] ,均有 | f ( x) ? g ( x) | ≤1,则称 f ( x) 与 g ( x) 在区间 [m , n ] 上是接近的,否则是非接 近的.设 f1 ( x) ? log a ( x ? 3a) 与 f 2 ( x) ? loga
1 (a ? 0 , a ? 1) 是区间 [ a ? 2 , a ? 3] 上的 x?a

两个函数. (1)求 a 的取值范围; (2)讨论 f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在区间 [ a ? 2 , a ? 3] 上是否是接近的.

19.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架.三角形支架如图,要求∠ACB=60°, BC 长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米.为了广告牌稳固,要求 AC 的长度越短越好, 求 AC 最短为多少米?且当 AC 最短时,BC 长度为多少米?

20.已知 f ( x) ? lg( x ? 1), g ( x) ? 2lg(2 x ? t )(t ? R, t是参数) . (1)当 t=-1 时,解不等式:f(x)≤g(x); (2)如果当 x∈ [0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立,求参数 t 的取值范围.

4—8

【专题训练参考答案】
1 3 1 1.(??, ?8] ; 2. ; 3.a ? 3 ; 4. [ ? , ]; 2 2 4 (4) ; 9 1 8. 6、 4; 9. (- , 2) ; 10. ; 11. 1; 12. 4 16

5. 18;

6. [—1, 0]

7. (3)

4 ?1 3? ? 2, ? ; 13.0 ? m ? 3 ; 14. 392. 2 ? ?

15.解:∵ x 2 ? (3 ? a) x ? 3a ? 0 ,∴ ? x ? 3?? x ? a ? ? 0 ⑴当 a ? 3时, x ? a或x ? 3 ,不等式解集为 ?x x ? a或x ? 3? ; ⑵当 a ? 3 时,不等式为 ? x ? 3? ? 0 ,解集为 ?x x ? R且x ? 3? ;
2

⑶当 a ? 3时, x ? 3或x ? a ,不等式解集为 ?x x ? 3或x ? a? ;
a?0 ? ? a?0 ? 2b ? ?a ? c ? ? ? ?b ? ? 2 a 16 . 解 : 由 已 知 条 件 得 ? 2 ? c ? ?3a ?b ? a ? (a ? c) ? ? b?0 ?

∴ 不 等 式 f ( x )? 0即 为

2 ax ?2 a x ?3 a ?0 ,又∵ a ? 0 ,∴ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , ?1 ? x ? 3 。故不等式 f ( x) ? 0 的解集为

?x ?1 ? x ? 3? .
17.解: (1) 因为 f(x)+2x>0 的解集为(1,3),所以 f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0, 因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.① 由方程 f(x)+6a=0 得 ax2-(2+4a)x+9a=0.② 因为方程②有两个相等的根,所以△=(2+4a)2-4a·9a=0,即 5a2-4a-1=0,解

1 1 得 a=1 或- .由于 a<0,所以舍去 a=1.将 a=- 代入① 得:f(x)的解析式 f(x) 5 5 1 6 3 =- x2- x- . 5 5 5

(2)由 f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-

12 a 2 a24a1 )- .及 a<0,可得 f(x)的最大值为- a a

? a 24a1 0 a24a1 ? .由 ? a 解得 a<-2- 3 或-2+ 3 <a<0. a ? a0 ?

故当 f(x)的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2- 3 ) (-2+ 3 ,0).
4—9

18.解: (1)∵ a ? 0 且 a ? 1 ,当 x ? [ a ? 2 , a ? 3] 时,要使函数 f1 ( x) ? loga (x ? 3a ) 有 意义, ∴ a ? 2 ? 3a ? 0 , 即 a ? 1 . ① 要使函数 f 2 ( x) ? log a
1 有意义, ∴ a ?2?a ? 0 , x?a

即 a ? R. ②.由①和②得 0 ? a ? 1 ,即为 a 的取值范围. (2) 要判断 f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在区间 [ a ? 2 ,a ? 3] 上是否是接近的, 只须检验 | f1 ( x) ? f 2 ( x) | ≤ 1 在区间 [ a ? 2 , a ? 3] 上是否 恒成立.
1 | ?| log a ( x ? 3a)( x ? a) | , x?a 设 | log a ( x ? 3a)( x ? a) |? 1 ,则 ?1 ≤ log a ( x ? 3a)( x ? a) ≤1,

∵ | f1 ( x) ? f 2 ( x) | ?| log a ( x ? 3a) ? log a

即 ?1 ≤ log a ( x2 ? 4ax ? 3a 2 ) ≤1, ③ 设 g ( x) ? x2 ? 4ax ? 3a 2 ? ( x ? 2a)2 ? a 2 ,抛物线 g ( x) 开口向上,且对称轴为 x ? 2a .∵
0 ? a ? 1 ,∴ 0 ? 2a ? 2 ? a? 2 ? a? 3 ,∴函数 g ( x) 在区间 [ a ? 2 , a ? 3] 上是增函数.设 a ? 2 ≤ x1 ? x2 ≤ a ? 3 ,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,∵ 0 ? a ? 1 ,

∴ log a g ( x1 ) ? log a g ( x2 ) .设 h( x) ? log a ( x 2 ? 4ax ? 3a 2 ) ,则 h( x) 在区间 [ a ? 2 ,a ? 3] 上是 减函数,∴ [h( x)]max ? h(a ? 2) ? log a (4 ? 4a) , [h( x)]min ? h(a ? 3) ? log a (9 ? 6a) .∴③式成
? 4 ? 4 a ? a, ?log a (4 ? 4a) ? 1, ? 立的充要条件是: ? ?? 1 ? 9 ? 6a ? ?log a (9 ? 6a) ? ?1, ? a ?
4 ? 0?a? , ? 5 ? ? a ? (0 , ? ?0 ? a ? 9 ? 57 ? ? 12

9 ? 57 ]. 12

∴当 a ? (0 , 当 a ?(

9 ? 57 ] 时, f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在区间 [ a ? 2 , a ? 3] 上是接近的; 12

9 ? 57 , 1) 时, f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在区间 [ a ? 2 , a ? 3] 上是非接近的. 12 1 19.解:设 BC=a,(a>1),AB=c,AC=b, b ? c ? . c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 60? . 2 1 1 2 1 2 2 将 c ? b ? 代入得 (b ? ) ? a ? b ? ab ,代简得 b(a ? 1) ? a 2 ? .∵a>1, 2 2 4 1 3 a2 ? (a ? 1) 2 ? 2a ? 2 ? 4 4 ? (a ? 1) ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 . ? ∴a-1>0 . b ? a ?1 a ?1 4(a ? 1)

当且仅当 a ? 1 ?

3 3 时,取“=”号,即 a ? 1 ? 时,b 有最小值 2 ? 3 . 4( a ? 1) 2

答:AC 最短为 (2 ? 3) 米,此时,BC 长为 (1 ?

3 ) 米. 2

4—10

x ? 1) 20 .解: ( 1 ) t =- 1 时, f(x)≤g(x) ,即为 lg(x ? 1)? 2 lg(2 ,此不等式等价于

x ?1 ? 0 ? 5 5 ? 2 x ? 1 ? 0 解得 x≥ ,∴ 原不等式的解集为{x|x≥ } . ? 4 4 ? x ? 1 ? (2 x ? 1) 2 ? x ?1 ? 0 ? ? (2) x∈ [0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立, ∴ x∈ [0,1]时, ? 2 x ? t ? 0 恒成立,∴ x∈ [0,1]时, ? x ? 1 ? (2 x ? t ) 2 ?

? x ?1 ? 0 ? 恒成立, 即 x∈ [0,1]时,t ? ?2 x ? x ? 1 恒成立, 于是转化为求 ?2 x ? x ? 1 t ? ?2 x ? ? ?t ? ?2 x ? x ? 1

( x∈ [0,1])的最大值问题.令 u ? x ? 1 ,则 x=u2-1,由 x∈ [0,1],知 u∈ [1, 2 ].∴ 1 17 ?2 x ? x ? 1 =-2(u2-1)+u= ?2(u ? )2 ? ,当 u=1,即 x=0 时, ?2 x ? x ? 1 有最大 4 8 值为 1.∴ t 的取值范围是 t≥1.

4—11


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